（暑假）沪科版数学八年级暑假讲义第3讲 整式乘法与因式分解（2份，原卷版+解析版）

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1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；
2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；
4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
【基础知识】
一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.
要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
二、整式的乘法和除法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.
4.单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
5.多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
即：
三、乘法公式
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
四、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
要点诠释：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
【考点剖析】
考点一：幂的运算
例1．1．已知，，则的值为（ ）
A．12B．7C．D．
【答案】A
【分析】
直接根据同底数幂乘法运算法则求解即可．
【详解】
，
故选：．
考点二：整式乘法
例2．2．如果(x－2)(x＋3)=x2＋px＋q，那么p、q的值是（ ）
A．p=5，q=6B．p=1，q=－6C．p=1，q=6D．p=5，q=－6
【答案】B
【分析】
先根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值．
【详解】
解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-6，
又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q，
∴x2+px+q=x2+x-6，
∴p=1，q=-6．
故选：B．
考点三：完全平方公式
例3.3．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据多项式的化简计算即可.
【详解】
A错误，
B错误，
C正确;
D错误，
故选C.
考点四：因式分解
例4.4．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（）
①②③④⑤⑥⑦
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】B
【分析】
利用完全平方公式及平方差公式的特征判断即可．
【详解】
解：（1）可用平方差公式分解为；
（2）不能用平方差公式分解；
（3）可用平方差公式分解为；
（4）可用平方差公式分解为﹣4am；
（5）可用平方差公式分解为；
（6）可用完全平方公式分解为 ；
（7）不能用完全平方公式分解；
能运用公式法分解因式的有5个，
故选B．
【真题演练】
1．下列等式中，从左往右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据因式分解的定义进行判断即可得解．
【详解】
解：A.右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B.右边是整式积的形式，是因式分解，故本选项正确；
C.右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D.右边虽然是整式积的形式但因式分解错误、左右两边不相等，故本选项错误．
故选：B
2．将多项式因式分解提取公因式后，另一个因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
直径提取公因式即可.
【详解】
故选：B
3．下列各多项式中，可以用提取公因式法进行因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
找出选项中有公因式的选项即可．
【详解】
解：ABD选项均没有公因式，不能用提取公因式法进行因式分解.
选项C.
．
故选：．
4．多项式和的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别将和因式分解,然后找出公因式即可.
【详解】
解:
故和的公因式为:
故选B.
5．一个底面是正方形的长方体，高为6厘米，底面正方形边长为5厘米．如果它的高不变，底面正方形的边长增加了a厘米，那么它的体积增加了（ ）立方厘米．
A．60a+6a2B．6a2C．25a+6a2D．60a+25a2
【答案】A
【分析】
长方体变化后的高为6厘米，底面边长为（5+a）厘米，根据长方体的体积公式求解．
【详解】
解：
＝150+60a+6a2﹣150
＝6a2+60a（立方厘米）．
答：它的体积增加了（6a2+60a）立方厘米．
故选：A．
6．（x+5y）2等于（ ）
A．x2-5y 2B．x2+10x+25y 2C．x2+10xy+25y 2D．x2+x+25y 2
【答案】C
【分析】
根据完全平方公式运算法则进行去括号运算即可．
【详解】
解：，
故选：C．
7．下列式子运算正确的是（ ）
A．t2+t4＝t6B．（3x2）3＝9x5
C．m8÷m4＝m2D．
【答案】D
【分析】
分别根据合并同类项法则,积的乘方运算法则,同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐-判断即可．
【详解】
A．t2与t4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．（3x2）3＝9x6，故本选项不合题意；
C．m8÷m4＝m4，故本选项不合题意；
D. ，正确．
故选：D．
8．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】
解：A. ，不能用平方差公式计算，不合题意；
B. ，不能用平方差公式计算，不合题意；
C. ，不能用平方差公式计算，不合题意；
D. ，符合题意，
故选：D．
【过关检测】
1．要使（﹣6x3）（x2+ax﹣3）的展开式中不含x4项，则a＝（ ）
A．1B．0C．﹣1D．
【答案】B
【分析】
原式利用单项式乘多项式的法则计算，根据结果不含x4项求出a的值即可．
【详解】
解：原式=−6x5−6ax4+18x3，
由展开式不含x4项，得到a=0，
故选：B．
2．下列算式中，你认为正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
A选项分母不变分子相减即可得；B选项先计算除法后乘法即可；C选项3与是乘法运算；D选项利用平方差公式化简即可得.
【详解】
A. ，故选项不正确；
B. ，故选项正确；
C. ，故选项不正确；
D. ，故选项不正确；
故答案为B.
3．计算的结果为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据单项式乘以单项式运算法则，即可得到答案.
【详解】
解：，
故选择：B.
4．已知x3ym﹣1•xm+ny2n+2＝x9y9，则4m﹣3n等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】
先根据同底数幂乘法对等式左边进行计算，再根据相同字母的指数相等列出方程组，解出m、n的值，代入4m-3n求解即可．
【详解】
解：x3ym-1•xm+ny2n+2=xm+n+3ym+2n+1=x9y9，
∴，
解得，
∴4m-3n=4×4-3×2=10．
故选：C．
5．计算a5·a3的结果是（ ）
A．a8B．a15C．8aD．a2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则即可求解.
【详解】
a5·a3= a8
故选A.
6．2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】C
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
125纳米=125×10-9米=1.25×10-7米．
故选：C．
7．设am=8，an=16，则am+n=( )
A．24B．32C．64D．128
【答案】D
【分析】
根据同底数幂的乘法公式的逆运算=·，代入即可算出.
【详解】
=·=816=128，选D.
8．等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据幂的乘方法则直接计算.
【详解】
解：，
故选B.
9．计算：a•a2的结果是（ ）
A．3aB．a3C．2a2D．2a3
【答案】B
【分析】
原式利用同底数幂的乘法法则计算即可得到结果．
【详解】
解：原式＝a3，
故选：B．
10．纳米材料是用结构尺寸在1～100 nm范围内的纳米颗粒制成的，1 nm等于( )
A．10－10 mB．10－9 m
C．10－8 mD．10－6 m
【答案】B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：∵1nm= 0.000000001m，
∴1nm=10-9m，
故选：B.