专题04 导数及其应用（练习）-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用）

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题型一：求已知函数的极值或最值
1．如图是函数y=fx的导数f′x的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．是区间上的增函数B．是区间上的减函数
C．1是的极大值点D．4是的极小值点
【答案】D
【详解】由图可知：当时，，
当时，，
故在、上单调递减，在、上单调递增，
故A错误，B错误，C错误，D正确.
故选：D.
2．关于函数，下列结论错误的是（ ）
A．的解集是B．是极小值，是极大值
C．没有最小值，也没有最大值D．有最大值，没有最小值
【答案】C
【详解】函数的定义域为R，
对于A，，解得，即的解集是，A正确；
对于BCD，，当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此是极小值，是极大值，B正确；
显然当时，恒成立，当时，，，
而当时，函数的值域为，而，因此有最大值，没有最小值，C错误，D正确.
故选：C
3．已知函数，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则在上单调递增B．若0为的极大值点，则
C．的图象经过一个定点D．若，则方程有三个不相等的实数根
【答案】D
【详解】对于A，当时，，
则，
当且仅当时，，
所以函数在R上单调递增，故A正确；
对于B，，令解得或，
因为0为的极大值点，
所以，且在附近先增后减，故，所以，故B正确；
对于C，由，当时，，
即函数经过定点，故C正确；
对于D，由，令解得或，
当时，，所以当或时，f′x>0，
当时，f′x0；
当时，，即ℎ′x0）.
所以当时，（即）为增函数.
又因为，
所以，存在唯一的，使得
且与在区间上的情况如下：
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以 .
又因为，，
所以，
所以，即的图象在图象的下方.
18．已知函数．
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）讨论的零点个数．
【答案】（1）；（2）当时，有且只有1个零点；当时，有3个零点．
【详解】（1）依题意：对于恒成立，
即恒成立．
∵当时，有（当且仅当时等号成立）．
∴，故的取值范围为．
（2）（ⅰ）当时，由（1）知在上单调递增，故此时至多有一个零点．
又，∴当时，有且只有一个零点．
（ⅱ）当时，先分析时函数的零点个数．
由（1）．记．
则．∴在上单调递增．
∵，∴．
又，
即．∴存在，使．
∴当时，有；当时，有．
∴在上有极小值，且．
以下先证对任意．
令，则，得时，时，．
∴．
∴成立，即．取，
则
∵，∴．
即．在上存在零点，
∵在上单调递增，∴在上存在唯一零点．
另一方面，∵，∴是上的奇函数，
∴根据对称性知：在上也存在一个零点．
又，∴当时，函数有3个零点．
综上所述，当时，有且只有1个零点；当时，有个零点．
19．已知函数.
（1）若函数在处有极值，求的值；
（2）若对于任意的在上单调递增，求的最小值.
【答案】（1）b＝－11 （2）
【详解】解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
于是，根据题设有，
解得或.
当时，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；
当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函数无极值点．
所以b＝－11.
(2)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，
所以F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．
因为x≥0，
所以F(a)在a∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数，
①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0；
②当F(a)为增函数时，F(a)min＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0，
即b≥(－3x2＋8x)max对任意x∈[0,2]都成立，
又－3x2＋8x＝－3(x－)2＋≤，
所以当x＝时，(－3x2＋8x)max＝，所以b≥.
所以b的最小值为.
20．设函数，.
（Ⅰ）当时,取得极值，求的值；
（Ⅱ）若在内为增函数，求的取值范围．
【答案】（1）－；（2）
【详解】，
（Ⅰ）由题意：
解得.经检验满足题意.
（Ⅱ）方程的判别式,
(1) 当, 即时，,在内恒成立, 此时为增函数；
(2) 当, 即或时，
要使在内为增函数, 只需在内有即可, 设，
由得, 所以.
由(1) (2)可知,若在内为增函数，的取值范围是.
题型三：利用导数求函数的单调区间（含参与不含参）
21．已知，函数，为的导函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)记，讨论在区间上的零点个数．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，其定义域为，
，令，得．
当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减．
因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）令，则，．
因为，则，，则．
当时，则，故，从而在上单调递减；
而，故当时，，故在区间上无零点；
当时，令，则，
因为，则，从而，即在上单调递减；
而，，因此存在唯一的，使得，
并且当时，；当时，．
即当时，，当时，．
故当时，单调递增，当时，单调递减．
而，故；取，
当时，，
所以存在唯一的，使得，即在区间上有唯一零点．
综上所述，当时，在上有唯一的零点；
当时，在上没有零点．
22．已知函数.
(1)若函数的图象在点处的切线方程是，求和；
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1)(2)递增区间为，递减区间为.
【详解】（1）解：由函数，可得，则且，
因为函数的图象在点处的切线方程是，
可得 解得.
（2）解：由函数的定义域为，且，
令，即，即，可得；
令，即，即，可得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
23．已知函数
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)指出极值点的个数，并说明理由.
【答案】(1)(2)在，单调递增，在单调递减(3)2个，理由见解析
【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
可得直线的斜率，且，所以切线方程为，即.
（2）解：由（1）知，可得，
令，即，解得或，
当，；当，；当，，
所以函数在，单调递增，在单调递减.
（3）解：函数有2个极值点，理由如下：
由（2）知，①当时，函数在区间上单调递增，
且，，
所以存在唯一，使；
②当时，函数在区间上单调递减，
且，，
所以存在唯一，使；
③当时，在区间上单调递增，
且，恒有，故该区间内无零点，
综上可得：当，；当，；当，，
所以当时取到极小值；当时取到极大值；故有2个极值点.
24．已知函数．
(1)当时，求的单调区间．
(2)若函数在时取得极值，求的值；
(3)在第（2）问的条件下，求证：函数有最小值.
【答案】(1)和，单调减区间是(2)(3)证明见解析
【详解】（1）因为的定义域为R，
当时，则，可得，
令，解得或；令，解得；
所以的单调增区间是和，单调减区间是.
（2）由题意可得：，
若函数在时取得极值，
则，解得：，
当时，，
当或时，；当时，；
可知的单调增区间是和，单调减区间是，
则是的极大值点，符合题意，
综上所述：.
（3）由（2）可知：，
当时，恒成立；
当时，由（2）可知：在上单调递增，在上单调递减，
所以的取得最小值；
综上所述：在处取得最小值，最小值为.
25．已知函数在时取得极值．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)若有两个零点，求的值．
【答案】(1)递增区间是，递减区间是；(2)(3)或
【详解】（1）由题得，且fx定义域为.
由函数在时取得极值，得，解得，
此时，显然是的变号零点，即是极值点，
因此，
所以当或时，，当时，，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
（2）由（1）知，函数，
且在上单调递增，在上单调递减，
又
所以函数在区间上的最小值是.
（3）因为，
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
所以有极小值为，极大值为，
由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点，
故或，所以或.
26．已知函数.
(1)若曲线在处的切线为x轴，求a的值；
(2)在（1）的条件下，判断函数的单调性；
(3)，若是的极大值点，求a的取值范围.
【答案】(1)(2)上单调递减，上单调递增(3)
【详解】（1）由已知，则，
由于曲线在处的切线为x轴，
所以，所以；
（2）当时，，令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，，，
所以当时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（3）由已知，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，且，
当时，，即在上有且只有一个零点，设为，
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极小值，不符合题意，舍去；
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极大值，符合是的极大值点，
当时，即，解得，
此时恒成立，无极值点，
综上所述：a的取值范围为.
27．已知函数.
(1)若曲线y=fx在处的切线方程为，
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）求函数的单调区间和极值；
(2)当时，求函数的极值点的个数.
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）答案见详解(2)答案见详解
【详解】（1）因为函数的定义域为，且，
（ⅰ）由题意可知：，解得，
（ⅱ）此时，，
若，则，可得f′x