高考数学一轮复习：2基本初等函数-重难点突破4练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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一．选择题（共25小题）
1．用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：令，
函数在上单调递增，
（1），（2），（3），
故，可以作为初始区间．
故选：．
2．函数的零点为
A．B．2C．D．
【解答】解：函数的零点解得方程的根，可得，
，解得．
故选：．
3．已知函数，则的零点所在的区间为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得在上单调递增，
（1），，（2），，（3），
（3），
的零点所在的区间为．
故选：．
4．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有
（1）当，时，；
（2）；
（3）若，则实数的最小值为
（4）若有三个零点，则实数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：因为是奇函数，是偶函数，
所以，解得，
由，
当时，，
则，所以，
同理：当时，，
以此类推，我们可以得到如下的图象：
对于（1）：根据上述规律，当时，，故（1）错误；
对于（2）：根据图象，刚好是相邻两个自然数中间的数，
则刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得，故（2）正确；
对于（3）：根据图象，当时，由图像可得（3）正确；
对于（4）：有三个零点，
等价于函数与函数有三个不同的交点，设，则函数的图象为恒过点的直线，如图所示．
当函数与，相切的时候，有三个交点，
相切时斜率小于直线的斜率，直线的斜率为，
故有三个零点，，故（4）错误．
说法正确的个数为2．
故选：．
5．已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在使得成立，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，作出函数与的图象，
易得两函数交点位于两侧，不妨设，
若存在使得成立，
即，
又关于对称，
故，
因为，
所以，
所以，
即在有解，
则．
故选：．
6．已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实根，则的取值范围为
A．B．C．，D．，
【解答】解：，，，或．
作出函数的图像如图所示，
由图知的图像与有两个交点，
若关于的方程恰有5个不同的实根，则的图像与有三个公共点，
所以的取值范围，．
故选：．
7．设函数在上满足，，且在闭区间，上只有（1）（3），则方程在闭区间，上的根的个数
A．1348B．1347C．1346D．1345
【解答】解：在上满足，，
关于直线和直线对称，且，，
所以，所以，所以的周期为6，
又在闭区间，上只有（1）（3），则（7），，
且当，时，通过其关于直线对称，得其值对应着，的值，
则在闭区间，上只有（7）（3），
同理可推得在，也只有两个零点，
因为，则在，共有个零点，
因为，且在，的图象与，的图象相同，
则在，上有个零点，
则方程在闭区间，上的根的个数为1347个．
故选：．
8．已知函数，则函数的零点个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：令得，
在同一直角坐标系中作出，的大致图象如下：
由图象可知，函数与的图象有3个交点，
即函数有3个零点，
故选：．
9．方程的解所在的区间为
A．B．C．D．
【解答】解：令，则函数的定义域为，
在上单调递增，
又（1），（2），
由零点存在性定理得的零点所在区间为，
故方程的解所在的区间为，
故选：．
10．函数的零点所在的区间为
A．B．C．D．
【解答】解：依题意，函数的定义域为，
而在为单调递减函数，在为单调递减函数，
因为，所以，即，
所以，，
所以（2）（3），
所以由零点存在性定理可知，
函数在区间有零点．
故选：．
11．已知是定义域为的偶函数且，则函数零点个数是
A．6B．5C．4D．3
【解答】解：，，
当时，，，
当时，，，，有；，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，，，，
，（1）（e），（e），
由零点存在定理，所以在，，上各有一个零点，
又是定义域为的偶函数，则函数有6个零点．
故选：．
12．已知函数，则方程的实根个数为
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：，解得或，
当时，，解得，，解得（舍；
当时，，解得或（舍，，解得或（舍；
综上，方程的实根为或或，
即方程的实根个数为3个，
故选：．
13．已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为
A．，B．，C．D．
【解答】解：由得，
作出函数的图象如图：
由图象知，要使有四个不同的零点，
则需要与有4个不同的交点，
则此时，
即实数的取值范围是，．
故选：．
14．已知函数有3个零点，则实数的取值范围是
A．，B．C．D．，
【解答】解：当时，，又，所以在上有唯一零点，
要使有3个零点，即在，上有2个零点，
即与的图象有2个交点，
设切点为设切点坐标为，
由，得，则过切点的切线方程为，
把点代入，可得，
得，则切点坐标为，
即过与相切的直线方程为，
所以实数的取值范围是．
故选：．
15．设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是
A．B．，
C．D．
【解答】解：令，作出的图象，如图所示：
函数可由分段平移得到，
易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；
当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；
当时，恰有一个零点，满足题意，即；
综上可得的取值范围是，．
故选：．
16．设有三个不同的零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，
画出函数的图像，直线过定点，
当时，设过的直线与的切点为，，
由，得，
所以切线的斜率，故切线方程为，
把定点代入得：，即，
所以，即直线的斜率为，
由图知，当时，与有三个交点，
所以使有三个不同的零点的的取值范围是．
故选：．
17．函数的零点个数为
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：函数的零点个数，等价于方程的根的个数，
即函数与的图象交点个数，
画出函数与的大致图象，如图所示：
由图象可知，函数与的图象只有1个交点，
所以函数有1个零点．
故选：．
18．定义在上的奇函数满足，且在，上单调递减，若方程在，有实数根，则方程在区间，上所有实数根之和是
A．6B．12C．30D．56
【解答】解：因为函数满足，所以函数的图像关于直线对称，故，
又是上奇函数，所以，所以，故函数的周期为4，
考虑一个周期，，由函数在区间，上单调递减，又由是上奇函数，且关于直线对称，
知在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增，
因为，（2），
故当，时，，当，，（2），
当，时，，当，时，（2），
因为方程在区间，有实数根，则这实根是唯一的，
又因为函数的图像关于直线对称，则方程在区间，有唯一实数根，
方程在区间，和区间，上没有实根，
所以方程在一个周期内有且只有2个实数根，根据对称性，知这两根之和为2，
因为函数在区间，上恰好3个周期，
所以根据函数周期性和对称性知，方程在区间，上所有实数根之和为．
故答案为：．
19．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：画出、和的图象如下图所示，
由解得．由，解得，
设，对于函数，要使与的图象有两个交点，
结合图象可知，．
故选：．
20．已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．，
【解答】解：如图，作函数的大致图像（实线），
平移直线，由可得，，
，
故当时，直线与曲线相切；
当时，直线经过点，且与曲线有2个不同的交点；
当时，直线经过点，且与的图像有3个不同的交点．
由图分析可知，当，时，的图像与直线有3个不同的交点．
故选：．
21．设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当，时，，则在区间，内关于的方程的根的个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：是定义在上的偶函数，对任意的，都有，
，
即，即函数的周期是4．
当，时，，，
此时，
即，，．
由得：
，
分别作出函数和图象如图：
则由图象可知两个图象的交点个数为4个，
即方程的根的个数为是4个．
故选：．
22．已知定义在上的函数对于任意的都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则的取值范围是
A．B．，
C．D．，
【解答】解：由知是周期为2的周期函数，
函数至少有6个零点等价于函数与的图象至少有6个交点，
①当时，画出函数与的图象如图所示，
根据图象可得（5），即．
②当时，画出函数与的图象如图所示，
根据图象可得，即．
综上所述，的取值范围是．
故选：．
23．已知偶函数满足，且当，时，，关于的不等式在，上有且只有30个整数解，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【解答】解：，，
又函数为偶函数，，即函数周期为，
因为不等式在，上有且只有30个整数解，所以不等式在，上恰有3个整数解，
又，可知时，，时，，
所以在上递增，在上递减，，所以1，2，3满足不等式，
故，且需解得．
故选：．
24．已知定义在上的函数满足，，且当时，，则函数在，上的零点个数为
A．9B．11C．13D．15
【解答】解：因为，，
所以为奇函数，
又因为，即，
所以，
即，
所以为周期函数，且周期，
所以（2）（2），即（2），
作出函数的大致图象如图所示：
由图象可知，在，上零点个数为13．
故选：．
25．已知函数，若函数，恰有4个零点，则的取值范围
A．B．
C．D．
【解答】解：当时，，则，
所以在，上单调递增，
若恰有4个零点，
即恰有4个根，即与有四个交点，
当时，与的图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意，
当时，与轴相交于两点与，
图象如下：
当时，函数的函数值为，
当时，函数的函数值为，
所以两图象有四个交点，符合题意；
当时，与轴相交于两点与，
图象如下：
在，内两图象有两个交点，
所以若有四个交点，
只需要与在，内还有两个根，
因为，所以，
所以有在，内还有两个根，
即在，内还有两个根，
所以在在，内还有两个根，
因为（当且仅当时，取等号），
所以且，解得，
综上所述，的取值范围为，，．
故选：．
二．多选题（共5小题）
26．已知函数，则下列结论正确的是
A．当时，无零点
B．当时，只有一个零点
C．当时，有两个零点
D．若有两个零点，，则
【解答】解：令，则，即，即，
考察直线和抛物线的位置关系，
由图可知，当时，无零点，故正确；
当或时，只有一个零点，故正确；
当且时，有两个零点，故错误；
若有两个零点，，则，是方程的两根，
由韦达定理，得，故正确．
故选：．
27．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数不可能是
A．B．C．0D．1
【解答】解：，
则函数的图象，如图所示：
函数恰有两个零点，即有两个实数根，转化为的图象与有两个交点，
由图象得，
又当时，，由图象得，或，符合题意，
故实数的取值范围为，
故选：．
28．已知函数是定义在，，上的偶函数，当时，，若方程有四个不相等的实数根，则满足条件的可以为
A．B．C．D．
【解答】解：由已知当时，，当时，，
当，时，，
又为偶函数，函数的图象关于轴对称，根据以上信息可作出函数的图象如下，
对于：再作函数，观察图象可得与的图象有四个交点，
方程有四个不相等的实数根，故正确；
对于：再作函数的图角可得，
观察图象可得与的图象有三个交点，
方程有三个不相等的实数根，故不正确；
对于：再作函数的图角可得，
观察图象可得与的图象有四个交点，
方程有四个不相等的实数根，故正确；
对于：再作函数的图角可得，
观察图象可得与的图象有一个交点，
方程有一个不相等的实数根，故不正确；
故选：．
29．已知函数为自然对数的底数），，若（a）（b），则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：对于，由于，，
而在上单调递增，
则，故，即，选项正确；
对于，由于，
则由函数零点存在性定理可知，，
所以，选项正确；
对于，易知，若，则，即，这与矛盾，选项错误；
对于，，令，
作出函数和的函数图象如下所示，
由图象可知，函数（a）在上单调递减，则，选项正确．
故选：．
30．已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则
A．B．
C．D．
【解答】解：当时，，在，单调递减，，，
在，单调递增，，；
当时，，
在，单调递减，，，
在单调递增，，，
若有四个不同的实数解，则，故正确；
因为，所以，，，所以，，故错误；
因为，，根据韦达定理可知在方程中，故正确；
，，，
所以，正确．
故选：．
三．填空题（共8小题）
31．设函数，则满足条件“方程有三个实数解”的实数的一个值为 3（答案不唯一） ．
【解答】解：作出函数的图象如下图所示，
由图象可知，要使方程有三个实数解，则需，
则符合题意的一个的值为3．
故答案为：3（答案不唯一）．
32．函数的零点的个数为 3 ．
【解答】解：由题意，
即函数的零点的个数即为，的交点的个数，
在同一直角坐标系中画出两个函数图像，如图所示，
数形结合可知，两个函数有3个交点，
故函数的零点的个数是3．
故答案为：3．
33．已知函数若函数有5个零点，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：令，
可得或，
作出函数的大致图象如下图所示，
由图象可知，有2个解，
要使函数有5个零点，则需有3个解，
由图象可知，，解得．
故答案为：．
34．已知，若存在三个不同实数、、使得（a）（b）（c），则的取值范围是 ， ．
【解答】解：由题意，可画出函数的图象大致如下：
存在三个不同实数，，，使得（a）（b）（c），
可假设，
根据函数图象，可知：，，．
又（b）（c），
，
即：．
．
，即．
．
，
．
故答案为：，．
35．若对任意，，关于的方程在区间，上总有实根，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：设，，
因为，，所以在定义域上单调递增，
又因为，在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为方程在区间，上总有实根，
所以在，上总有零点，
又因为在，上单调递增，
所以（2）或或（3），
即或或，
解得，
即有在，上恒成立，
所以，
又因为，，
所以．
故答案为：，．
36．已知函数若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：由，得，得；
由，得，得或，
因为恰有2个零点，
所以若和是函数的零点，则不是函数的零点，则；
若和是函数的零点，则不是函数的零点，则，
若和是函数的零点，不是函数的零点，则不存在这样的．
综上所述：或，即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
37．已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，则的最小值是 3 ．
【解答】解：作函数与图象如下：
由图可得，
存在四个不相等的实根，，，，可得，
可得，，即，，
所以，
当且仅当即且等号成立，
则的最小值是3．
故答案为：3．
38．定义函数，设，，
若含有3个不同的实数拫，则实数的取值范围是 或 ．
【解答】解：设，，
由，解得，，
由于含有3个不同的实数拫，
所以有两个相等的实根或者两个相异的实根，
则△，
即，解得，或．
当时，，解得，又，满足题意；
当时，如下图，的对称轴方程，（2），则有4个根，不合题意，舍去；
当时，，解得，即（2），含有2个不同的实数拫，不满足题意；
当时，如下图，（2），若含有3个不同的实数拫，则，解得；
综上，或．
故答案为：或．
四．解答题（共2小题）
39．已知函数．
（Ⅰ）用定义证明在定义域上是减函数；
（Ⅱ）若函数在，上有零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）证明：根据题意，函数，
则有，解可得，即函数的定义域为，
设，则，
由于，则，必有，
故，
则函数在定义域上是减函数；
（2）根据题意，由（1）的结论，函数在定义域为上的减函数，则为减函数，
若函数在，上有零点，则，解可得：，
故的取值范围为，．
40．已知函数．
（1）当时，判断在上的单调性并证明；
（2）讨论函数的零点个数．
【解答】解：（1）当，时，，此时在上单调递减，
证明：任取，，且，
则，
，则，，
，即，
故在上单调递减；
（2）令，即的根的个数，
令，作出函数的图象，如图所示：
由图象得当或或时，直线与有两个交点；
当或时，直线与只有一个交点；
当或时，直线与有三个交点，
综上所述，当，，时，有2个零点；
当，，时，有1个零点；
当，，时，有3个零点．