（暑假）沪科版数学八年级暑假讲义第8讲 函数（2份，原卷版+解析版）

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1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；
2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．
3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．
4. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.
5. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．
【基础知识】
一、变量、常量的概念
在某一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.
二、函数的定义
一般地，设在一个变化过程中有两个变量与，如果对于在它允许取值范围内的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，那么就说 是自变量，是的函数.
要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： 前提：必须是在某一运动变化过程中，有两个变化的量.
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
三、函数值
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
四、自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
五、函数的几种表达方式：
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析式.其中的等式叫做函数表达式（或函数解析式）.
（2）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
（3）图象法：用图象来表示两个变量间的函数关系的方法.
要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出两个变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
六、函数的图象
一般的，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象.
由函数表达式画图象，一般按下列步骤进行：
列表：列表给出自变量与函数的一些对应值.
描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点.
连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线一次连接起来.
描出的点越多，描绘的图象误差越小.有时不能把所有的点都描出，就用平滑的曲线连接画出的点，从而得到表示这个函数关系的近似图像.
要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
【考点剖析】
考点一：函数的概念
例1．1．下列关系不是函数关系的是 （ ）
A．长方形的宽一定时，它的长与面积．B．正方形的周长与面积．
C．等腰三角形的底边长与面积．D．等腰三角形顶角的度数与底角的度数．
【答案】C
【分析】
根据函数的概念可直接进行排除选项．
【详解】
长方形的面积=长×宽，当宽一定时，它的长与面积成函数关系故A正确；
正方形面积=正方形的周长的平方的十六分之一，故B正确；
等腰三角形的面积=底边长×底边上的高×0.5，当底边上的高不确定时，等腰三角形的底边长与面积不成函数关系，故C不正确；
等腰三角形顶角的度数是180与底角的度数2倍的差，等腰三角形顶角的度数与底角的度数成函数关系，故D正确．
故选C．
考点二：求自变量的取值范围
例2．2．函数y=﹣ 中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＜0且x≠1C．x＜0D．x≥0且x≠1
【答案】D
【分析】
根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可．
【详解】
解：由题意得，x≥0且x-1≠0，
解得x≥0且x≠1，
∴x的取值范围是x≥0且x≠1，
故选D．
考点三：函数的三种表示方法
例3.3．下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是（ ）
A．用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化
B．用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值
C．用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值
D．任何函数关系都可以用上述三种方法来表示
【答案】D
【分析】
根据函数的表示方法的优缺点分析解答即可．
【详解】
A.用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化，此选项正确；
B.用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值，此选项正确；
C.用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值，此选项正确；
D.并不是任何函数关系都可以用上述三种方法来表示，此选项错误．
故选：D．
【真题演练】
1．已知矩形的周长为16cm，其中一边的长为xcm，面积为，则这个矩形的面积y（）与其中一边的长x（cm）之间的关系可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据长方形面积求法得出答案．
【详解】
解：长方形的周长为，其中一边长为，
另一边长为：，
矩形的面积与边长之间的关系可表示为．
故选：．
2．当时，的函数值是（ ）
A．1B．
C．3D．
【答案】B
【分析】
把代入所给的函数解析式计算即可.
【详解】
解：当时，.
故选：B.
3．函数中自变量的取值范围是（ ）.
A．B．
C．且D．
【答案】A
【分析】
根据分式有意义分母不能为0，根据二次根式有意义被开方数大于等于0，列出含x的不等式，取公共解即可.
【详解】
由得
x+1≥0，且x+3≠0，
解得x≥-1，故选A.
4．函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＞﹣1C．x≥﹣1D．x≥1
【答案】C
【分析】
由二次根式的意义可知 .
【详解】
解：由题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1．
故选C．
5．已知函数关系式，当自变量x增加1时，函数值（ ）
A．增加1B．减少1C．增加2D．减少2
【答案】D
【解析】
【分析】
本题中可令x分别等于a，a+1；求出相应的函数值，再求差即可解决问题．
【详解】
令x=a，则y=-2a+3；令x=a+1，则y=-2（a+1）+3=-2a+1所以y减少2；故选D．
6．下列曲线中，不能表示是的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
在函数图像中，对于的取值范围内的任意一点，通过这点作轴的垂线，则垂线与图像只有一个交点，据此判断即可．
【详解】
解：显然A、B、C中，对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数；D中存在x的值，使有二个值与之相对应，则不是的函数；
故选D．
7．在圆的周长C＝2πR中，常量与变量分别是（ ）
A．2是常量，C、π、R是变量B．2π是常量，C,R是变量
C．C、2是常量，R是变量D．2是常量，C、R是变量
【答案】B
【分析】
根据变量常量的定义在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量,可求解.
【详解】
在圆的周长公式中中，C与r是改变的，π是不变的；
所以变量是C，R，常量是2π.
故答案选B
8．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．在这一问题中，自变量是( )
A．时间B．骆驼C．沙漠D．体温
【答案】A
【分析】
因为骆驼的体温随时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量x和y，对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是时间．
【详解】
解：∵骆驼的体温随时间的变化而变化，
∴自变量是时间；
故选A．
【过关检测】
1．对于圆的面积公式S=πR2，下列说法中，正确的为( )
A．π是自变量B．R2是自变量
C．R是自变量D．πR2是自变量
【答案】C
【解析】
【分析】
由常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称为常量．
【详解】
解：因为在中，是圆周率，故是常数，S与R是变量，其中R是自变量故本题选C
2．在某个变化过程中，有两个变量x与y，下列关系中一定能称y是x的函数的是( )
A．x＝y2 B．y＝x2＋2x C．|y|＝2x D．y2＝2x＋1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数．
【详解】
根据函数概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应可得B中y是x的函数．
故选B．
3．在某次试验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：
则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的 （ ）
A．v=2m-2B．v=m2-1C．v=3m-3D．v=m+1
【答案】B
【解析】
【分析】
一般情况下是把最大的一对数据代入函数关系式后通过比较得出最接近的关系式．
【详解】
解：当m=4时，
A、v=2m-2=6；
B、v=m2-1=15；
C、v=3m-3=9；
D、v=m+1=5．
故选：B．
4．下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据函数的定义可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定函数的个数．
【详解】
根据函数的定义可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应．
A、对于x的每一个取值，y都有两个值，故A错误；
B．对于x的每一个取值，y都有两个值，故B错误；
C．对于x的每一个取值，y都有两个值，故C错误；
D．对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故D正确．
故选D．
5．在球的体积公式V=πr3中,下列说法正确的是 ( )
A．V,π,r是变量,是常量B．V,r是变量,是常量
C．V,r是变量,,π是常量D．以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
根据变量和常量的定义，结合题中球的体积公式，即可得出答案.
【详解】
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，由关系式知V随着r的变化而变化，所以V，r是变量，π是常数.
6．在圆面积公式中，变量是（ ）
A．SB．S与πC．S与R2D．S与R
【答案】D
【解析】
分析：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．
详解：
圆面积公式S=πR2中，S和R是变量；
故选D．
7．对于圆的面积公式，下列说法中，正确的为( )
A．是自变量B．R是常量
C．R是自变量D．和R是都是常量
【答案】C
【解析】
∵在圆的面积公式中，是常量，R是自变量，
∴上述四种说法中，只有C是正确的，其余三个选项中的说法都是错误的.
故选C.
8．函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x＜0C．x≠0的一切实数D．x取任意实数
【答案】C
【解析】
由题意得，x≠0.
故选C.
9．下列各点在函数y＝3x+2的图象上的是( )
A．(1，1)B．(﹣1，﹣1)C．(﹣1，1)D．(0，1)
【答案】B
【解析】
A、把（1，1）代入y=3x+2得：左边=1，右边=3×1+2=5，左边≠右边，故本选项错误；
B、把（-1，-1）代入y=3x+2得：左边=-1，右边=3×(-1)+2=-1，左边=右边，故本选项正确；
C、把（-1，1）代入y=3x+2得：左边=1，右边=3×(-1)+2=-1，左边≠右边，故本选项错误；
D、把（0，1）代入y=3x+2得：左边=1，右边=3×0+2=2，左边≠右边，故本选项错误．
故选B.
10．小王计划用100元钱买乒乓球，所购买球的个数为W个，每个球的单价为n元，其中( )
A．100是常量，W，n是变量 B．100，W是常量，n是变量
C．100，n是常量，W是变量 D．无法确定
【答案】A
【解析】由题意得，100是常量，W，n是变量.
故选A.