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    高考数学一轮复习:7空间向量与立体几何-重难点突破4练习(题型归纳与重难专题突破提升)

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    高考数学一轮复习:7空间向量与立体几何-重难点突破4练习(题型归纳与重难专题突破提升)

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    这是一份高考数学一轮复习:7空间向量与立体几何-重难点突破4练习(题型归纳与重难专题突破提升),文件包含重难点突破04立体几何表面积与体积原卷版docx、重难点突破04立体几何表面积与体积解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共42页, 欢迎下载使用。

    A.1B.2C.4D.8
    【解答】解:依题意有,底面,,且,,


    所以该四面体体积为2.
    故选:.
    2.已知圆柱的底面半径为2,母线长为8,过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为的平面,把这个圆柱分成两个几何体,则两几何体的体积之比为
    A.B.C.D.
    【解答】解:如图示圆柱中,底面半径为,底面直径为,母线长为.
    过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为的平面为一个椭圆面,且.
    在直角三角形中,,,所以.
    所以为母线的中点,过作与圆柱底面平行的平面则平分整个圆柱.
    在下半个圆柱中,椭圆面截两部分的体积为,
    所以椭圆面截整个几何体,所得两部分的体积之比为.
    故选:.
    3.四棱锥的底面是平行四边形,点、分别为、的中点,连接交的延长线于点,平面将四棱锥分成两部分的体积分别为,且满足,则
    A.B.C.D.
    【解答】解:如图,连接交于点,连接,
    则平面将四棱锥分成多面体和多面体两部分,
    显然,.
    设平行四边形的面积为,因为点为的中点,所以,
    设到平面的距离为,因为点为的中点,所以点到平面的距离为,
    取中点,连接,则,且,
    又点,,共线且,所以,且,
    所以,所以,所以点到平面的距离为,
    故,

    因此.
    故选:.
    二.多选题(共1小题)
    4.如图,在棱长为1的正方体中,点满足,其中,,,,则
    A.当时,
    B.当,时,点到平面的距离为
    C.当时,平面
    D.当时,三棱锥的体积恒为
    【解答】解:对于,
    当时,此时点与点重合,由正方体性质可得,,,
    所以四边形为平行四边形,从而,
    又因为,所以,即,故正确;
    对于,当时,此时点为的中点,
    由选项分析可知,平面,平面,
    所以平面,从而得点到平面的距离等于点到平面的距离,设为,
    因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥,且△为边长为的等边三角形,
    所以,从而得,解得,故错误;
    对于,
    当时,此时,,三点共线,
    由选项分析可知平面,同理可证平面,
    又因为,平面,,,平面,
    所以平面平面,又平面,从而得平面,故正确;
    对于,
    当时,点在△中与平行的中位线上,即,
    由选项分析可知平面,且平面,
    所以平面,从而点到平面的距离为定值,
    为点到平面的距离的一半,即,
    底面为边长为的等边三角形,所以,
    则的体积为,故正确.
    故选:.
    三.填空题(共1小题)
    5.四棱锥的底面是平行四边形,点、分别为、的中点,平面将四棱锥分成两部分的体积分别为,且满足,则 .
    【解答】解:如图,
    延长,交于点,连接交于点,
    底面为平行四边形,与全等,
    且与相似,相似比为2,
    设的面积为,则四边形的面积为,
    设点到底面的距离为,则,
    又为的中点,,
    ,得,


    则.
    故答案为:.
    四.解答题(共15小题)
    6.如图,在三棱柱中,平面,,,,点,分别在棱和棱上,且,,为棱的中点.
    (1)求证:;
    (2)求三棱锥的体积.
    【解答】解:(1)证明:在三棱柱中,平面,则平面,
    由平面,则,
    因为,则,又为的中点,所以,
    又,,平面,所以平面,
    由平面,所以.
    (2)设点到平面的距离为,则等于点到平面的距离,
    易知,△的面积为,
    所以.
    7.如图,在四棱锥中,,,,平面平面.
    (1)求证:平面;
    (2)设,,求三棱锥的体积.
    【解答】解:(1)取的中点,连接,
    因为,为中点,所以,
    因为平面平面,平面平面,平面,
    所以平面,又平面,所以,
    又因为,,所以,
    且,,平面,所以平面.
    (2)由(1)知,平面,
    因为平面,所以,
    又,,所以,
    因为,所以为等腰三角形,
    所以,
    所以,
    所以.
    8.如图,在正四棱锥中,,分别为,的中点,.
    (1)证明:,,,四点共面.
    (2)记四棱锥的体积为,四棱锥的体积为,求的值.
    【解答】解:(1)证明:因为,分别为,的中点,
    所以,,
    所以,
    故,,,四点共面;
    (2)由正四棱锥的对称性知,,,
    设点到平面的距离为,点到平面的距离为,
    由是的中点得,
    由得,
    所以.
    9.《九章算术》作为中国古代数学专著之一,在其“商功”篇内记载:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.”鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.如图所示,是长方体.
    (1)求证:三棱锥为鳖臑;
    (2)若,,,求三棱锥的表面积.
    【解答】解:(1)证明:是长方体,则底面,
    则,则面是直角三角形,
    同时,,则面是直角三角形,
    又由面,则有,面为直角三角形,
    同时,,则面是直角三角形,
    故棱锥的四个面均为直角三角形,故三棱锥为鳖臑;
    (2)根据题意,△中,,其面积,
    △中,,且,其面积,
    中,,其面积,
    △中,,且,其面积,
    故三棱锥的表面积.
    10.如图1,在中,,分别为,的中点;为的中点,,,将沿折起到△的位置,使得平面平面,如图2,点是线段上的一点(不包含端点).
    (1)求证:;
    (2)若直线和平面所成角的正弦值为,求三棱锥的体积.
    【解答】解:(1)由题意可知:,,,
    又为的中点,.
    平面平面,平面平面,平面,
    平面,
    又平面,;
    (2)取的中点,连接,,
    以为坐标原点,,,所在的直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,
    则,,,,2,,,0,,,,,,1,,.
    设,
    则,
    又,设平面的一个法向量为,
    由,取,得,
    又,
    设直线和平面所成角的大小为,

    解得或(舍,.

    即三棱锥的体积为.
    11.如图,在棱长为1的正方体中,点平面,且满足.
    (1)利用向量基本定理求的值;
    (2)求三棱锥的体积.
    【解答】解:(1)因为点平面,且满足,
    由、、、四点共面,根据空间向量基本定理知,
    ,解得;
    (2)以,,所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系如图所示:
    则,0,,,0,,,1,,,0,,,1,,
    所以,0,,1,,0,,,,
    所以,0,,,1,,
    设平面的一个法向量为,,,
    则,取,则,所以,1,,
    所以点到平面的距离为,
    所以的面积为,
    所以三棱锥的体积为.
    12.如图,三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形,,分别是,的中点,.
    (1)证明:平面;
    (2)求三棱锥的体积.
    【解答】解:(1)证明:因为,分别是,的中点,所以,
    因为平面,平面,
    所以平面;
    (2)因为是等边三角形,是的中点,
    所以,
    因为,,平面,,
    所以平面,
    因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形,
    所以.
    13.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,侧面面,,,为的中点.
    (1)求证:面面;
    (2)若二面角的大小为,求与面所成角的正弦值;
    (3)若平面与平面所成的锐二面角大小为,求四棱锥的体积.
    【解答】解:(1)证明:如图,分别取、中点、,连接,,,
    则且,
    又,,
    ,,
    四边形为平行四边形,,
    又,
    ,,
    平面平面,且平面平面,,
    平面,平面,
    ,,
    ,且,平面,
    平面,又平面,
    平面平面;
    (2)过点作,则平面,
    由(1)得平面,
    ,,
    所以二面角的平面角为,即,
    又,
    即为正三角形,
    ,,
    以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,
    则,0,,,4,,,2,,,
    又为中点,,,,,
    设平面的法向量为,
    则,令,得,
    则,
    直线与平面所成角的正弦值为;
    (3)设,,
    则,,,
    所以,0,,,0,,,4,,,2,,,0,,
    则,,
    设平面的法向量为,
    则,取,
    易知平面的一个法向量为,
    又平面与平面所成的锐二面角为,
    ,,
    解得或(舍,
    则,,
    所以四棱锥的体积为.
    14.劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容,对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战略意义,为了使学生熟练掌握一定劳动技能,理解劳动创造价值,某普通高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中,某学生欲将一个底面半径为,高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体,并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.
    (1)求该圆柱的侧面积的最大值;
    (2)求该圆柱的体积的最大值.
    【解答】解:(1)设圆柱的半径为,高为,
    则由题意可得,解得,
    所以圆柱的侧面积为,,
    因为,
    当且仅当,即时取“”,所以圆柱的侧面积最大值为.
    (2)圆柱的体积为,
    求导,得,
    令,解得或(不合题意,舍去),
    当时,,单调递增;当时,,单调递减,
    当时,取最大值,
    所以圆柱体的最大体积为.
    15.如图,在多面体中,四边形与均为直角梯形,,,平面,,.
    (1)已知点为上一点,且,求证:与平面不平行;
    (2)已知直线与平面所成角的正弦值为,求该多面体的体积.
    【解答】解:(1)证明:平面,,平面,
    ,,又,
    以为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,
    则,2,,,2,,,2,,,0,,,0,,
    ,0,,,,,,,,
    设平面的法向量为,,,
    则,令,得,1,,
    ,且不存在,使得,即与不共线,
    与平面不平行且不垂直.
    (2)设且,则,0,,,,,
    直线与平面所成角的正弦值为,

    化简得,解得或(舍,
    ,平面,平面,
    平面,平面,
    ,,又,,,
    ,,平面,平面,





    16.已知四棱锥,底面是菱形,,底面,且,点,分别是棱和的中点.
    (Ⅰ)求证:平面;
    (Ⅱ)求三棱锥的体积.
    【解答】解:(Ⅰ)取的中点,连接,,
    因为底面是菱形,所以且,
    因为点,分别是棱和的中点,所以且,且,
    所以且,所以四边形为平行四边形,所以,
    因为平面,平面,所以平面.
    (Ⅱ)由题意可得:.
    17.如图,在正四棱锥中,,是棱的中点;
    (1)求证:平面;
    (2)求三棱锥的体积.
    【解答】(1)证明:因为四边形为正方形,,则为的中点,连接,
    因为为的中点,则,
    又平面,平面,
    所以平面;
    (2)解:在正四棱锥中,为底面的中心,连接,
    则底面,,,
    因为为的中点,则点到平面的距离为,
    三棱锥的体积:.
    18.如图,四棱锥中,四边形是矩形,平面,,、分别是、的中点.
    (1)证明:平面;
    (2)若,求三棱锥的表面积.
    【解答】(1)证明:取的中点,连接,,,
    矩形中,是的中点,
    则,且,,且,
    所以,,
    所以四边形是平行四边形.
    所以,又平面,平面,
    所以平面.
    (2)解:因为、为直角三角形,
    则,,
    又因为,所以,
    因为,
    过点作,垂足为,设,,
    则,即,
    解得,从而,
    所以,
    所以三棱锥的表面积为.
    19.如图,四棱锥中,四边形为直角梯形,平面平面,,,,.
    (1)若与相似,三棱锥的外接球的球心恰为中点,求与平面所成角的正弦值;
    (2)求四棱锥体积的最大值.
    【解答】解:(1)由题意知,平面平面,平面平面,
    且,平面,平面,,
    又,,,
    又三棱锥外接球的球心恰为中点,
    ,,
    ,即,
    ,,
    又,,,
    设与平面所成角的正弦值为,.
    即与平面所成角的正弦值为.
    (2)易知四边形的面积为3,
    如图以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,
    易知点在平面内,设,,,,1,,,2,,
    由得,
    即,即,
    轨迹是在面上,以为圆心,为半径的圆,
    要使四棱锥体积最大,即到平面距离最大,且最大值为,
    四棱锥体积最大值.
    20.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子,建造和搬迁都很方便,适于牧业生产和游牧生活.蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”,如图1所示.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合,如图2所示.已知该圆锥的高为2米,圆柱的高为3米,底面直径为6米.
    (1)求该蒙古包的侧面积;
    (2)求该蒙古包的体积.
    【解答】解:由题意可知米,米,米,所以(米.
    (1)圆锥部分的侧面积为(平方米).
    圆柱部分的侧面积为(平方米).
    所以该蒙古包的侧面积为(平方米).
    (2)圆锥部分的体积为(立方米),
    圆柱部分的体积为(立方米).
    所以该蒙古包的体积为(立方米).

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