（暑假）沪科版数学八年级暑假讲义第13讲 命题与证明（2份，原卷版+解析版）

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1.了解命题、定义、公理、定理、证明及推论的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会在简单情况下判断一个命题的真假，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据；
2.理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；
3.能用基本的逻辑术语、几何证明的步骤、格式和规范进行演绎证明.
【基础知识】
一、命题、公理、定理、推论
1.命题
判断一件事情的句子叫命题．其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题．
命题通常由题设、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式.
要点诠释：
命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．
2.公理
人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．
3.定理
从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据．
要点诠释：
也就是说同时满足以下两个条件的真命题称为定理：
（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.
（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.
4.推论
由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论.
二、逆命题和逆定理
互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.
互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.
三、演绎推理
演绎推理
从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理．演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明.
要点诠释：
演绎推理的过程就是演绎证明，并不是所有的真理都可以进行演绎证明．
四、三角形内角和定理
定理：三角形的内角和等于180°.
推论1：直角三角形的两锐角互余.
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
要点诠释：
三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
【考点剖析】
考点一：反证法证明中的假设
例1．1．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中( )
A．有一个内角小于45°B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45°D．每一个内角都大于等于45°
【答案】D
【分析】
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】
用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45°．
故答案选：D．
考点二：判断是否是命题
例2．2．下面对一些数学术语定义的描述正确的是（ ）
A．正整数和负整数统称整数B．含有未知数的式子叫做方程
C．不相交的两条直线叫做平行线D．三条边都相等的三角形叫做等边三角形
【答案】D
【分析】
根据相关知识点逐项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、正整数，0和负整数统称整数，故本项错误；
B、含有未知数的等式叫做方程，故本项错误；
C、在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故本项错误；
D、三条边都相等的三角形叫做等边三角形，本项正确；
故选择：D.
考点三：逻辑推理与论证
例3.3．下列结论推理合理的是（ ）
A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等
B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题
C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好
D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多
【答案】D
【分析】
需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
解：A. 王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等，不合理；
B. 因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题，不合理；
C. 因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好，不合理；
D. 因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多，合理．
故选D．
【真题演练】
1．下列语句属于命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短吗B．连接M，N两点
C．辽阔的草原D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
【答案】D
【解析】
【分析】
分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．
【详解】
解：D是用语言可以判断真假的陈述句，是命题，
A、B、C均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题．
故选：D．
2．下列结论，你能肯定的是（ ）
A．今天是阴天，明天必然还是阴天
B．三个连续整数的积一定能被6整除
C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖
D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
【答案】B
【解析】
【分析】
判断命题的真假即可得到答案．
【详解】
解：三个连续整数中一定有一个是2的倍数、一个是3的倍数，所以它们的积一定能被6整除，故B项正确.A项、C项、D项都是猜测的结论，不能说明一定成立.
故选B.
3．下列命题能够称为公理的是（ ）
A．同角的补角相等B．两点确定一条直线
C．邻角的平分线互相垂直D．内错角相等，两直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】
根据公理的含义判断各选项即可
【详解】
公认的真命题叫做公理，只有B项符合.
故选B.
4．下列命题中真命题的个数是( )
①三角形的两边之和大于第三边；②同类项的系数必相同；③若a与b互为倒数，则ab＝1，④绝对值等于本身的数是正数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
在进行真假命题的识别时，可简单的推理判断一个命题是真命题，而要说明一个命题是假命题，可假设命题成立，推出矛盾即可证明是假命题。
【详解】
①是真命题，根据三角形的三边关系：任意三角形的两边之和大于第三边，即可判断①是真命题；②是假命题，根据同类项的定义判断，同类项的系数不一定相等；③是真命题，根据倒数的定义可判断是真命题；④是假命题，0不是正数，但是0的绝对值还是0.
5．下列语句中，属于命题的是( )
A．作线段的垂直平分线B．等角的补角相等吗
C．平行四边形是轴对称图形D．用三条线段去拼成一个三角形
【答案】C
【分析】
判断一件事情的句子叫做命题，根据命题的定义进行判断．
【详解】
A “作线段的垂直平分线”这个句子没对一件事情做出判断，不是命题；
B等角的补角相等吗，是问句，不是命题；
C 根据命题的定义可知，平行四边形是轴对称图形是命题；
D用三条线段去拼成一个三角形, 这个句子没对一件事情做出判断，不是命题;
故选C
6．“两点确定一条直线”这句话是（ ）
A．定理B．基本事实C．结论D．定义
【答案】B
【解析】
【分析】
两点确定一条直线是个陈述句，是事实存在的，属于基本事实．
【详解】
解：“两点确定一条直线”这句话是基本事实；
故选B．
7．下列句子中是命题的是( )
A．画∠A＝30°B．您好！C．对顶角不等D．谁？
【答案】C
【分析】
命题是能判断真假的陈述句,根据命题的定义即可解题.
【详解】
解：A. 画∠A＝30°,不能判断真假,错误,
B. 您好！感叹句,错误,
C. 对顶角不等,假命题,是命题,
D. 谁？疑问句,错误,
故选C
8．下列语句中，不是命题的是( )
A．所有的平角都相等B．锐角小于90°
C．两点确定一条直线D．过一点作已知直线的平行线
【答案】D
【解析】
【分析】
根据命题的定义：判断一件事情的语句叫命题，进行选择.
【详解】
、平角都相等，判断一件事情，故是命题；
、锐角小于，判断一件事情，故是命题；
、两点确定一条直线，判断一件事情，故是命题；
、没判断一件事情，只是叙述一件事情，故不是命题.
故选：.
【过关检测】
1．“两条直线相交成直角，就叫作这两条直线互相垂直”这个句子是( )
A．定义 B．命题 C．基本事实 D．定理
【答案】A
【解析】试题解析：两条直线相交成直角，就叫做两条直线互相垂直，这是垂直的定义.
故选A.
2．已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是下列哪个值（ ）
A．11B．5C．2D．1
【答案】B
【解析】
试题分析：由三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5，故选B．
3．已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（ ）
A．2kB．15C．24D．42
【答案】D
【解析】
试题分析：证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．
解：42是偶数，但42不是8的倍数．
故选D．
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．有一边与两角相等的两三角形全等
C．对角线相等的四边形是矩形 D．有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形
【答案】D
【解析】
试题分析：A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，该选项错误；
B．有一边与两角相等的两三角形全等，该选项错误；
C．对角线相等的四边形是矩形，该选项错误；
D．有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形，该选项正确．
故选D．
5．下列四个选项中，属于命题的是（ ）
A．两点能确定一条直线吗B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边D．的平分线
【答案】C
【分析】
根据命题的概念判断即可．
【详解】
解：A、两点能确定一条直线吗，没有对事情作出判断，不是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，没有对事情作出判断，不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，是命题；
D、∠A的平分线AM，没有对事情作出判断，不是命题；
故选：C．
6．已知命题“能被2整除的数是偶数”，则其逆命题为（ ）
A．能被2整除的数不是偶数B．不能被2整除的数是偶数
C．偶数是能被2整除的数D．偶数不是能被2整除的数
【答案】C
【分析】
依题意，写出原命题中的条件和结论，然后按照逆命题的要求，交换结论和条件即可；
【详解】
由题知，原命题为：能被2整除的数是偶数；
原命题的条件为：一个数能被2整数；原命题的结论为：这个数则为偶数；
逆命题：一个数是偶数，则这个数能被2整除；
故选：C
7．对于命题“（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据绝对值的定义即可得出若不成立，，据此作答即可．
【详解】
解：若命题“（a为实数）”是假命题，则，
符合条件的a只有B选项，
故选：B．
8．要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
找出a满足，但不满足即可．
【详解】
解：“若，则”是假命题，
可以举一个反例为a=-3．因为a=-3满足，但不满足．
故选A．
9．下列选项中，可以用来证明命题“若，那么”是假命题的反例是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题
【详解】
解：用来证明命题“若，那么”是假命题的反例是：a=-2，
∵a=-2＜1，但是（-2）2＞1，∴反例是D；
故选：D．
10．要说明命题“若a>b，则a2>b2” 是假命题，可设( )
A．a=3，b=4B．a=4， b=3C．a=－3，b=－4D．a=－4，b=－3
【答案】C
【分析】
说明是假命题，只需举一个反例即可，作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．
【详解】
解：A选项和D选项中，a＜b，不满足条件，不能作为反例，不符合题意；
B选项中，a=4， b=3，满足a>b，也满足a2>b2，不能作为反例，不符合题意；
C选项中，a=－3，b=－4，满足a>b，a2＜b2，能作为反例，符合题意；
故选：C．