高考数学一轮复习:7空间向量与立体几何-重难点突破1练习(题型归纳与重难专题突破提升)
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这是一份高考数学一轮复习:7空间向量与立体几何-重难点突破1练习(题型归纳与重难专题突破提升),文件包含重难点突破01外接球原卷版docx、重难点突破01外接球解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共29页, 欢迎下载使用。
A.B.C.D.
【解答】解:由于,故是等腰直角三角形,取的中点,
在上取点,使得,
由面面垂直的性质可知平面,
由于是的外心,故球心必然在上,
注意到,故点为三棱锥外接球的球心,
由可得,
且,故球的半径,
球的表面积.
故选:.
2.已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:正六棱柱的所有棱长均为2,故正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线的中点,
故,表面积为.
故选:.
3.三棱锥为正三棱锥,且,侧棱,则三棱锥的外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:因为三棱锥为正三棱锥,且,侧棱,
所以,,
即三棱锥与正方体有相同的外接球,
所以三棱锥的外接球的半径,表面积为.
故选:.
4.已知圆锥的底面积为,侧面积是底面积的2倍,则该圆锥外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:设圆锥的底面半径为,母线长为,
由题意得,所以,
因为圆锥的侧面积是底面积的2倍,所以,得,
易知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,其外接圆的半径即圆锥外接球的半径,
所以,
故该圆锥外接球的表面积.
故选:.
5.正四棱锥的高为3,体积为32,则其外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:如图,设正四棱锥底面的中心为,
正四棱锥的高为,又球心在正四棱锥的高上,
该正四棱锥的体积为,,,
设外接球的半径为,则在直角三角形中,
,解得.
球的表面积.
故选:.
6.在三棱锥中,、、两两互相垂直,,,,则三棱锥外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:如图所示,因为,,两两互相垂直,故将三棱锥补成一个长方体,
由题意知球心为中点,所以外接球半径,
因为,,,所以,
则,
所以球的表面积为.
故选:.
7.在三棱锥中,平面,,,,则三棱锥的外接球半径为
A.3B.C.D.6
【解答】解:由正弦定理得,外接圆直径为,得,
设球心到平面的距离为,则,
三棱锥的外接球半径为.
故选:.
8.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上,底面满足,,若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为
A.B.C.D.
【解答】解:,,则是等腰直角三角形,
为所在截面圆的直径,
取的中点,则为外接圆圆心,
设三棱锥外接球的球心为,
则平面,
底面的面积为定值,
当,,共线且,位于截面同一侧时,棱锥的最大高度为,棱锥的体积最大,
则三棱锥的体积,解得,
设外接球的半径为,则,,
在中,,
在中,,
由勾股定理得:,解得.
外接球的体积.
故选:.
9.在三棱锥中,已知底面,,,则三棱锥外接球的体积为
A.B.C.D.
【解答】解:由,,所以的外接圆直径,
,
由于底面,,
所以外接球的半径,
,
所以外接球的体积.
故选:.
10.已知在三棱锥中,平面,,,则三棱锥外接球表面积的最小值为
A.B.C.D.
【解答】解:如图,设,,为的外心,为三棱锥外接球的球心,
则平面,又平面,所以,平面,
则,四边形是直角梯形,设,,,
由平面,平面,得,
则,即,
又,则,
,
令,则,
,
当且仅当,即时等号成立,
所以三棱锥外接球表面积.
故选:.
11.三棱锥中,与均为边长为2的等边三角形,若平面平面,则该三棱锥外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:如图,
取中点,连接,,则,,
平面平面,平面,平面,
取的外心,的外心,
分别过,作平面与平面的垂线交于点,即为球心,连接,
由与均为边长为2的等边三角形,得,,
,
三棱锥外接球的表面积.
故选:.
12.在四棱锥中,平面平面,且是边长为2的正三角形,是正方形,则四棱锥外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:连接交于,球心在底面的射影必为点,取的中点,在截面中,连结,如图,
在等边中,的中点为,
所以,又平面平面,是交线,
所以平面,且,
设,外接球半径为,
则在正方形中,,,
在中,,
而在截面中,,
由可得:
解得,
所以,
所以.
故选:.
13.三棱锥中,平面,为直角三角形,,,,则三棱锥的外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:因为平面,,平面,
所以,,又因为,
所以三棱锥的外接球,就是以,,为长宽高的长方体的外接球,
外接球的直径等于长方体的对角线,
即,所以外接球的表面积为,
故选:.
14.已知直三棱柱中,底面边长分别为、、3,高,则该三棱柱的外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:不妨设,由余弦定理可得,
且,则,
所以的外接圆半径,
可得该三棱柱的外接球的半径,
所以该三棱柱的外接球的表面积为.
故选:.
15.三棱锥中,是边长为的正三角形,,,为中点且,则该三棱锥外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:棱锥中,是边长为的正三角形,,,为中点且,
由题设易得,则,即,
又,,,面,则面,
若的中心为,则外接球球心在过垂直于面的直线上,
又,结合线面垂直模型知:外接球的半径,
所以,外接球表面积为.
故选:.
16.已知三棱锥中,,底面,,,则该三棱锥的外接球的体积为
A.B.C.D.
【解答】解:取的中点,连结、
平面,平面,,
又,,平面,
平面,,
是的斜边上的中线,.
同理可得:中,.
,可得、、、四点在以为球心的球面上.
中,且,可得,
由此可得球的半径,,
故选:.
17.如图,正方体中的棱长为2,,分别为所在棱的中点,则四棱锥的外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:如图,建立空间直角坐标系,
则,2,,,2,,,0,,,0,,设球心为,,,外接球半径为,
于是,解得,
即球心,球半径,显然,符合题意,
所以四棱锥的外接球半径,表面积.
故选:.
18.已知是边长为4的等边三角形,将它沿中线折起得四面体,使得此时,则四面体的外接球表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:由题意,折叠后的四面体中,,,且,,,
设的外心为,外接圆半径,过作平面,过作,则四边形为矩形,
,
中,,,故,
由正弦定理可得,,即,则可得外接球球心在的中点,,
四面体的外接球表面积.
故选:.
19.在三棱锥,平面平面,是以为斜边的等腰直角三角形,为等边三角形,,则该三棱锥的外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:取中点,连接根据题意,因为为等腰直角三角形,
所以的外心为斜边的中点,,
又因为,
所以的外接圆半径为2,
因为平面平面,平面平面,
为等边三角形,所以,
所以平面,
所以外接球球心在直线上,
且,为的外心,
因为为等边三角形,所以,
所以由正弦定理有,
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选:.
20.四棱柱中,侧棱底面,,底面中满足,,,为上的动点,为四棱锥外接球的球心,则直线与所成角的正弦值的最小值为
A.B.C.D.
【解答】解:因为在四棱柱中,侧棱底面,
所以四棱柱为直四棱柱,所以,,
因为,所以,,两两垂直,
所以以为原点,以,,所在的直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,
因为,,,
所以,0,,,2,,,2,,,0,,
,0,,,0,,,2,,,2,,
球心在平面的投影坐标为,则设球心,
因为,所以,
解得,所以,
设,0,,,,则,0,,,
所以,
设,则,
所以当,即时,有最大值,
此时直线与所成的角最小,则其对应的正弦值也最小,正弦值为.
故选:.
21.古代数学名著《九章算术商功》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马,平面,,,则此“阳马”外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:因为四棱锥为阳马,平面,,,
将四棱锥补成以,,为邻边的长方体,
则长方体体对角线即为外接球的直径,
所以,
设外接球的半径为,
所以,
故,
所以,
故选:.
22.如图,已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,,,点在上底面(包括边界)上运动,则三棱锥外接球表面积的最大值为
A.B.C.D.
【解答】解:因为为等腰直角三角形,,
所以的外接圆的圆心为的中点,且,
连接与的中点,则,所以平面,
设球的球心为,由球的截面性质可得在上,
设,,半径为,
因为,所以,
所以,又,
所以,
因为,所以,
所以三棱锥的外接球表面积的最大值为.
故选:.
23.在中,,为的中点.将沿进行旋转,得到三棱锥,当二面角为时,的外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:由题意,,
二面角的平面角是,,
又,
由余弦定理可得,
平面,将三棱锥补形成直三棱柱,
三棱锥的外接球球心就是直三棱柱的外接球球心,
取外接圆的圆心,外接圆的圆心,
根据对称性知直三棱柱的外接球球心是的中点,
,,
又的外接圆的半径,,
在中,,
即,三棱锥的外接球的表面积为.
故选:.
24.已知四棱锥的体积为,侧棱底面,且四边形是边长为2的正方形,则该四棱锥的外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:由题意四棱锥的体积为,侧棱底面,且四边形是边长为2的正方形,
得,
,
设为的中点,为,的交点,连接,,
则为的中点,故,且
因为底面,故平面,
平面,故,
而四边形是边长为2的正方形,故,
故,则,
又,故,
同理求得,即,
故为四棱锥的外接球的球心,则半径为,
则该四棱锥的外接球的表面积为.
故选:.
25.我校开设通用技术选修课程,在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后,老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为的圆柱(硬纸片的厚度不记),记该圆柱的底面半径为,则当圆柱的外接球表面积取得最小值时,
A.B.C.D.
【解答】解:设圆柱的高为,
由题意可得,
所以,
设圆柱的外接球为,当最小时,圆柱的外接球表面积最小,
由题意可得
,
当且仅当,即时,取等号,
所以当圆柱的外接球表面积取得最小值时,.
故选:.
26.已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一球面上,,,,则四棱锥外接球的表面积为
A.B.C.D.
【解答】解:
由题意知,,又,又,平面,
所以平面,而平面,则平面平面.
由条件知,所以.
如图,取的中点,连接,交于点,则是的外心,为正方形的中心,
过点作平面的垂线,则点在该垂线上,所以为四棱锥外接球的球心.
由于,
所以四棱锥外接球的表面积为.
故选:.
27.在四面体中,底面,,,点为三角形的重心,若四面体的外接球的表面积为,则
A.B.2C.D.
【解答】解:设的中点为,
点是的重心,,
设的外心为,由题意点在上,
令,则,
即,解得,
平面,
四面体的外接球的半径满足,
由题意得,,
解得,
.
故选:.
28.已三棱锥中,是以角为直角的直角三角形,为的外接圆的圆心,,那么三棱锥外接球的半径为
A.B.C.D.
【解答】解:如图,
设三棱锥外接球的球心为,半径为,连接,,,,
是以角为直角的直角三角形,为圆的直径,
则,
,,,
在中,由余弦定理得,
即,得,
则,得,,
,为的中点,,
,,平面,平面,
三棱锥外接球的球心在直线上,得,
在中,由,得,解得,
三棱锥外接球的半径为.
故选:.
二.填空题(共2小题)
29.在三棱柱中,已知平面,,,,则该三棱柱外接球的表面积为 .
【解答】解:设△,与的外心分别为,,
则线段的中点为外接球的球心.
设外接圆的半径与该三棱柱外接球的半径分别为,,
由正弦定理知,解得,
所以:,
从而三棱柱外接球的表面积.
故答案为:.
30.在三棱锥中,是等边三角形,平面,,,是的中点,球为三棱锥的外接球,是球上的一点,则三棱锥体积的最大值是 .
【解答】解:因为是等边三角形,为的中点,所以,
又平面,平面,所以,又,
所以平面,又平面,
所以,
因为平面,且平面,
所以,
所以的中点到点,,,的距离相等,
所以三棱锥外接球的球心为的中点.
设三棱锥外接球的半径为,
则,解得,
因为外接圆的圆心为的中点,
设为,连接,因为,分别为,的中点,
则,故平面,如图.
则有,即到平面的距离为,
因此到平面距离的最大值为,
又,
所以三棱锥体积的最大值是.
故答案为:.
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