高考数学一轮复习：7空间向量与立体几何-重难点突破3练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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（2）求三棱锥的体积．
【解答】解：（1）证明：在三棱柱中，平面，则平面，
由平面，则，
因为，则，又为的中点，所以，
又，，平面，所以平面，
由平面，所以．
（2）设点到平面的距离为，则等于点到平面的距离，
易知，△的面积为，
所以．
2．如图，在四棱锥中，，，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）设，，求三棱锥的体积．
【解答】解：（1）取的中点，连接，
因为，为中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为，，所以，
且，，平面，所以平面．
（2）由（1）知，平面，
因为平面，所以，
又，，所以，
因为，所以为等腰三角形，
所以，
所以，
所以．
3．如图，在正四棱锥中，，分别为，的中点，．
（1）证明：，，，四点共面．
（2）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值．
【解答】解：（1）证明：因为，分别为，的中点，
所以，，
所以，
故，，，四点共面；
（2）由正四棱锥的对称性知，，，
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
由是的中点得，
由得，
所以．
4．如图，已知四边形为菱形，平面，平面，．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面平面，求的长．
【解答】证明：（1）因为平面，平面，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为四边形为菱形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为，，平面，
所以平面平面；
解：（2）设交于点，取中点，连接，所以，底面，
以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为，所以，
设，则，0，，，，1，，，1，，
，，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，
因为，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，
因为平面平面，
所以，解得，
故的长为1．
5．如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，，分别是，的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【解答】解：（1）证明：因为，分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为是等边三角形，是的中点，
所以，
因为，，平面，，
所以平面，
因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形，
所以．
6．棱长为2的正方体中，、分别是、的中点，在棱上，且，是的中点．
（1）求证：；
（2）求，．
【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
如图所示：则，0，，，1，，，2，，，2，，，2，；
（1），，，
，；
（2）由 知，，2，，，，
，
，，
，．
7．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，为的中点．
（1）求证：面；
（2）求证：平面平面．
【解答】解：（1）证明：设，连接，
因为，分别是，的中点
，所以（4分）
而面，面，
所以面（7分）
（2）连接，因为，
所以，
又四边形是菱形，
所以（10分）
而面，面，，
所以面（13分）
又面，
所以面面（14分）
8．如图所示，在四棱锥中，已知底面，且底面为梯形，，，，点在线段上，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【解答】证明：（1）过作交于点，连接，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）在梯形中，，，，，
所以，
所以，即，
因为平面，平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
9．如图，在四棱锥中，底面四边形是菱形，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面平面．
【解答】证明：（1）连接交于，
底面四边形是菱形，为的中点，
又为的中点，连接，则．
平面，平面，
平面；
（2）由，得，
由四边形是菱形，得，
又，平面，
而平面平面，
平面平面．
10．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为中点，为中点，为线段上动点．
（1）若为中点，求证：平面；
（2）证明：平面平面．
【解答】证明：（1）如图，连接交于点，连接，
底面为正方形，为中点，为中点，
，且，
四边形为平行四边形，为中点．
又为中点，，且，
又平面，平面，
平面．
（2）底面为正方形，，
平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面，，
，且为中点，则，
又，，平面，平面，
平面，平面平面．
11．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是菱形，点是对角线与的交点，，，是的中点，连接．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明：平面平面．
【解答】证明：（Ⅰ）在中，、分别是、的中点，
是的中位线，，
平面，平面，
平面；
（Ⅱ）底面是菱形，，
平面，平面，．
平面，平面，，平面，
平面，
平面平面．
12．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求证：平面平面．
【解答】证明：（1）因为底面是正方形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面与交于点，平面，平面平面，
所以；
（2）因为侧面为等腰直角三角形，且，
所以，，
因为，，且两直线在平面内，
可得平面，
因为平面，则．
又因为，，且两直线在平面内，
则平面，
因为平面，则，
因为，
所以为等腰三角形，
所以点为的中点，
又因为，
所以为等腰直角三角形，
因为，，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以面平面．
13．已知正四棱柱中，，．
（1）求正四棱柱的表面积；
（2）求证：平面平面．
【解答】（1）解：由题意得，正四棱柱 的表面积为．
（2）证明：为正方形，故，
正四棱柱中，平面，平面，
故，，，平面，
故平面，
又平面，
故平面平面．
14．如图，在棱长是2的正方体中，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求异面直线与所成角的大小．
（Ⅱ）证明：平面．
【解答】解：（Ⅰ）建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：
则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，
，分别为，的中点，
，1，，，1，，
则，0，，，，，
则，，，
则，，
即，，即异面直线与所成角为．
（Ⅱ）证明：，0，，，2，，
则，0，，0，，，0，，2，，
即，，
则，，
，
平面．
15．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点．求证：
（1）四边形为平行四边形；
（2）平面．
【解答】证明：（1）以为坐标原点，分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，2，，
所以，，
所以，
又，，，四点不共线，所以四边形为平行四边形．
（2）由（1）知，，
所以，
所以，即，，
又因为，，平面，
所以平面．
16．如图所示，在四棱锥中，是正方形，平面，，，，分别是，，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）证明：平面平面．
【解答】证明：（1）因为，分别是，的中点，所以，
又因为为正方形，则，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
且，，平面，
所以平面平面．
（2）因为平面，平面，则，
又因为是正方形，则，
且，，平面，所以平面，
又因为，所以平面，
且平面，所以平面平面．
17．如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面平面．
【解答】证明：（1）因为，分别为棱，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为为圆的直径，所以．
因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
由（1）知，所以平面，又平面，
所以平面平面．
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为棱上一动点．
（1）在棱上何处时，可使得平面？并证明你的结论；
（2）求证：平面平面．
【解答】解：（1）当为棱的中点时，平面，理由如下：
因为为的中点，为的中点，得，
由四边形为正方形，得，因此，
因为平面，平面，所以平面；
证明：（2）在四棱锥中，平面，平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
19．如图，四边形是矩形，平面，平面，点在棱上．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求证：．
【解答】证明：（1）因为平面，平面，所以，
而平面，平面，
所以平面；
（2）因为四边形是矩形，所以，由（1）可得，
，，
所以平面平面；
（3）因为平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，
而平面，
可证得：．
即．
20．如图，矩形所在平面与直角梯形所在的平面垂直，，．
（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面平面．
【解答】证明：（1）因为是矩形，所以，
又平面，平面，
所以面；
（2）因为是矩形，所以．
因为平面平面，且平面平面，
且面，所以平面，
而平面，所以，
因，，、面，
所以面，又面，
所以面面．