高考数学一轮复习：3导数及其应用-重难点突破7练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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第一步：利用特殊点处的函数值、零点存在定理、函数的单调性、函数的图象等，判断零点是否存在以及取值范围；
第二步：把导数零点处导数值等于0作为条件带回原函数，进行化简或消参eq \(。,\s\d4( ))
1．（2022春•昭通月考）设函数，曲线在点，处切线的斜率为1，为的导函数．
（1）求；
（2）证明：在，上存在唯一的极大值点．
【解答】解：（1），
由题意得，，
即；
（2）证明：令，则，
所以且，
当，时，，单调递增，当，时，，单调递减，
又，，，
由零点存在定理可知，在，上存在唯一的，使得，
当时，，当，时，，
所以即在，上存在唯一的极值点．
2．（2023春•阜阳期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）令，若不等式恒成立，求的最小值．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以单调递增，即单调递增，
又，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，函数在上单调递减，在，上单调递增；
（2）若，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在单调递增，即上单调递增，
又，
，
所以存在，，使得，①
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
要使不等式恒成立，
需满足，②
联立①②，解得，
由①式知，，
解得，
则的最小值为．
3．（2023春•河池期末）已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）求证：．
【解答】（1）解：，，
设，，
在上为单调递增函数，
（1），（1），当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
时，取得最小值，（1）；
（2）证明：要证，只需证，
即证，令，则，
当时，令，则，在上单调递增，
即在上为增函数，
又，
存在，使得，
由，
得，即，即，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
，
令，
则，
在上单调递增，，
，，
即．
4．（2023•东莞市校级三模）已知函数．
（1）证明：；
（2）证明：函数在上有唯一零点，且．
【解答】证明：（1）令，求导得，，
即函数在上单调递增，由，得，由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，
．
（2）由，求导得，
，即函数在上单调递减，
又，
由零点存在性定理知，存在唯一实数，使得，
则当，，单调递增，单调递减，而，则，
且在恒成立，又，
因此存在唯一，使得，
下面证明，由知，即，
则只需证，即证，
由（1）知：，只需证：，
令，而，
故只需证，其中，
令，
则，函数在上单调递增，
因此，即时，，
．
5．（2023春•咸阳期末）已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）记，若当时，恒成立，求正实数的取值范围．
【解答】解：（1）由，得，
，又（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，
即；
（2），
，
，
，
令，改函数在上单调递增，可得．
当时，，则，
在上单调递增，有，
在上单调递减，则，
符合题意；
当时，存在实数，使，时，，
即，在，上单调递减，
，则在，上单调递增，
，时，，可知不符合题意．
综上所属，正实数的取值范围为，．
6．（2021春•雨花区校级月考）已知函数，，．
（1）当时，讨论函数的零点个数；
（2）记函数的最小值为，求的最小值．
【解答】解：（1）的定义域为，，
①当时，，单调递增，又，，
所以函数有唯一零点，
②当时，恒成立，所以函数无零点，
③当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
故当时，，所以函数无零点，
综上所述，当时，函数无零点，当时，有一个零点．
（2）由题意得，，
则，令，则，
所以在上为增函数，即在上为增函数，
又（1），，所以在上存在唯一零点，且，，
，即，
当时，，在上为减函数，当，时，，在，上为增函数，的最小值，
因为，所以，所以，
由，得，在上为增函数，
因为，所以（1），，
所以在上存在唯一零点，且，
，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
所以，
因为，所以，所以，
又，
所以，
又函数在上为增函数，所以，
，
因为，所以，即在上的最小值为0．
7．（2023•葫芦岛二模）已知函数，且．
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且．
【解答】解：（1）由恒成立，
令且，
①当时，（2）（舍；
②当时，，
在上，，单调递减，在上，，单调递增，
．
令（a），（a），
在上，（a），（a）单调递增，在上，（a），（a）单调递减，
，则．
（2）证明：由（1）知：，，则，
令，则，
在上，，则单调递减，在上，，则单调递增，
，，
有两个根，图象如下，
在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增，
存在唯一极大值为，又，
，
令，在上，故单调递增．
，故，且为极大值，
，
，
．
8．（2020秋•开福区校级期末）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：．
【解答】解：（1）的定义域为，
又，
①当时，，若，则，若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，若，即时，同理可得，在，，上单调递增，在上单调递减；
若，即时，，在上单调递增；
若，即时，同理可得，在，上单调递增，在，上单调递减；
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，；单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为，；
（2）证明：当时，，
则，
当时，，
令，则，
所以在，上单调递增．
因为，（1），
所以存在，，使得，即，即，
故当，时，，；当，时，，；
即在，上单调递增，在，上单调递减．
所以．
令，，，则，
所以在，上单调递增，
所以，（1），
所以．
9．（2021春•河南月考）已知函数．
（1）求的极值；
（2）若在，上的最大值为，求证：；
【解答】解：（1）．
，
（2），
时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．
在处取得极小值，（2），无极大值．
（2）证明：，，．
．
，，．
函数在，上单调递增，
又，（1），
因此函数在，上存在唯一零点，并且，，（可得．
时，函数取得极大值即最大值
，．
而函数在上单调递减．
，
而，，
．
10．（2018•呼和浩特一模）已知二次函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，记为函数极大值点，求证：．
【解答】解：（1），
，
当时，在上恒正；
所以，在上单调递增，
当时，由得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上所述，
当时，在上单调递增；
当时，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
（2）证明：
则
，
令，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
所以，在处取得极大值，一定有2个零点，
分别是的极大值点和极小值点．
设是函数的一个极大值点，则，
所以，，
又，
所以，，
此时，
所以．