（暑假）沪科版数学八年级暑假讲义第4讲 分式（2份，原卷版+解析版）

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1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
3．掌握分式的四则运算．
4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．
【基础知识】
一、分式的有关概念及性质
1．分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.
2.分式的基本性质
（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
二、分式的运算
1．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 ，其中是整式，.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
三、分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.
要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
四、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
【考点剖析】
考点一：分式的基本性质
例1．1．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．或
【答案】C
【分析】
直接利用分式有意义则分母不能为0，进而得出答案．
【详解】
解：分式有意义，
则x2-4≠0，
解得：x≠2且x≠-2．
故选：C．
考点二：分式的运算
例2．2．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
因为分母相同，则分子直接相减，即，然后进行化简．
【详解】
解：．
故选：．
考点三：分式方程
例3.3．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用分式方程的定义逐项判断即可．
【详解】
A．符合分式方程的定义，故A不符合题意．
B．不符合分式方程的定义，故B符合题意．
C．符合分式方程的定义，故C不符合题意．
D．符合分式方程的定义，故D不符合题意．
故选：B．
【真题演练】
1．若4，则x的值是（ ）
A．4B．C．D．﹣4
【答案】C
【分析】
去分母，再系数化1，即可求得.
【详解】
解：4，
，
，
故选：C．
2．在方程：①，②，③，④，是分式方程的有（ ）
A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④
【答案】C
【分析】
分母中含有未知数的方程称为分式方程，据此解题即可．
【详解】
解:①分母不含未知数，故①不是分式方程；
②分母不含未知数，故②不是分式方程；
③分母含有未知数，故③是分式方程；
④分母含有未知数，故④是分式方程．
故选C．
3.．某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价．设这种服装的成本价为x元，则得到方程（ ）
A．＝25%B．150﹣x＝25%C．x＝150×25%D．25%x＝150
【答案】A
【分析】
由利润率＝利润÷成本＝（售价﹣成本）÷成本可得等量关系为：（售价﹣成本）÷成本＝25%．
【详解】
解：由题意可得＝25%．
故选A．
4．若方程无解，则m=（ ）
A．1B．2C．4D．前面几个都不对
【答案】A
【分析】
先将分式方程转化为整式方程，再根据分式方程无解得出x的值，然后将其代入即可得．
【详解】
两边同乘以得：
解得：
由方程无解可得：
则有
解得：
故选：A．
5．下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
去分母根据的是等式的性质2，方程的两边乘以最简公分母，即可将分式方程转化为整式方程．
【详解】
方程的两边同乘，得：
，即，
故选：D．
6．甲、乙两人同时从 A地出发，步行 15km 到 B地，甲比乙每小时多走 1km，结果甲比乙早到半小时，两人每小时各走几千米？设甲每小时走 x km，则可列出的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设甲每小时走xkm，则乙每小时走（x-1）km，根据时间=路程÷速度结合甲比乙早到半小时，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
设甲每小时走xkm，则乙每小时走（x-1）km，
依题意，得：．
故选：A．
7．纳米是一种长度单位，为十亿分之一米，假设一种粒子的直径约为用科学记数法表示为（ ）米．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
用科学记数法表示较小数时的形式为 ，其中 ，n为正整数，然后根据即可得出答案．
【详解】
易知，，
故答案为：
8．﹣2﹣3＝（ ）
A．B．C．8D．﹣8
【答案】A
【分析】
直接运用负整数指数幂的运算法则计算即可;
【详解】
解：﹣2﹣3＝．
故选：A．
【过关检测】
1．等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据负整数指数幂运算即可得．
【详解】
原式，
，
故选：C．
2．成人体内成熟的细胞的平均直径一般为0.00000073m，可以用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
0.00000073m＝7.3×10−7m；
故选：D．
3．2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×10-6B．25×10-7C．0.25×10-5D．2.5×10-5
【答案】A
【分析】
根据科学记数法的定义即可得．
【详解】
科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法
则
故选：A．
4．若a＝（）﹣2，b＝1﹣1，c＝（﹣）0，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＝cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a
【答案】A
【分析】
先根据负指数幂和零指数幂进行计算，再比较大小．
【详解】
b＝1﹣1＝1，
c＝（﹣）0＝1，
∴a＞b＝c．
故选：A．
5．与分式相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用分式的基本性质，分子分母同时乘-1即可．
【详解】
解：，
故选B．
6．要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A．B．C．或D．且
【答案】D
【分析】
根据分式有意义的条件得出x+2≠0且x-1≠0，再求出即可．
【详解】
解：要使分式有意义，必须x+2≠0且x-1≠0，
解得：x≠-2且x≠1，
故选：D．
7．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用最简分式定义进行分析即可．
【详解】
解：A、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意；
B、该分式的分子、分母中含有公因数2，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、该分式的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、该分式的分子、分母中含有公因式（x+y），不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：A．
8．下列式子中，属于分式的是 ( ) ．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据分式的定义分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：是分式；、、是整式；
故选：D．
9．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】
A、原式= ，故本选项错误；
B、原式=x-1，故本选项错误；
C、是最简分式，故本选项正确；
D、原式= ，故本选项错误．
故选C．
10．分式的值为0，则的值为（ ）
A．1B．C．-1D．任意实数
【答案】B
【分析】
直接利用分式的值为零的条件进而得出答案.
【详解】
∵分式的值为0，
∴，≠0，
∴．
故选B．