高考数学一轮复习:7空间向量与立体几何-重难点突破4练习(题型归纳与重难专题突破提升)
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这是一份高考数学一轮复习:7空间向量与立体几何-重难点突破4练习(题型归纳与重难专题突破提升),文件包含重难点突破04立体几何表面积与体积原卷版docx、重难点突破04立体几何表面积与体积解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共42页, 欢迎下载使用。
A.1B.2C.4D.8
【解答】解:依题意有,底面,,且,,
则
.
所以该四面体体积为2.
故选:.
2.已知圆柱的底面半径为2,母线长为8,过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为的平面,把这个圆柱分成两个几何体,则两几何体的体积之比为
A.B.C.D.
【解答】解:如图示圆柱中,底面半径为,底面直径为,母线长为.
过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为的平面为一个椭圆面,且.
在直角三角形中,,,所以.
所以为母线的中点,过作与圆柱底面平行的平面则平分整个圆柱.
在下半个圆柱中,椭圆面截两部分的体积为,
所以椭圆面截整个几何体,所得两部分的体积之比为.
故选:.
3.四棱锥的底面是平行四边形,点、分别为、的中点,连接交的延长线于点,平面将四棱锥分成两部分的体积分别为,且满足,则
A.B.C.D.
【解答】解:如图,连接交于点,连接,
则平面将四棱锥分成多面体和多面体两部分,
显然,.
设平行四边形的面积为,因为点为的中点,所以,
设到平面的距离为,因为点为的中点,所以点到平面的距离为,
取中点,连接,则,且,
又点,,共线且,所以,且,
所以,所以,所以点到平面的距离为,
故,
,
因此.
故选:.
二.多选题(共1小题)
4.如图,在棱长为1的正方体中,点满足,其中,,,,则
A.当时,
B.当,时,点到平面的距离为
C.当时,平面
D.当时,三棱锥的体积恒为
【解答】解:对于,
当时,此时点与点重合,由正方体性质可得,,,
所以四边形为平行四边形,从而,
又因为,所以,即,故正确;
对于,当时,此时点为的中点,
由选项分析可知,平面,平面,
所以平面,从而得点到平面的距离等于点到平面的距离,设为,
因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥,且△为边长为的等边三角形,
所以,从而得,解得,故错误;
对于,
当时,此时,,三点共线,
由选项分析可知平面,同理可证平面,
又因为,平面,,,平面,
所以平面平面,又平面,从而得平面,故正确;
对于,
当时,点在△中与平行的中位线上,即,
由选项分析可知平面,且平面,
所以平面,从而点到平面的距离为定值,
为点到平面的距离的一半,即,
底面为边长为的等边三角形,所以,
则的体积为,故正确.
故选:.
三.填空题(共1小题)
5.四棱锥的底面是平行四边形,点、分别为、的中点,平面将四棱锥分成两部分的体积分别为,且满足,则 .
【解答】解:如图,
延长,交于点,连接交于点,
底面为平行四边形,与全等,
且与相似,相似比为2,
设的面积为,则四边形的面积为,
设点到底面的距离为,则,
又为的中点,,
,得,
,
,
则.
故答案为:.
四.解答题(共15小题)
6.如图,在三棱柱中,平面,,,,点,分别在棱和棱上,且,,为棱的中点.
(1)求证:;
(2)求三棱锥的体积.
【解答】解:(1)证明:在三棱柱中,平面,则平面,
由平面,则,
因为,则,又为的中点,所以,
又,,平面,所以平面,
由平面,所以.
(2)设点到平面的距离为,则等于点到平面的距离,
易知,△的面积为,
所以.
7.如图,在四棱锥中,,,,平面平面.
(1)求证:平面;
(2)设,,求三棱锥的体积.
【解答】解:(1)取的中点,连接,
因为,为中点,所以,
因为平面平面,平面平面,平面,
所以平面,又平面,所以,
又因为,,所以,
且,,平面,所以平面.
(2)由(1)知,平面,
因为平面,所以,
又,,所以,
因为,所以为等腰三角形,
所以,
所以,
所以.
8.如图,在正四棱锥中,,分别为,的中点,.
(1)证明:,,,四点共面.
(2)记四棱锥的体积为,四棱锥的体积为,求的值.
【解答】解:(1)证明:因为,分别为,的中点,
所以,,
所以,
故,,,四点共面;
(2)由正四棱锥的对称性知,,,
设点到平面的距离为,点到平面的距离为,
由是的中点得,
由得,
所以.
9.《九章算术》作为中国古代数学专著之一,在其“商功”篇内记载:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.”鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.如图所示,是长方体.
(1)求证:三棱锥为鳖臑;
(2)若,,,求三棱锥的表面积.
【解答】解:(1)证明:是长方体,则底面,
则,则面是直角三角形,
同时,,则面是直角三角形,
又由面,则有,面为直角三角形,
同时,,则面是直角三角形,
故棱锥的四个面均为直角三角形,故三棱锥为鳖臑;
(2)根据题意,△中,,其面积,
△中,,且,其面积,
中,,其面积,
△中,,且,其面积,
故三棱锥的表面积.
10.如图1,在中,,分别为,的中点;为的中点,,,将沿折起到△的位置,使得平面平面,如图2,点是线段上的一点(不包含端点).
(1)求证:;
(2)若直线和平面所成角的正弦值为,求三棱锥的体积.
【解答】解:(1)由题意可知:,,,
又为的中点,.
平面平面,平面平面,平面,
平面,
又平面,;
(2)取的中点,连接,,
以为坐标原点,,,所在的直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,
则,,,,2,,,0,,,,,,1,,.
设,
则,
又,设平面的一个法向量为,
由,取,得,
又,
设直线和平面所成角的大小为,
,
解得或(舍,.
.
即三棱锥的体积为.
11.如图,在棱长为1的正方体中,点平面,且满足.
(1)利用向量基本定理求的值;
(2)求三棱锥的体积.
【解答】解:(1)因为点平面,且满足,
由、、、四点共面,根据空间向量基本定理知,
,解得;
(2)以,,所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系如图所示:
则,0,,,0,,,1,,,0,,,1,,
所以,0,,1,,0,,,,
所以,0,,,1,,
设平面的一个法向量为,,,
则,取,则,所以,1,,
所以点到平面的距离为,
所以的面积为,
所以三棱锥的体积为.
12.如图,三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形,,分别是,的中点,.
(1)证明:平面;
(2)求三棱锥的体积.
【解答】解:(1)证明:因为,分别是,的中点,所以,
因为平面,平面,
所以平面;
(2)因为是等边三角形,是的中点,
所以,
因为,,平面,,
所以平面,
因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形,
所以.
13.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,侧面面,,,为的中点.
(1)求证:面面;
(2)若二面角的大小为,求与面所成角的正弦值;
(3)若平面与平面所成的锐二面角大小为,求四棱锥的体积.
【解答】解:(1)证明:如图,分别取、中点、,连接,,,
则且,
又,,
,,
四边形为平行四边形,,
又,
,,
平面平面,且平面平面,,
平面,平面,
,,
,且,平面,
平面,又平面,
平面平面;
(2)过点作,则平面,
由(1)得平面,
,,
所以二面角的平面角为,即,
又,
即为正三角形,
,,
以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,
则,0,,,4,,,2,,,
又为中点,,,,,
设平面的法向量为,
则,令,得,
则,
直线与平面所成角的正弦值为;
(3)设,,
则,,,
所以,0,,,0,,,4,,,2,,,0,,
则,,
设平面的法向量为,
则,取,
易知平面的一个法向量为,
又平面与平面所成的锐二面角为,
,,
解得或(舍,
则,,
所以四棱锥的体积为.
14.劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容,对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战略意义,为了使学生熟练掌握一定劳动技能,理解劳动创造价值,某普通高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中,某学生欲将一个底面半径为,高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体,并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.
(1)求该圆柱的侧面积的最大值;
(2)求该圆柱的体积的最大值.
【解答】解:(1)设圆柱的半径为,高为,
则由题意可得,解得,
所以圆柱的侧面积为,,
因为,
当且仅当,即时取“”,所以圆柱的侧面积最大值为.
(2)圆柱的体积为,
求导,得,
令,解得或(不合题意,舍去),
当时,,单调递增;当时,,单调递减,
当时,取最大值,
所以圆柱体的最大体积为.
15.如图,在多面体中,四边形与均为直角梯形,,,平面,,.
(1)已知点为上一点,且,求证:与平面不平行;
(2)已知直线与平面所成角的正弦值为,求该多面体的体积.
【解答】解:(1)证明:平面,,平面,
,,又,
以为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,
则,2,,,2,,,2,,,0,,,0,,
,0,,,,,,,,
设平面的法向量为,,,
则,令,得,1,,
,且不存在,使得,即与不共线,
与平面不平行且不垂直.
(2)设且,则,0,,,,,
直线与平面所成角的正弦值为,
,
化简得,解得或(舍,
,平面,平面,
平面,平面,
,,又,,,
,,平面,平面,
,
,
,
,
.
16.已知四棱锥,底面是菱形,,底面,且,点,分别是棱和的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
【解答】解:(Ⅰ)取的中点,连接,,
因为底面是菱形,所以且,
因为点,分别是棱和的中点,所以且,且,
所以且,所以四边形为平行四边形,所以,
因为平面,平面,所以平面.
(Ⅱ)由题意可得:.
17.如图,在正四棱锥中,,是棱的中点;
(1)求证:平面;
(2)求三棱锥的体积.
【解答】(1)证明:因为四边形为正方形,,则为的中点,连接,
因为为的中点,则,
又平面,平面,
所以平面;
(2)解:在正四棱锥中,为底面的中心,连接,
则底面,,,
因为为的中点,则点到平面的距离为,
三棱锥的体积:.
18.如图,四棱锥中,四边形是矩形,平面,,、分别是、的中点.
(1)证明:平面;
(2)若,求三棱锥的表面积.
【解答】(1)证明:取的中点,连接,,,
矩形中,是的中点,
则,且,,且,
所以,,
所以四边形是平行四边形.
所以,又平面,平面,
所以平面.
(2)解:因为、为直角三角形,
则,,
又因为,所以,
因为,
过点作,垂足为,设,,
则,即,
解得,从而,
所以,
所以三棱锥的表面积为.
19.如图,四棱锥中,四边形为直角梯形,平面平面,,,,.
(1)若与相似,三棱锥的外接球的球心恰为中点,求与平面所成角的正弦值;
(2)求四棱锥体积的最大值.
【解答】解:(1)由题意知,平面平面,平面平面,
且,平面,平面,,
又,,,
又三棱锥外接球的球心恰为中点,
,,
,即,
,,
又,,,
设与平面所成角的正弦值为,.
即与平面所成角的正弦值为.
(2)易知四边形的面积为3,
如图以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,
易知点在平面内,设,,,,1,,,2,,
由得,
即,即,
轨迹是在面上,以为圆心,为半径的圆,
要使四棱锥体积最大,即到平面距离最大,且最大值为,
四棱锥体积最大值.
20.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子,建造和搬迁都很方便,适于牧业生产和游牧生活.蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”,如图1所示.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合,如图2所示.已知该圆锥的高为2米,圆柱的高为3米,底面直径为6米.
(1)求该蒙古包的侧面积;
(2)求该蒙古包的体积.
【解答】解:由题意可知米,米,米,所以(米.
(1)圆锥部分的侧面积为(平方米).
圆柱部分的侧面积为(平方米).
所以该蒙古包的侧面积为(平方米).
(2)圆锥部分的体积为(立方米),
圆柱部分的体积为(立方米).
所以该蒙古包的体积为(立方米).
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