高考数学一轮复习：7空间向量与立体几何-重难点突破7练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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（1）证明：；
（2）若，且与平面成角为，点在棱上，且，求平面与平面的夹角的余弦值．
2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，的中点为．
（1）求证：平面．
（2）若，求二面角的余弦值．
3．在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点．
（1）证明：；
（2）若，求点到平面的距离．
4．如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，为棱的中点．
（1）证明：．
（2）设，若到平面的距离为，求．
5．如图，正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点．
（1）求点到直线的距离；
（2）求点到平面的距离．
6．如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点．
（1）求此三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小；
（3）求与平面所成角的大小．
7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
8．如图正方体中，棱长为，、分别为、的中点．
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的大小．
9．如图，正方体的棱长为2．
（1）用空间向量方法证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
10．如图，在菱形中，，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到点的位置，．
（1）证明：平面平面；
（2）若为线段上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
11．如图，在三棱柱中，△为等边三角形，四边形为菱形，，，．
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
12．如图，某多面体的底面为正方形，，，，，．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求二面角的平面角的正弦值．
13．如图，在四棱锥—中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点．
（1）求直线与平面所成角的正切值；
（2）在侧棱内找一点，使面，并求出点到和的距离．
14．如图，在长方体中，，，点在上，且．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
15．在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图．将沿折起到位置，使得平面平面（如图．
（1）求二面角的余弦值；
（2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
16．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点是中点．
（1）证明：面；
（2）若面面，求二面角的余弦值．
17．如图，在四棱锥中，，，，，，．是棱上一点，平面．
（1）求证：为的中点；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积．
条件①：点到平面的距离为；
条件②：直线与平面所成的角为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，，的中点分别为，，，且．
（1）证明：平面平面．
（2）若为的中点，求点到平面的距离．
19．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，二面角的大小为，是中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．如图所示，多面体中，底面为正方形，四边形为矩形，且，，．
（Ⅰ）求平面与平面所成二面角大小．
（Ⅱ）点在线段上，当平面时，求与平面所成的角的正弦值．