高考数学一轮复习：7空间向量与立体几何-重难点突破5练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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A．B．C．D．
【解答】解：作，垂足为，连接，
，即，，，平面，
平面，平面，
，又，故平面，平面，
为在内的射影，则为与平面所成角，即，
，，
为二面角的平面角，即，
，
在中，由正弦定理有：
，
，
，又，
，，又，
，即，．
故选：．
2．在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：设，连接，则，
因为在正方体中，平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
所以即为与平面所成角．
设，，
因为，
所以，
因为，所以．
故选：．
3．在如图所示的几何体中，底面是边长为2的正方形，，，，均与底面垂直，且，点，分别为线段，的中点，则下列说法错误的是
A．直线与平面平行
B．三棱锥的外接球的表面积是
C．点到平面的距离为
D．若点在线段上运动，则异面直线和所成角的取值范围是
【解答】解：如图建立空间直角坐标系，可得，0，，，2，，，2，，，0，，
，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，2，，
对于，2，，
设平面的法向量，，，
，2，，，2，，
所以，
令，得，，
所以，1，，
所以，2，，1，，
所以直线与平面平行，选项正确；
对于：三棱锥的外接球的球心为，，，
则，
所以，
解得，，
，
所以三棱锥的外接球的体积为，选项正确；
对于，
，
，
，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以点到平面的距离为，选项正确；
对于：设，0，，
，，，，0，，
所以，
，，
所以异面直线和所成角的取值范围是，．选项错误．
故选：．
4．在正方体中，棱长为2，平面经过点，且满足直线与平面所成角为，过点作平面的垂线，垂足为，则长度的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，连接，因为，所以，
又因为直线与平面所成角为，即，所以，
所以在如图所示的圆锥底面上，所以，
易知，，，
所以，
所以，．
故选：．
5．在长方体中，，，是的中点，点在线段上（包含端点），若直线与平面所成的角为，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，
设，则，，，
则，，，，，
设平面的法向量为，，，则，
令，得，，所以，
所以，
由于，所以，
所以．
故选：．
二．解答题（共10小题）
6．如图4，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．
（1）证明：；
（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【解答】（1）证明：如图，作的中点，连接，，
在等腰梯形中，，为，的中点，
，
在正中，为的中点，
，
，，，，平面，
平面，
又平面，．
（2）解：平面，
在平面内作，以为坐标原点，以，，，分别为，，，轴正向，如图建立空间直角坐标系，
，，为二面角的平面角，即，，0，，，，0，，，，，
设平面的法向量为，，，
则有，，即，可得令，，，
即，，，
又，
，
，，
．
7．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为．
（1）求证：平面；
（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；
（3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围．
【解答】证明：（1）法一：连结，为等边三角形，为中点，，
又平面，平面，
，，平面
平面，又平面，，
由题设知四边形为菱形，，
，分别为，中点，，，
，，，平面，
平面．
法二：由平面，，平面，，，
又为等边三角形，为中点，，
则以为坐标原点，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，，
，
，
又，，，平面，平面．
解：（2）由（1）坐标法得，
平面的一个法向量为，
点到到平面的距离．
解：（3），
设，则，
，，；
由（1）知平面，
平面的一个法向量
设平面的法向量，
则，，即，令，则，，，
，
令，则，
，
，，，，
即锐二面角的余弦值的取值范围为．
8．在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点．过的截面与棱，分别交于点，．
（1）若为的中点，试确定点的位置，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求截面与底面所成锐二面角的正切值；
（3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围．
【解答】解：（1）在平面内延长，相交于点，
则平面，又平面，
则有平面平面，，即，，三点共线，
因为为的中点，为的中点，所以，所以，
又因为，所以，
所以，即点为棱上靠近点的三等分点．
（2）在平面内延长，相交于点，连接，
则平面平面，
在平面内作于点，则平面，
又平面，所以，
在平面内作于点，连接，
又，平面，，所以平面，
平面，所以，
所以为截面与底面所成锐二面角的平面角，
在中，作于点，，，，，
，，
由余弦定理可得：，则，
，可得，所以，
又，所以，
故截面与底面所成锐二面角的正切值为；
（3）设，则，，，
设的面积为，所以，
又因为，所以，且，
故，令，则，
设，
当时，，
由，，，可得，即，
所以在上单调递减，
所以（1），，所以，
所以．
9．如图，在等腰梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）若点在线段上运动，设平面与平面的夹角为，试求的取值范围．
【解答】解：（1）证明：因为在等腰梯形中，，，，
所以，，
所以，则，
因为平面平面，平面面，面，
所以面．
（2），，
所以为等腰三角形，边上的高为，
所以，
设点到平面的距离为，
由，得，
所以，
所以，
所以点到平面的距离为．
（3）分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系：
令，则，0，，，0，，，1，，，0，，
所以，1，，，，，
设，，为平面的一个法向量，
则，
取，则，，
所以，，，
由题知，0，是平面的一个法向量，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以的取值范围为，．
10．如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，，，分别是线段，的中点，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）若点为线段上的动点，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．
【解答】解：（1）证明：连接，如图所示：
在三棱柱中，四边形为菱形，，
，分别为，中点，，
，
又为线段中点，是等边三角形，
，
又二面角为直二面角，即平面平面，且平面平面，平面，
平面，又平面，
，
又，平面，平面，
平面；
（2），，
为等边三角形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，，，，0，，
，2，，，，，，4，，
，0，，，，，，2，，，6，，
设，，，，即，，，，，
，，，即，，，
，，，由（1）得平面，
平面的一个法向量，6，，
设平面的法向量，
则，取，则，，
平面的法向量为，，，
，，
令，则，
，，
，，令，则，，
，，，
故锐二面角的余弦值的取值范围为，．
11．如图，在三棱柱与四棱锥的组合体中，已知，四边形是菱形，，，，．
（1）求证：平面．
（2）点为直线上的动点，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．
【解答】（1）证明：在三棱柱 中，
，，，
，，，
，，
又，，面，
平面；
（2）解：连接交于点，
四边形为菱形，，
以为原点，，所在直线为轴，轴，过点作平行于的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，1，，设，，，
，，，，
设为平面的一个法向量，
则有，令，可得，，
则，
显然是平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，
则，
故平面与平面所成角的余弦值的取值范围为．
12．边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且．
（1）证明：平面平面；
（2）设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围．
【解答】解：（1）证明：由题知，平面面，交线为，
因为，面，
所以面，
又面，
所以，
又是上异于，的点，且为直径，
所以，
又，
所以面，
又面，
所以平面面．
（2）过点作，垂足为，
由（1）知面，
以为坐标原点，的方向为轴正向，为单位长度，
建立如图所示空间直角坐标系，
由（1）知面，
因为，
所以面，
所以为二面角的平面角，为二面角的平面角，
所以，四边形是等腰梯形，
所以，
由上可得，0，，，4，，，4，，，0，，，0，，，0，，
所以，0，，，，，，4，，，0，，，
令，，
所以，，，，，，
设，，是平面向量的法向量，
则，即，
令，则，，
所以，，，
设直线和平面所成的角为，
则，，
当时，，
当时，，
又，当且仅当时，取等号，
所以，
所以直线和平面的角的正弦值的取值范围为，．
13．如图，在三棱锥中，侧面是锐角三角形，，平面平面．
（1）求证：；
（2）若，，点在棱（异于端点）上，当三棱锥体积最大时，若二面角大于，求线段长的取值范围．
【解答】（1）证明：过点作于点，
平面平面，平面平面，且平面，
平面，则，
又，且，平面，
而平面，可得；
（2）解：设，，
，可得，即，
，得，
又由，
得．
令（a），得（a），由（a），解得．
当时，（a），（a）单调递增；
当时，（a），（a）单调递减．
当时，即，时，三棱锥的体积最大．
以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，以过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．
设，可得，0，，，0，，，，，，，，
，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
由，取，可得；
由，取，得．
设二面角的平面角的大小为，
则，解得．
线段长的取值范围是．
14．如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）．
（1）若为的中点，证明：．
（2）设平面与平面的夹角为，求的取值范围．
【解答】（1）证明：分别取，的中点，，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，为的中点，
所以，
，0，，，0，，，
故，，
则，所以；
（2）解：设，则点，0，，
所以，，
设平面的法向量为，由，，
可得，即，令，
则，故，
又平面的一个法向量为，
所以，
因为，则，
所以，
故的取值范围为．
15．如图，在三棱柱中，平面平面，为等边三角形，，，，分别是线段，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．
【解答】（1）证明：连接，由题设知四边形为菱形，，
，分别，为中点，
，；又为中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
，又，，平面，
平面；
（2）解：，，为等边三角形，，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
以为坐标原点，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
，
设，则，
，，，
由（1）知：平面，
所以平面的一个法向量，
设平面的法向量，
则由，令，可得，，
平面的法向量，
，
令，则，
，
，，，
，
即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为．