还剩14页未读，
继续阅读
所属成套资源：沪科版七年级数学下册举一反三(原卷版+解析)
成套系列资料，整套一键下载
沪科版七年级数学下册专题8.7整式乘法与因式分解章末题型过关卷(沪科版)(原卷版+解析)
展开
这是一份沪科版七年级数学下册专题8.7整式乘法与因式分解章末题型过关卷(沪科版)(原卷版+解析)，共17页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分)（2023秋•南岗区校级月考）计算(−54)2019×(0.8)2018=（ ）
A．−54B．﹣0.8C．0.8D．54
2．(3分)（2023•广安）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣3a3）2＝6a6D．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b
3．(3分)（2023春•余杭区期中）已知9x＝25y＝15，那么代数式（x﹣1）（y﹣1）+xy+3的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．(3分)（2023春•焦作期末）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（ ）
A．0B．2C．12D．﹣2
5．(3分)（2023春•济阳区校级期末）x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（ ）
A．22B．﹣22C．±22D．0
6．(3分)（2023秋•温岭市期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．(3分)（2023•邯郸二模）若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
8．(3分)（2023秋•梁平区期末）观察下列各式：
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1．
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1，
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1，
（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1，
根据上述规律计算2+22+23+…+262+263的值为（ ）
A．264﹣1B．264﹣2C．264+1D．264+2
9．(3分)（2023•梓潼县模拟）已知a，b，c为自然数，且满足2a×3b×4c＝192，则a+b+c的取值不可能是（ ）
A．5B．6C．7D．8
10．(3分)（2023•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（ ）
A．24B．443C．163D．﹣4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分)（2023春•嘉兴期末）已知x＝2m+1，y＝3+2m+1，若用含x的代数式表示y，则y＝ ．
12．(3分)（2023秋•淮阳区期末）已知25a•52b＝5b，4b÷4a＝4，则代数式a2+b2值是 ．
13．(3分)（2023春•成都期中）已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．
14．(3分)（2023春•新吴区校级期中）已知a+1a=−2，则a4+1a4= ，a4−1a4= ．
15．(3分)（2023秋•张家港市期末）现规定一种运算：x⊕y＝xy+x﹣y，其中x，y为实数，则x⊕y+（y﹣x）⊕y＝ ．
16．(3分)（2023春•嘉兴期末）一块长方形铁皮，长为（5a2+4b2）m，宽为6a4m，在它的四个角上都剪去一个长为32a3m的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，这个无盖盒子的表面积是 m2．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分)（2023春•任丘市期末）计算：
（1）23x3y2•（32xy2）2•（23x）；
（2）[（﹣a5）4÷a12]2•（﹣2a4）．
18．(6分)（2023春•邛崃市期中）利用完全平方公式或平方差公式计算
（1）20192﹣2018×2020
（2）（3+2a+b）（3﹣2a+b）
19．(8分)（2023秋•南召县期末）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m2+m﹣2＝0．
20．(8分)（2023春•达川区校级期中）已知（x3+mx+n）（x2+x﹣2）展开式中不含x3和x2项，求代数式（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．
21．(8分)（2023春•全椒县期末）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：
（1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）；
（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，S1+S2＝20，p+q＝6．求图中阴影部分的面积．
22．(8分)（2023春•邗江区期中）阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．
（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．
（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．
23．(8分)（2023春•胶州市期中）（1）计算并观察下列各式：
第1个：（a﹣b）（a+b）＝ ；
第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ ；
第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ ；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+……+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1）＝ ；
（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+2+1＝ ．
（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+3+1＝ ．
第8章 整式乘法与因式分解章末题型过关卷
【沪科版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分)（2023秋•南岗区校级月考）计算(−54)2019×(0.8)2018=（ ）
A．−54B．﹣0.8C．0.8D．54
分析：根据积的乘方解决此题．
【解答】解：(−54)2019×(0.8)2018
=(−54)×(−54)2018×(45)2018
=−54×(−54×45)2018
=−54×(−1)2018
=−54×1
=−54．
故选：A．
2．(3分)（2023•广安）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣3a3）2＝6a6D．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b
分析：根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．
【解答】解：A、a2•a5＝a7，故选项错误；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项错误；
C、（﹣3a3）2＝9a6，故选项错误；
D、﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b，故选项正确；
故选：D．
3．(3分)（2023春•余杭区期中）已知9x＝25y＝15，那么代数式（x﹣1）（y﹣1）+xy+3的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
分析：先关键已知条件得到x+y＝2xy，在整体代入到整理后的代数式即可．
【解答】解：∵9x＝25y＝15，
∴9xy＝15y，25xy＝15x，
∴15x+y＝（9×25）xy＝（3×5）2xy，
∴x+y＝2xy，
（x﹣1）（y﹣1）+xy+3
＝xy﹣（x+y）+1+xy+3
＝2xy﹣（x+y）+4
＝4．
故选：A．
4．(3分)（2023春•焦作期末）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（ ）
A．0B．2C．12D．﹣2
分析：先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，由题可得含x的平方的项的系数为0，求出a即可．
【解答】解：（x2+ax+2）（2x﹣4）
＝2x3+2ax2+4x﹣4x2﹣4ax﹣8
＝2x3+（﹣4+2a）x2+（﹣4a+4）x﹣8，
∵（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，
∴﹣4+2a＝0，
解得：a＝2．
故选：B．
5．(3分)（2023春•济阳区校级期末）x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（ ）
A．22B．﹣22C．±22D．0
分析：完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2这里首末两项是x和11这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和11积的2倍，故a＝±22．
【解答】解：∵（x±11）2＝x2±22x+121，
∴在x2+ax+121中，a＝±22．
故选：C．
6．(3分)（2023秋•温岭市期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
分析：设BC＝a，CG＝b，建立关于a，b的关系，最后求面积．
【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．
∴a2+b2＝40．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴2ab＝64﹣40＝24，
∴ab＝12，
∴阴影部分的面积等于12ab=12×12＝6．
故选：A．
7．(3分)（2023•邯郸二模）若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
分析：先提取公因式，再套用平方差公式分解20222022﹣20222020，再根据等式的性质确定n的值．
【解答】解：∵20222022﹣20222020
＝20222020×(3分)（20232﹣1）
＝20222020×(3分)（2023+1）×(3分)（2023﹣1）
＝2023×20222020×2021，
又∵20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，
∴2023×20222020×2021＝2023×2022n×2021．
∴n＝2020．
故选：A．
8．(3分)（2023秋•梁平区期末）观察下列各式：
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1．
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1，
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1，
（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1，
根据上述规律计算2+22+23+…+262+263的值为（ ）
A．264﹣1B．264﹣2C．264+1D．264+2
分析：先由规律，得到（x64﹣1）÷（x﹣1）的结果，令x＝2得结论．
【解答】解：有上述规律可知：（x64﹣1）÷（x﹣1）
＝x63+x62+…+x2+x+1
当x＝2时，
即（264﹣1）÷（2﹣1）
＝1+2+22+…+262+263
∴2+22+23+…+262+263＝264﹣2．
故选：B．
9．(3分)（2023•梓潼县模拟）已知a，b，c为自然数，且满足2a×3b×4c＝192，则a+b+c的取值不可能是（ ）
A．5B．6C．7D．8
分析：将原方程化为2a+2c•3b＝26•3，得到a+2c＝6，b＝1，再根据a，b，c为自然数，求出a，c的值，进而求出答案．
【解答】解：根据题意得：2a+2c•3b＝26•3，
∴a+2c＝6，b＝1，
∵a，b，c为自然数，
∴当c＝0时，a＝6；
当c＝1时，a＝4；
当c＝2时，a＝2；
当c＝3时，a＝0，
∴a+b+c不可能为8．
故选：D．
10．(3分)（2023•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（ ）
A．24B．443C．163D．﹣4
分析：方法1、先化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝10﹣7mn，再判断出−23≤mn≤2，即可求出答案．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，进而得出mn=13k2−23，进而得出原式＝10﹣7mn=−73k2+443，即可求出答案．
【解答】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，
∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）
＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2
＝5m2+5n2﹣12mn
＝5（mn+2）﹣12mn
＝10﹣7mn，
∵m2+n2＝2+mn，
∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），
∴mn≥−23，
∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），
∴mn≤2，
∴−23≤mn≤2，
∴﹣14≤﹣7mn≤143，
∴﹣4≤10﹣7mn≤443，
即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为443，
故选：B．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，
∴mn+2+2mn＝k2，
∴mn=13k2−23，
∴原式＝10﹣7mn=−73k2+443≤443，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分)（2023春•嘉兴期末）已知x＝2m+1，y＝3+2m+1，若用含x的代数式表示y，则y＝ 2x+1 ．
分析：逆用同底数幂的乘法公式，把x＝2m+1变形为2m＝x﹣1，而2m+1＝2•2m，所以2m+1＝2（x﹣1），从而把y用含x的代数式表示出来．
【解答】解：∵x＝2m+1，
∴2m＝x﹣1．
∵2m+1＝2•2m，
∴2m+1＝2（x﹣1）．
∴y＝3+2m+1
＝3+2（x﹣1）
＝2x+1．
故答案为：2x+1．
12．(3分)（2023秋•淮阳区期末）已知25a•52b＝5b，4b÷4a＝4，则代数式a2+b2值是 59 ．
分析：利用幂的乘方与同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对所给的条件进行整理，从而可求得a，b的值，再求所求的式子的值即可．
【解答】解：∵25a•52b＝5b，4b÷4a＝4，
∴52a•52b＝5b，4b÷4a＝4，
即52a+2b＝5b，4b﹣a＝4，
∴2a+2b＝b，b﹣a＝1，
解得：a=−13，b=23，
∴a2+b2
＝（−13）2+（23）2
=19+49
=59，
故答案为：59．
13．(3分)（2023春•成都期中）已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ 3 ．
分析：已知等式整理变形后，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式=12（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）=12[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．
故答案为：3．
14．(3分)（2023春•新吴区校级期中）已知a+1a=−2，则a4+1a4= 2 ，a4−1a4= 0 ．
分析：已知a+1a=−2，两边分别平方可求得a2+1a2，再进行求解即可得出答案．
【解答】解：∵a+1a=−2，两边平方得：a2+1a2=2，
∴对其两边进行平方得；a4+1a4=2，
∵a4−1a4=（a2−1a2）（a2+1a2）＝（a+1a）（a−1a）×2，
∵(a−1a)2=a2+1a2−2＝2﹣2＝0，
∴a−1a=0，
故（a+1a）（a−1a）×2＝0．
故答案为：2，0．
15．(3分)（2023秋•张家港市期末）现规定一种运算：x⊕y＝xy+x﹣y，其中x，y为实数，则x⊕y+（y﹣x）⊕y＝ y2﹣y ．
分析：根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，列出算式，然后单项式乘多项式的法则计算即可．
【解答】解：x⊕y+（y﹣x）⊕y，
＝xy+x﹣y+（y﹣x）y+（y﹣x）﹣y，
＝y2﹣y；
故答案为：y2﹣y．
16．(3分)（2023春•嘉兴期末）一块长方形铁皮，长为（5a2+4b2）m，宽为6a4m，在它的四个角上都剪去一个长为32a3m的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，这个无盖盒子的表面积是 21a6+24a4b2 m2．
分析：这块铁皮的面积减去4个角上的小正方形的面积，就是无盖盒子的表面积．
【解答】解：（5a2+4b2）•6a4﹣4（32a3）2，
＝30a6+24a4b2﹣4×94a6，
＝30a6+24a4b2﹣9a6，
＝21a6+24a4b2m2．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分)（2023春•任丘市期末）计算：
（1）23x3y2•（32xy2）2•（23x）；
（2）[（﹣a5）4÷a12]2•（﹣2a4）．
分析：（1）运用单项式乘以单项式，幂的乘法运算法则运算即可，
（2）运用单项式乘以单项式，幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算法则运算即可．
【解答】解：（1）原式=
＝x6y6；
（2）原式＝[a20÷a12]2．（﹣2a4）
＝[a8]2．（﹣2a4）
＝a16．（﹣2a4）
＝﹣2a20．
18．(6分)（2023春•邛崃市期中）利用完全平方公式或平方差公式计算
（1）20192﹣2018×2020
（2）（3+2a+b）（3﹣2a+b）
分析：（1）根据平方差公式可以解答本题；
（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．
【解答】解：（1）20192﹣2018×2020
＝20192﹣(3分)（2023﹣1）×(3分)（2023+1）
＝20192﹣20192+1
＝1；
（2）（3+2a+b）（3﹣2a+b）
＝[（3+b）+2a][（3+b）﹣2a]
＝（3+b）2﹣4a2
＝9+6b+b2﹣4a2．
19．(8分)（2023秋•南召县期末）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m2+m﹣2＝0．
分析：先算乘方，再算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）
＝4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2
＝2m2+2m﹣2
＝2（m2+m）﹣2，
∵m2+m﹣2＝0，
∴m2+m＝2，
当m2+m＝2时，原式＝2×2﹣2＝2．
20．(8分)（2023春•达川区校级期中）已知（x3+mx+n）（x2+x﹣2）展开式中不含x3和x2项，求代数式（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．
分析：先利用多项式乘多项式法则化简已知代数式和要求代数式，根据开式中不含x3和x2项确定m、n的值．
【解答】解：（x3+mx+n）（x2+x﹣2）
＝x5+mx3+nx2+x4+mx2+nx﹣2x3﹣2mx﹣2n
＝x5+x4+（m﹣2）x3+（m+n）x2+（n﹣2m）x﹣2n．
∵展开式中不含x3和x2项，
∴m﹣2＝0，m+n＝0，
∴m＝2，n＝﹣2．
∴（m﹣n）（m2+mn+n2）
＝m3﹣n3
＝23﹣（﹣2）3
＝8﹣（﹣8）
＝16．
21．(8分)（2023春•全椒县期末）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：
（1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）；
（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，S1+S2＝20，p+q＝6．求图中阴影部分的面积．
分析：（1）图形整体面积等于各部分面积之和．
（2）根据多项式乘多项式的乘法解决此题．
（3）根据多项式乘多项式的乘法解决此题．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．
（2）（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2a2+5ab+2b2．
∴需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张．
（3）由题意得，p2+q2＝20，p+q＝6．
∵（p+q）2＝p2+q2+2pq＝62，
∴2pq＝62﹣20＝16．
∴pq＝8．
∴S阴=12pq×2=pq=8．
22．(8分)（2023春•邗江区期中）阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．
（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．
（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．
分析：（1）加1再减1，可以组成完全平方式；
（2）①加2ab再减2ab可以组成完全平方式；②在①得基础上，加2a2b2再减2a2b2，可以组成完全平方式；
（3）把所给的代数式进行配方，然后比较即可．
【解答】解：（1）a2﹣6a+8，
＝a2﹣6a+9﹣1，
＝（a﹣3）2﹣1，
＝（a﹣3﹣1）（a﹣3+1），
＝（a﹣2）（a﹣4）；
（2）a2+b2，
＝（a+b）2﹣2ab，
＝52﹣2×6，
＝13；
a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2
＝132﹣2×62
＝169﹣2×36
＝169﹣72
＝97；
（3）∵x2﹣4x+5，
＝x2﹣4x+4+1，
＝（x﹣2）2+1≥1＞0
﹣x2+4x﹣4，
＝﹣（x2﹣4x+4），
＝﹣（x﹣2）2≤0
∴x2﹣4x+5＞﹣x2+4x﹣4．
23．(8分)（2023春•胶州市期中）（1）计算并观察下列各式：
第1个：（a﹣b）（a+b）＝ a2﹣b2 ；
第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ a3﹣b3 ；
第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ a4﹣b4 ；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+……+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1）＝ an﹣bn ；
（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+2+1＝ 2n﹣1 ．
（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+3+1＝ 3n−12 ．
分析：（1）根据多项式乘多项式的乘法计算可得；
（2）利用（1）中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差；
（3）将原式变形为2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1＝（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+2+1），再利用所得规律计算可得；
（4）将原式变形为3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=12×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+3+1），再利用所得规律计算可得．
【解答】解：（1）第1个：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；
故答案为：a2﹣b2、a3﹣b3、a4﹣b4；
（2）若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+……+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
（3）2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1
＝（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+2+1）
＝2n﹣1n
＝2n﹣1
＝2n﹣1，
故答案为：2n﹣1．
（4）3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1
=12×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+3+1）
=12×（3n﹣1n）
=3n−12，
故答案为：3n−12．
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分)（2023秋•南岗区校级月考）计算(−54)2019×(0.8)2018=（ ）
A．−54B．﹣0.8C．0.8D．54
2．(3分)（2023•广安）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣3a3）2＝6a6D．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b
3．(3分)（2023春•余杭区期中）已知9x＝25y＝15，那么代数式（x﹣1）（y﹣1）+xy+3的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．(3分)（2023春•焦作期末）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（ ）
A．0B．2C．12D．﹣2
5．(3分)（2023春•济阳区校级期末）x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（ ）
A．22B．﹣22C．±22D．0
6．(3分)（2023秋•温岭市期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．(3分)（2023•邯郸二模）若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
8．(3分)（2023秋•梁平区期末）观察下列各式：
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1．
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1，
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1，
（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1，
根据上述规律计算2+22+23+…+262+263的值为（ ）
A．264﹣1B．264﹣2C．264+1D．264+2
9．(3分)（2023•梓潼县模拟）已知a，b，c为自然数，且满足2a×3b×4c＝192，则a+b+c的取值不可能是（ ）
A．5B．6C．7D．8
10．(3分)（2023•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（ ）
A．24B．443C．163D．﹣4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分)（2023春•嘉兴期末）已知x＝2m+1，y＝3+2m+1，若用含x的代数式表示y，则y＝ ．
12．(3分)（2023秋•淮阳区期末）已知25a•52b＝5b，4b÷4a＝4，则代数式a2+b2值是 ．
13．(3分)（2023春•成都期中）已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．
14．(3分)（2023春•新吴区校级期中）已知a+1a=−2，则a4+1a4= ，a4−1a4= ．
15．(3分)（2023秋•张家港市期末）现规定一种运算：x⊕y＝xy+x﹣y，其中x，y为实数，则x⊕y+（y﹣x）⊕y＝ ．
16．(3分)（2023春•嘉兴期末）一块长方形铁皮，长为（5a2+4b2）m，宽为6a4m，在它的四个角上都剪去一个长为32a3m的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，这个无盖盒子的表面积是 m2．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分)（2023春•任丘市期末）计算：
（1）23x3y2•（32xy2）2•（23x）；
（2）[（﹣a5）4÷a12]2•（﹣2a4）．
18．(6分)（2023春•邛崃市期中）利用完全平方公式或平方差公式计算
（1）20192﹣2018×2020
（2）（3+2a+b）（3﹣2a+b）
19．(8分)（2023秋•南召县期末）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m2+m﹣2＝0．
20．(8分)（2023春•达川区校级期中）已知（x3+mx+n）（x2+x﹣2）展开式中不含x3和x2项，求代数式（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．
21．(8分)（2023春•全椒县期末）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：
（1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）；
（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，S1+S2＝20，p+q＝6．求图中阴影部分的面积．
22．(8分)（2023春•邗江区期中）阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．
（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．
（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．
23．(8分)（2023春•胶州市期中）（1）计算并观察下列各式：
第1个：（a﹣b）（a+b）＝ ；
第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ ；
第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ ；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+……+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1）＝ ；
（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+2+1＝ ．
（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+3+1＝ ．
第8章 整式乘法与因式分解章末题型过关卷
【沪科版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分)（2023秋•南岗区校级月考）计算(−54)2019×(0.8)2018=（ ）
A．−54B．﹣0.8C．0.8D．54
分析：根据积的乘方解决此题．
【解答】解：(−54)2019×(0.8)2018
=(−54)×(−54)2018×(45)2018
=−54×(−54×45)2018
=−54×(−1)2018
=−54×1
=−54．
故选：A．
2．(3分)（2023•广安）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣3a3）2＝6a6D．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b
分析：根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．
【解答】解：A、a2•a5＝a7，故选项错误；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项错误；
C、（﹣3a3）2＝9a6，故选项错误；
D、﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b，故选项正确；
故选：D．
3．(3分)（2023春•余杭区期中）已知9x＝25y＝15，那么代数式（x﹣1）（y﹣1）+xy+3的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
分析：先关键已知条件得到x+y＝2xy，在整体代入到整理后的代数式即可．
【解答】解：∵9x＝25y＝15，
∴9xy＝15y，25xy＝15x，
∴15x+y＝（9×25）xy＝（3×5）2xy，
∴x+y＝2xy，
（x﹣1）（y﹣1）+xy+3
＝xy﹣（x+y）+1+xy+3
＝2xy﹣（x+y）+4
＝4．
故选：A．
4．(3分)（2023春•焦作期末）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（ ）
A．0B．2C．12D．﹣2
分析：先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，由题可得含x的平方的项的系数为0，求出a即可．
【解答】解：（x2+ax+2）（2x﹣4）
＝2x3+2ax2+4x﹣4x2﹣4ax﹣8
＝2x3+（﹣4+2a）x2+（﹣4a+4）x﹣8，
∵（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，
∴﹣4+2a＝0，
解得：a＝2．
故选：B．
5．(3分)（2023春•济阳区校级期末）x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（ ）
A．22B．﹣22C．±22D．0
分析：完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2这里首末两项是x和11这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和11积的2倍，故a＝±22．
【解答】解：∵（x±11）2＝x2±22x+121，
∴在x2+ax+121中，a＝±22．
故选：C．
6．(3分)（2023秋•温岭市期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
分析：设BC＝a，CG＝b，建立关于a，b的关系，最后求面积．
【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．
∴a2+b2＝40．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴2ab＝64﹣40＝24，
∴ab＝12，
∴阴影部分的面积等于12ab=12×12＝6．
故选：A．
7．(3分)（2023•邯郸二模）若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
分析：先提取公因式，再套用平方差公式分解20222022﹣20222020，再根据等式的性质确定n的值．
【解答】解：∵20222022﹣20222020
＝20222020×(3分)（20232﹣1）
＝20222020×(3分)（2023+1）×(3分)（2023﹣1）
＝2023×20222020×2021，
又∵20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，
∴2023×20222020×2021＝2023×2022n×2021．
∴n＝2020．
故选：A．
8．(3分)（2023秋•梁平区期末）观察下列各式：
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1．
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1，
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1，
（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1，
根据上述规律计算2+22+23+…+262+263的值为（ ）
A．264﹣1B．264﹣2C．264+1D．264+2
分析：先由规律，得到（x64﹣1）÷（x﹣1）的结果，令x＝2得结论．
【解答】解：有上述规律可知：（x64﹣1）÷（x﹣1）
＝x63+x62+…+x2+x+1
当x＝2时，
即（264﹣1）÷（2﹣1）
＝1+2+22+…+262+263
∴2+22+23+…+262+263＝264﹣2．
故选：B．
9．(3分)（2023•梓潼县模拟）已知a，b，c为自然数，且满足2a×3b×4c＝192，则a+b+c的取值不可能是（ ）
A．5B．6C．7D．8
分析：将原方程化为2a+2c•3b＝26•3，得到a+2c＝6，b＝1，再根据a，b，c为自然数，求出a，c的值，进而求出答案．
【解答】解：根据题意得：2a+2c•3b＝26•3，
∴a+2c＝6，b＝1，
∵a，b，c为自然数，
∴当c＝0时，a＝6；
当c＝1时，a＝4；
当c＝2时，a＝2；
当c＝3时，a＝0，
∴a+b+c不可能为8．
故选：D．
10．(3分)（2023•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（ ）
A．24B．443C．163D．﹣4
分析：方法1、先化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝10﹣7mn，再判断出−23≤mn≤2，即可求出答案．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，进而得出mn=13k2−23，进而得出原式＝10﹣7mn=−73k2+443，即可求出答案．
【解答】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，
∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）
＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2
＝5m2+5n2﹣12mn
＝5（mn+2）﹣12mn
＝10﹣7mn，
∵m2+n2＝2+mn，
∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），
∴mn≥−23，
∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），
∴mn≤2，
∴−23≤mn≤2，
∴﹣14≤﹣7mn≤143，
∴﹣4≤10﹣7mn≤443，
即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为443，
故选：B．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，
∴mn+2+2mn＝k2，
∴mn=13k2−23，
∴原式＝10﹣7mn=−73k2+443≤443，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分)（2023春•嘉兴期末）已知x＝2m+1，y＝3+2m+1，若用含x的代数式表示y，则y＝ 2x+1 ．
分析：逆用同底数幂的乘法公式，把x＝2m+1变形为2m＝x﹣1，而2m+1＝2•2m，所以2m+1＝2（x﹣1），从而把y用含x的代数式表示出来．
【解答】解：∵x＝2m+1，
∴2m＝x﹣1．
∵2m+1＝2•2m，
∴2m+1＝2（x﹣1）．
∴y＝3+2m+1
＝3+2（x﹣1）
＝2x+1．
故答案为：2x+1．
12．(3分)（2023秋•淮阳区期末）已知25a•52b＝5b，4b÷4a＝4，则代数式a2+b2值是 59 ．
分析：利用幂的乘方与同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对所给的条件进行整理，从而可求得a，b的值，再求所求的式子的值即可．
【解答】解：∵25a•52b＝5b，4b÷4a＝4，
∴52a•52b＝5b，4b÷4a＝4，
即52a+2b＝5b，4b﹣a＝4，
∴2a+2b＝b，b﹣a＝1，
解得：a=−13，b=23，
∴a2+b2
＝（−13）2+（23）2
=19+49
=59，
故答案为：59．
13．(3分)（2023春•成都期中）已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ 3 ．
分析：已知等式整理变形后，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式=12（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）=12[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．
故答案为：3．
14．(3分)（2023春•新吴区校级期中）已知a+1a=−2，则a4+1a4= 2 ，a4−1a4= 0 ．
分析：已知a+1a=−2，两边分别平方可求得a2+1a2，再进行求解即可得出答案．
【解答】解：∵a+1a=−2，两边平方得：a2+1a2=2，
∴对其两边进行平方得；a4+1a4=2，
∵a4−1a4=（a2−1a2）（a2+1a2）＝（a+1a）（a−1a）×2，
∵(a−1a)2=a2+1a2−2＝2﹣2＝0，
∴a−1a=0，
故（a+1a）（a−1a）×2＝0．
故答案为：2，0．
15．(3分)（2023秋•张家港市期末）现规定一种运算：x⊕y＝xy+x﹣y，其中x，y为实数，则x⊕y+（y﹣x）⊕y＝ y2﹣y ．
分析：根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，列出算式，然后单项式乘多项式的法则计算即可．
【解答】解：x⊕y+（y﹣x）⊕y，
＝xy+x﹣y+（y﹣x）y+（y﹣x）﹣y，
＝y2﹣y；
故答案为：y2﹣y．
16．(3分)（2023春•嘉兴期末）一块长方形铁皮，长为（5a2+4b2）m，宽为6a4m，在它的四个角上都剪去一个长为32a3m的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，这个无盖盒子的表面积是 21a6+24a4b2 m2．
分析：这块铁皮的面积减去4个角上的小正方形的面积，就是无盖盒子的表面积．
【解答】解：（5a2+4b2）•6a4﹣4（32a3）2，
＝30a6+24a4b2﹣4×94a6，
＝30a6+24a4b2﹣9a6，
＝21a6+24a4b2m2．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分)（2023春•任丘市期末）计算：
（1）23x3y2•（32xy2）2•（23x）；
（2）[（﹣a5）4÷a12]2•（﹣2a4）．
分析：（1）运用单项式乘以单项式，幂的乘法运算法则运算即可，
（2）运用单项式乘以单项式，幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算法则运算即可．
【解答】解：（1）原式=
＝x6y6；
（2）原式＝[a20÷a12]2．（﹣2a4）
＝[a8]2．（﹣2a4）
＝a16．（﹣2a4）
＝﹣2a20．
18．(6分)（2023春•邛崃市期中）利用完全平方公式或平方差公式计算
（1）20192﹣2018×2020
（2）（3+2a+b）（3﹣2a+b）
分析：（1）根据平方差公式可以解答本题；
（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．
【解答】解：（1）20192﹣2018×2020
＝20192﹣(3分)（2023﹣1）×(3分)（2023+1）
＝20192﹣20192+1
＝1；
（2）（3+2a+b）（3﹣2a+b）
＝[（3+b）+2a][（3+b）﹣2a]
＝（3+b）2﹣4a2
＝9+6b+b2﹣4a2．
19．(8分)（2023秋•南召县期末）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m2+m﹣2＝0．
分析：先算乘方，再算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）
＝4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2
＝2m2+2m﹣2
＝2（m2+m）﹣2，
∵m2+m﹣2＝0，
∴m2+m＝2，
当m2+m＝2时，原式＝2×2﹣2＝2．
20．(8分)（2023春•达川区校级期中）已知（x3+mx+n）（x2+x﹣2）展开式中不含x3和x2项，求代数式（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．
分析：先利用多项式乘多项式法则化简已知代数式和要求代数式，根据开式中不含x3和x2项确定m、n的值．
【解答】解：（x3+mx+n）（x2+x﹣2）
＝x5+mx3+nx2+x4+mx2+nx﹣2x3﹣2mx﹣2n
＝x5+x4+（m﹣2）x3+（m+n）x2+（n﹣2m）x﹣2n．
∵展开式中不含x3和x2项，
∴m﹣2＝0，m+n＝0，
∴m＝2，n＝﹣2．
∴（m﹣n）（m2+mn+n2）
＝m3﹣n3
＝23﹣（﹣2）3
＝8﹣（﹣8）
＝16．
21．(8分)（2023春•全椒县期末）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：
（1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）；
（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，S1+S2＝20，p+q＝6．求图中阴影部分的面积．
分析：（1）图形整体面积等于各部分面积之和．
（2）根据多项式乘多项式的乘法解决此题．
（3）根据多项式乘多项式的乘法解决此题．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．
（2）（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2a2+5ab+2b2．
∴需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张．
（3）由题意得，p2+q2＝20，p+q＝6．
∵（p+q）2＝p2+q2+2pq＝62，
∴2pq＝62﹣20＝16．
∴pq＝8．
∴S阴=12pq×2=pq=8．
22．(8分)（2023春•邗江区期中）阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．
（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．
（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．
分析：（1）加1再减1，可以组成完全平方式；
（2）①加2ab再减2ab可以组成完全平方式；②在①得基础上，加2a2b2再减2a2b2，可以组成完全平方式；
（3）把所给的代数式进行配方，然后比较即可．
【解答】解：（1）a2﹣6a+8，
＝a2﹣6a+9﹣1，
＝（a﹣3）2﹣1，
＝（a﹣3﹣1）（a﹣3+1），
＝（a﹣2）（a﹣4）；
（2）a2+b2，
＝（a+b）2﹣2ab，
＝52﹣2×6，
＝13；
a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2
＝132﹣2×62
＝169﹣2×36
＝169﹣72
＝97；
（3）∵x2﹣4x+5，
＝x2﹣4x+4+1，
＝（x﹣2）2+1≥1＞0
﹣x2+4x﹣4，
＝﹣（x2﹣4x+4），
＝﹣（x﹣2）2≤0
∴x2﹣4x+5＞﹣x2+4x﹣4．
23．(8分)（2023春•胶州市期中）（1）计算并观察下列各式：
第1个：（a﹣b）（a+b）＝ a2﹣b2 ；
第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ a3﹣b3 ；
第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ a4﹣b4 ；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+……+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1）＝ an﹣bn ；
（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+2+1＝ 2n﹣1 ．
（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+3+1＝ 3n−12 ．
分析：（1）根据多项式乘多项式的乘法计算可得；
（2）利用（1）中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差；
（3）将原式变形为2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1＝（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+2+1），再利用所得规律计算可得；
（4）将原式变形为3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=12×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+3+1），再利用所得规律计算可得．
【解答】解：（1）第1个：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；
故答案为：a2﹣b2、a3﹣b3、a4﹣b4；
（2）若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+……+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
（3）2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1
＝（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+2+1）
＝2n﹣1n
＝2n﹣1
＝2n﹣1，
故答案为：2n﹣1．
（4）3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1
=12×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+3+1）
=12×（3n﹣1n）
=3n−12，
故答案为：3n−12．
相关试卷
初中数学沪科版七年级下册6.2 实数练习： 这是一份初中数学沪科版七年级下册<a href="/sx/tb_c27266_t7/?tag_id=28" target="_blank">6.2 实数练习</a>，共18页。
沪科版七年级数学下册专题9.7分式章末题型过关卷(沪科版)(原卷版+解析)： 这是一份沪科版七年级数学下册专题9.7分式章末题型过关卷(沪科版)(原卷版+解析)，共20页。
沪科版七年级数学下册专题8.8整式乘法与因式分解全章八类必考压轴题(沪科版)(原卷版+解析)： 这是一份沪科版七年级数学下册专题8.8整式乘法与因式分解全章八类必考压轴题(沪科版)(原卷版+解析)，共67页。
