第06讲 矩形（原卷版+解析版）-初中数学人教版八年级（八升九）暑假自学课

这是一份第06讲 矩形（原卷版+解析版）-初中数学人教版八年级（八升九）暑假自学课，文件包含第06讲矩形原卷版docx、第06讲矩形解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。


矩形的定义：
有一个角是 直角 的平行四边形是矩形。
矩形的性质：
对边 平行且相等 ，邻边相互 垂直 。
对角 相等 ，邻角 互补 ，每一个角都是 直角 。
对角线 相互平分 且对角线 相等 。
矩形既是一个 中心对称 图形又是一个 轴对称 图形。
矩形的面积等于 长×宽 。
矩形的判定：
三个角（四个角）都是 直角 的四边形是矩形。
有一个角是 直角 的平行四边形是矩形。
邻边相互 垂直 的平行四边形是矩形。
对角线 相等 的平行四边形是矩形。
直角三角形斜边上的中线性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 。

1．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为1.8km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．1.8kmB．3.6kmC．0.9kmD．1.2km
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝AB，代入求出即可．
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴CM＝AB，
∵AB＝1.8km，
∴CM＝0.9km，
故选：C．
2．如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，点P是AB中点，A'B'表示竹竿AB端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则OP的长及在竹竿AB滑动过程中的情况是（ ）
A．下滑时，OP的长度增大
B．上升时，OP的长度减小
C．只要滑动，OP的长度就变化
D．无论怎样滑动，OP的长度不变
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，P为AB的中点，
∴OP＝AB，
即OP的长在竹竿AB滑动过程中始终保持不变，
故选：D．
3．矩形一定具有的性质是（ ）
A．邻边相等B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．对角线平分每一组对角
【分析】根据矩形的对角线的性质即可求出答案．
【解答】解：矩形对角线相等且互相平分，
故选：B．
4．如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC与BD交于点O，以下说法不一定正确的是（ ）
A．∠BAD＝90°B．AC＝BDC．∠BAC＝∠DACD．AO＝OC
【分析】由矩形的性质可得∠BAD＝90°，AO＝CO，AC＝BD，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AO＝CO，AC＝BD，
故选：C．
5．如图，要使▱ABCD成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．∠ABC＝90°B．∠ABD＝∠CBDC．AC⊥BDD．AB＝BC
【分析】由矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判断．
【解答】解：A、∠ABC＝90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，得到▱ABCD是矩形，故A符合题意；
B、∠ABD＝∠CBD，由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，因此∠ABD＝∠ADB，所以AB＝AD，▱ABCD是菱形，故B不符合题意；
C、AC⊥BD，由平行线四边形的性质，得到AC垂直平分BD，因此AB＝AD，▱ABCD是菱形，故C不符合题意；
D、AB＝BC，此时▱ABCD是菱形，故D不符合题意．
故选：A．
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AD⊥CD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是矩形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥CD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，将△ABM沿AM折叠，使点B落在B'处，若∠AMB＝α，则∠B'AD等于（ ）
A．α﹣90°B．α﹣45°C．90°﹣2αD．90°﹣α
【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AD∥BC，求出∠DAM＝∠AMB＝α，∠BAM＝90°﹣α，根据折叠可知∠B'AM＝∠BAM＝90°﹣α，最后求出结果即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB＝α，∠BAM＝90°﹣α，
根据折叠可知，∠B'AM＝∠BAM＝90°﹣α，
∴∠B'AD＝∠B'AM﹣∠DAM＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，故C正确．
故选：C．
8．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（ ）
A．6B．5C．D．
【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，可求得OA＝OD＝，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP求得答案．
【解答】解：连接PO，
∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故选：C．
9．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
【分析】连接CM，先证四边形PCQM是矩形，得PQ＝CM，再由勾股定理得BD＝5，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，然后由面积法求出CM的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接CM，
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝8，∠BCD＝90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
由勾股定理得：BD＝＝＝10，
当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，
∴CM＝＝＝，
∴PQ的最小值为，
故选：C．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 ．
【分析】根据垂直定义可得∠AEB＝90°，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，AE＝DE＝CE＝2，从而得到CD＝4，最后利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∵CD是△ABC的中线，AB＝4，
∴DE是△ABE斜边上的中线，
∴，
∵∠DAC＝90°，E是CD的中点，
∴AE＝DE＝CE＝2，
∴CD＝4，
由勾股定理得．
故答案为：．
11．如图，在矩形OABC中，点B的坐标为（5，12），则AC的长是 ．
【分析】根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC＝OB，即可得出答案．
【解答】解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（5，12），
∴OM＝5，BM＝12，
由勾股定理得：，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC＝OB，
∴AC＝13，
故答案为：13．
12．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则线段OD的长度最大值是 ．
【分析】取AB的中点M，连接OM、MD，当OM、MD成一条直线时，OD有最大值，利用勾股定理及直角三角形斜边中线的性质可得答案．
【解答】解：取AB的中点M，连接OM、MD，当OM、MD成一条直线时，OD有最大值，
在矩形ABCD中，AB＝CD＝8，AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，
∴AM＝BM＝4，
在Rt△ADM中，，
在Rt△AOB中，，
∴OD的最大值是5+4＝9，
故答案为：9．
13．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10，G，H分别是AD，BC的中点，当四边形EGFH为矩形时，t的值为 ．
【分析】证出四边形EGFH是平行四边形，得出GH＝AB＝6，由矩形的判定与性质可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵E、F是对角线AC上的两个动点，速度均为每秒1个单位长度，
∴AE＝CF，
∵G，H分别是AD，BC中点，
∴AG＝AD，CH＝BC，
∴AG＝CH，
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，AG＝BH，
∴∠FEG＝∠EFH，
∴EG∥HF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
如图1，连接GH，
∵AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝6，
①如图1，当四边形EGFH是矩形时，
∴EF＝GH＝6，
∵AE＝CF＝t，
∴EF＝10﹣2t＝6，
∴t＝2；
②如图2，当四边形EGFH是矩形时，
∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，
∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6，
∴t＝8；
综上，四边形EGFH为矩形时t＝2或8．
故答案为：2或8．
14．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，AD＝3，取CQ的中点M，连接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的长．
【分析】（1）证出∠A＝90°即可；
（2）由（1）结论得出∠D＝90°，由M为QC中点，推出∠MDC＝∠MCD，∠DMQ＝2∠MCD，同理得出∠PMQ＝2∠PCM，由∠DMP＝90°，推出∠DCP＝45°，又因DC∥AB，推出∠CPB＝∠DCP＝45°，因为∠B＝90°，则∠PCB＝45°，推出PB＝BC＝3．则AP＝2，同理推出AQ＝AP＝2．
【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ，
∠BPQ＝∠A+∠AQP，
∠BPC＝∠AQP，
∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∠A＝∠CPQ＝90°
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∠D＝90°，
∵M为QC中点，
∴，
∴∠MDC＝∠MCD
∴∠DMQ＝∠MCD+∠MDC＝2∠MCD，
同理，∠PMQ＝2∠PCM，
∠DMP＝∠DMQ+∠PMQ＝2（∠MCD+∠PCM）＝2∠DCP，
∵∠DMP＝90°，
∴∠DCP＝45°，
∵DC∥AB，
∴∠CPB＝∠DCP＝45°，
∵∠B＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CPB＝∠PCB，
∴PB＝BC＝3．
∴AP＝AB﹣PB＝2，
∵∠QPC＝90°，
∴∠OPA＝180°﹣45°＝45°，
∴∠AQP＝90°﹣45°＝45°，
∴AQ＝AP＝2．

15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝12，AC＝16，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为 ．
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EF＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解答】解：连接AD、EF，
∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，
∴BC＝＝＝20，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴12×16＝20AD，
∴AD＝
∴EF的最小值为，
∵点G为四边形DEAF对角线交点，
∴GF＝EF＝；
故答案为：．
16．如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别在y轴，x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．
（1）取AB的中点E，连接OE，DE，求OE+DE的值．
（2）如图2，若以AB为边长在第一象限内作等边三角形△ABP，运动过程中，点P到原点的最大距离是多少？
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE＝AE＝3，然后根据勾股定理求出DE的长，进而可以解决问题；
（2）取AB的中点E，连接OE，PE，OP，根据OP＜OE+PE＝3+3，当P、E、O共线时，OP＝OE+PE＝3+3，可得点P到原点的最大距离．
【解答】解：（1）根据题意可知：∠AOB＝∠DAB＝90°，
∵AB的中点E，
∴OE＝AE＝AB＝3，
∵AD＝BC＝2，
∴DE＝＝＝，
∴OE+DE＝3+；
（2）取AB的中点E，连接OE，PE，OP，
在Rt△AOB中，OE＝AB＝3，
∵△ABP是等边三角形，
∴PB＝PA＝AB＝6，
∴BE＝AB＝3，PE⊥AB，
∴PE＝＝＝3，
在△POE中，
OP＜OE+PE＝3+3，
当P、E、O共线时，OP＝OE+PE＝3+3，
∴OP最大＝3+3．
∴点P到原点的最大距离是3+3，