（暑假）沪科版数学八年级暑假讲义第1讲 实数（2份，原卷版+解析版）

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1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
【基础知识】
一：平方根和立方根
二：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【考点剖析】
考点一：实数与数轴
例1．1．如图，线段AB将边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，以A为圆心，AB的长度为半径画弧交数轴于点C，那么点C在数轴上表示的实数是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】
先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项．
【详解】
解：点表示的数是：，
故答案选：．
考点二：平方根
例2．2．7的平方根是（ ）
A．B．C．D．3.5
【答案】C
【分析】
根据平方根的定义结合性质找到7平方之前的数，即可确定结果；
【详解】
解：∵（±）2=7，
∴7的平方根是±．
考点三：算术平方根
例3.3．的算术平方根是（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】D
【分析】
首先求出的值是多少；然后根据算术平方根的含义和求法，求出的算术平方根是多少即可．
【详解】
解：∵=4，
∴的算术平方根是：=2，
故选：D．
【真题演练】
1．x是的整数部分，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】
首先估算出的范围，得到整数部分x，代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴的整数部分是1，
∴，
故选B．
2．的算术平方根是（ ）
A．B．3C．D．9
【答案】B
【分析】
先求出=9，再根据算术平方根的定义求出即可．
【详解】
解：∵=9，
∴的算术平方根是=3，
故选：B．
3．64的立方根是（ ）
A．8B．C．D．4
【答案】D
【分析】
直接根据立方根的定义可得答案．
【详解】
解：∵43=64，
∴64的立方根为：4．
故选：D．
4．下列各数中，3.14，，1.23233是无理数的是（ ）
A．3.14B．C．D．1.23233
【答案】C
【分析】
根据无理数的定义求解即可．
【详解】
解：A、3.14是有理数，不符合题意；
B、=3，是有理数，不符合题意；
C、，是无理数，符合题意；
D、1.23233是有理数，不符合题意；
故选C．
5．在中，负分数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
根据负分数的意义，可得答案．
【详解】
解：在中，
负分数有共2个，
故选B．
6．在实数中，，，0.1010010001，，无理数有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
利用无理数的定义判断即可．
【详解】
为无理数，为有理数，为无理数，0.1010010001为有理数，为有理数．
综上可知，无理数有2个．
故选B．
7．在实数，1.020020002，，中，无理数是（ ）
A．B．1.020020002C．D．
【答案】C
【分析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数即可．
【详解】
解：，，1.020020002都是有理数，
是无理数，
故选C．
8．在，，0，3.14，，，，中，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【详解】
解：，
∴无理数有，共2个，
故选：B．
【过关检测】
1．在中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
根据无理数的定义求解即可．
【详解】
解：是无理数，
故选：C．
2．大于，而小于的整数共有（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
【答案】A
【分析】
找出大于-4而小于π的整数，即可得出答案．
【详解】
解：大于-4而小于π的整数有-3，-2，-1，0，1，2，3，共7个，
故选：A．
3．在实数，0.3030030003…（每两个3之间多添一个0）中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】
根据无理数的概念即可判断．
【详解】
解：=-2，=5，
无理数有：，0.3030030003…（每两个3之间多添一个0）共3个，
故选：B．
4．的平方根等于（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】C
【分析】
原式利用算术平方根，平方根定义计算即可得到结果．
【详解】
解：=4，4的平方根是±2，
故选：C．
5．已知一个数的平方根是，这个数是（ ）
A．B．9C．81D．
【答案】B
【分析】
直接利用平方根的定义求解即可．
【详解】
解：∵3或-3的平方等于9，
∴这个数是9．
故选B．
6．在这四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】B
【分析】
根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
【详解】
解：-2＜-＜0＜2，
∴最小的数是-2，
故选：B．
7．下列实数是无理数的是（ ）
A．B．C．3.1415D．﹣5
【答案】A
【分析】
根据无理数的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】
A. 是无理数，符合题意，
B. 是有理数，不符合题意，
C. 3.1415是有理数，不符合题意，
D. ﹣5是有理数，不符合题意，
故选A．
8．在实数中，无理数的个数有（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】
根据无理数的概念即可判断．
【详解】
解：∵，
则无理数为，共2个，
故选：C．
9．在，，，3，，0.243456中，无理数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】
根据无理数是无限不循环小数即可选出答案．
【详解】
无限不循环小数只有和两个，
故选A．
10．已知4m+15的算术平方根是3，2-6n的立方根是-2，则=（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
【答案】C
【分析】
利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】
解：由题意可得：4m+15=9，2-6n=-8，解得：，
∴
故选：C 类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论