重难点04：导数的恒成立、存在性问题-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用）

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1.利用导数研究不等式恒成立问题的总方针：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；（2），；
（3），；（4），.
3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
4.恒成立与有解问题解法洛必达法则
一、问题指引
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则。
二、方法详解
法则1：若函数 和满足下列条件：(1) 及；
(2)在点的去心邻域内， 与 可导且；
(3)，
那么 =。
法则2：若函数 和满足下列条件：(1) 及；
(2)，和在与上可导，且；
(3)，
那么 =。
法则3：若函数 和满足下列条件：(1) 及；
(2)在点的去心 \t "" 邻域内， 与 可导且；
(3)，
那么 =。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。
2.洛必达法则可处理，，，，，，型。
3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
总结：
1.不等式恒成立或能成立题目。能分离参数成或 ，归结为求的某个最值(或其极限值)问题。常规方法不易求得最值或其极限值(往往多次求导后仍为超越结构)。可考虑在某个端点或断点处应用洛必达法则求最值(或极限值)。
2.使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。
5.端点效应问题
含参函数恒成立问题中的求解参数范围问题端点效应问题
（1）：什么是端点效应呢？
恒成立问题中，我们常常能见到类似的命题：“对于任意的 ，都有 恒成立”（ 中包含参数 ）
这里的端点，往往是使结论成立的临界条件，因此，如果能利用好这两个值，能为我们的解题提供不少便利．比如对于上述的命题，我们就应该观察和的取值．
这种观察区间端点值来解决问题的做法，我们称之为端点效应．
（2）：端点效应的三层心法
端点效应的核心思想是：利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而在很多情况下，该范围即为所求．
根据端点处所满足的条件不同，我们将端点效应分为如下三层心法：
第一层心法----利用原函数：若端点处函数值和包含参数，则根据恒成立条件在端点处也成立.
故，解此不等式组即可缩小参数的范围
注意： 由，只是得到了关于参数范围的一个必要条件，接下来还需进行最
值的讨论才能确定参数的精确范围．端点效应的核心价值在于：将参数范围缩小至一个较小的区间，可以大大简化接下来的讨论过程．
第二层心法----利用一阶导：若端点处函数值恰为，即或，则此时有或
注意：①或这个结论并不能直接在解题中使用，虽然这个结论是对的，且大多数时候往往就是题目的答案，选择题完全没有问题，大题需要侧面证明一下．
② 对于此类端点效应型问题，在讨论时要牢记一点不能分参，因为分参之后会出现
或型的极限，这是我们无法处理的，一旦需要处理只能求助洛必达法则．
③ 在接下来的分类讨论中，我们要确两件事：1、在参数取值范围内，不等式恒成立；2、在取值范围外，不等式不能恒成立．
第三层-----利用二阶导：若端点处函数值和导数值均为0，即或 则此时或.
注意：①或不能直接在解题中使用，但我们可以由此猜出答案．
② 同样的，不能分参，依然要采用整体分析的分析方法．
③ 在分类讨论中，同样要明确两件事：1、在参数取值范围内，不等式恒成立；2、在取值范围外，不等式不能恒成立．
作为端点效应的终极大法，第二层心法的升级版，修炼起来自然有一定难度．与第二层心法最大的不同是，我们需要求二阶导数，对二阶导数找到恰当的分点作分类讨论，并在每种情况下判断恒成立条件是否成立.
二、题型精刷精练
【题型训练-刷模拟】
1．已知函数，．
(1)若，证明：；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若，记，讨论函数的零点个数．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)答案见解析.
【详解】（1）由题设且，则，
所以在上递减，故，得证；
（2）由解析式，易知时恒成立，
当，只需恒成立，
令且，则，
令，则，即在上递增，
所以，故，即在上递增，且，
对于，，则，
故在上递增，且时，
综上，，即.
（3）由题设，且定义域为，显然，
令，且，
只需研究与在上的交点情况，
若，则在上递减，在上递增，且时，
而，即在上递减，且，
又，则，在处的图象递减趋势比的图象平缓，
故与在上有且仅有一个交点，
此时，在有两个零点；
若，在恒成立，而恒成立，
故与在上无交点，
此时，在有一个零点；
综上，时有两个零点；时有一个零点.
2．已知在处的切线方程为．
(1)求实数的值；
(2)证明：仅有一个极值点，且．
(3)若，是否存在使得恒成立，存在请求出的取值范围，不存在请说明理由．
【答案】(1)(2)证明见详解(3)不存在，理由见详解
【详解】（1）由题意，，则，
解得，又，可得切点为，代入，得.
所以实数.
（2）由（1）得，则，
令，，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
且当时，，，，
所以在上存在唯一零点，使得即，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以仅存在一个极值点，，
，
又函数，，而，
所以在上单调递减，则，所以.
（3）若存在，使得恒成立，即，对恒成立，
当时，当时，则，显然上式不成立；
当时，令，，则，
令，则在上恒成立，
所以即在上单调递增，又，，
所以存在，使得，
所以当时，，即单调递减，此时，
所以不恒成立，
故当时，不存在满足条件.
综上，不存在，使得恒成立.
3．已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．
【答案】(1)；(2)单调递减区间为和，单调递增区间为；
(3)．
【详解】（1）因为，所以．
所以．
所以，．
所以曲线y=fx在点处的切线方程为，即．
（2）因为，定义域为，
所以．
因为，令，即，
解得，，所以．
当x变化时，f′x，的变化情况如下表所示．
所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．
（3）在（2）的条件下，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
因为对于任意，不等式成立，
所以，，．
所以，得，，得；
，得．
因为，
所以．
所以a的取值范围是．
4．已知函数.
(1)若，
①求曲线在点处的切线方程；
②求证：函数恰有一个零点；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)①；②证明见解析(2)
【详解】（1）当时，.
①.所以.
所以曲线在点处的切线方程为.
②由①知，且.
当时，因为，所以；
当时，因为，所以.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
因为.
所以函数恰有一个零点.
（2）由得.
设，则.
所以是上的减函数.
因为，
所以存在唯一.
所以与的情况如下：
所以在区间上的最大值是
.
当时，因为，所以.
所以.
所以，符合题意.
当时，因为，所以.
所以，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
5．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求a的值；
(3)若有两个不同的零点，且，求a的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）由，得，因为，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2），
①当时，，不符合题意.
②当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值；
若恒成立，则，
设，则，
当时，在区间上单调递增，
当时，在区间上单调递减，
所以，即的解为.
所以；
（3）当时，，在区间上单调递增，
所以f（x）至多有一个零点，不符合题意；
当时，因为，不妨设，
若，则，不符合题意；若，则，
由（2）可知，只需，即，解得，
即a的取值范围为.
6．已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设，求函数的最小值；
(3)若，求实数的值.
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1），则，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2），
，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以；
（3）函数的定义域为，当时，，则，即，
即，由（2）得，
令，则，所以在上单调递增，
又当时，，
因为，所以，
此时不恒成立，故不符题意；
当时，若，则，
则，即，即，
由上可知函数在上单调递增，
所以，
所以，解得①，
若，则，即，即，
由上可知函数在上单调递增，
所以，
所以，解得②，
由①②可得，
综上所述，.
7．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【详解】（1），当，得，
当时，时，，单调递增，
时，，单调递减，
当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
当时，，函数在上单调递增，
综上可知，时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
时，函数的增区间是，无减区间.
（2）不等式，即，
设，，
设，，所以单调递增，且，，
所以存在，使，即，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
因为，所以，
当时，，当时，，
不等式无整数解，即无整数解，
若时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，
若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，所以无整数解，符合题意，
当时，因为，显然是的两个整数解，不符合题意，
综上可知，.
8．已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)讨论的单调区间；
(3)若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).
【详解】（1），，又，，
故的图象在点处的切线方程为，即.
（2），又x>0，，
则时，当，>0，y=f(x)单调递增；当，，y=f(x)单调递减；
00，y=f(x)单调递增；
当，，y=f(x)单调递减.
综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为；
当00时，是上的单调减函数，且；
若，即，则在上单调递减，且，满足题意；
若，即，则易知存在，使得，
∴在单调递增，在单调递减，
∴时，存在，则不恒成立，不符合题意；
综上可知，实数的取值范围是．
x
2
f′x
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
+
0
-
极大
1
0
单调递增
单调递减
﹣
0
+
极小值
x
−∞,0
0
0,+∞
0
增
极大值
减