高考数学一轮复习：4三角函数-重难点突破2练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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（1）求的值；
（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
①的最大值为2；②．
注：如果选择①和②分别解答，则按第一个解答计分．
【解答】解：（1）
，，
若选①，因为函数的最大值为2，即，，可得；
若选②，，即，由可得，
解得：；
综上所述：；
（2）由（1）可得，则，，当时，，
所以函数，
由题意可得，
则它的单调递增区间满足，，解得：，．
即函数的单调递增区间为：，，．
2．（2023•湖南模拟）函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）先将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数，求在区间上的值域．
【解答】解：（1）由图可知，，
函数的最小正周期为，
，
，
，
，
则，
，则，
故；
（2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象，
再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数的图象，
则，
当时，，
则，
，
在区间上的值域为．
3．（2023•岳阳县模拟）已知函数部分图象如图所示．
（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由图可知，，，，
所以．
当时，，可得．
求的解析式为：；
（2）由（1）知．
将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
故，
，
当，即时，有最大值为1；
当，即时，有最小值为；
4．（2023•南昌二模）如图是函数的部分图象，已知．
（1）求；
（2）若，求．
【解答】解：（1）设，，函数的最小正周期为，则，
则，
故，解得（负值舍去），
所以，所以；
（2）由（1）得，
，得，
即，
所以，
又因，则，
所以，所以．
5．（2023•大观区校级三模）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）求在区间，上的最值．
【解答】解：（Ⅰ）．
函数的单调递增区间为，解得，，，
的单调递增区间为，
（Ⅱ）因为，，所以．
当，即时，，
当，即时，．
6．（2023•广州三模）已知函数，．
（1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的单调增区间；
（2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值．
【解答】解：（1）函数的两条相邻对称轴之间的距离为，，
，．
令，，求得，，
可得它的增区间为，，．
（2）若函数的图象关于对称，
则，，，，
由函数在上单调，，，，
求得．
综上可得，．
7．（2023•亭湖区校级三模）已知函数的值域为，．
（1）求的单调递增区间；
（2）若在上恰有一个零点，求的取值范围．
【解答】解：
，
令，则，，
又，在，上单调递增，
故由题意有：，解得，
，
当，时，单调递增，
解得，，
即的单调递增区间为，；
（2）由（1）知，，
，当，时，，，
结合正弦函数的图象可知：
当，即时，
函数在区间，上恰有一个零点，
故的取值范围是，．
8．（2023•安康一模）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，，，，求实数的取值范围以及的值．
【解答】解：（1）由图可得：，得：，
又，所以，所以，
所以．
又因为过点，所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以．
（2）图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，
当时，，
令，则，
令，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
且，，
所以，时，．当时，方程恰有三个不相等的实数根．
因为有三个不同的实数根，，，
且，关于对称，，关于对称，
则，
两式相加得：，
即，所以．
9．（2023•青羊区校级模拟）已知函数的最小正周期为，且，
（1）求，；
（2）将图象往右平移个单位后得函数，求的最大值及这时值的集合．
【解答】解：（1）函数的最小正周期为，．
再根据，，．
（2）将的图象往右平移个单位后得函数的图象，
故．
当取得最大值1时，
由，，求得，，
故当取得最大值时，值的集合为，．
10．（2023•丰台区一模）已知函数，的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若函数，求在区间上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由图象可知：，
，
将点代入得，
，，
，
，
；；
（2），
由得，
当时，即，，
当时，即．
11．（2023•顺义区一模）已知函数的一个零点为．
（1）求和函数的最小正周期；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）的一个零点为，
，
，，
；
（2）当时，，，，，
，
，即，．
12．（2023•全国二模）已知函数的部分图像如图所示，其中的图像与轴的一个交点的横坐标为．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由图知：，所以，所以，
所以，
由，且，
所以，
所以；
（2）令得：，
对于，，
则，
由的图像和性质可得：在区间上的值域为，
所以函数在区间上存在零点，有．
13．（2023•香洲区校级模拟）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图，开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，，求摩天轮转动一周的解析式；
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
【解答】解：（1）（其中，，，
由题意知：，
，
故，
，
，
又，
，
，
故解析式为：，，；
（2）令，则，即，
因为，，则，
所以或，
解得或，
故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米．
14．（2023•桃城区校级模拟）如图，，是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若它们同时从点出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为（单位：弧度秒），为线段的中点，记经过秒后（其中，．
（1）求的函数解析式；
（2）将图像上的各点均向右平移2个单位长度，得到的图像，求函数的单调递减区间．
【解答】解：（1），是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，它们同时从点出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为（单位：弧度秒），
经过秒后（其中，
则．
因为，
所以，
所以，
所以．
即．
（2）依题意可知
由，得，
故函数在，上的单调递减区间为，．
15．（2023•南通三模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数在区间上没有零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数的图象先向右平移个单位长度，则解析式变为：，
再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则解析式变为，
则，
当时，，
因函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
在区间上的最大值为；
（2），当时，，
要使在上无零点，则，．
，，，，
当时，；当时，，
当时，舍去．
综上：的取值范围为．
16．（2023•海淀区校级三模）已知函数．在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知．
（1）求的值；
（2）若函数在区间，上是增函数，求实数的最大值．
条件①：；
条件②：最大值与最小值之和为0；
条件③：最小正周期为．
【解答】解：（1）若选条件①③：
由条件③得，，又因为，
所以，
由①知，，所以．
则，
所以；
（2）令，
所以，
所以函数的单调增区间为，
因为函数在区间，上单调递增，且，此时，
所以，故的最大值为；
选条件②③：
由于最小正周期为，
所以，，
由最大值与最小值之和为0，，
故，
解得，
所以，
故；
（2）解法同选条件①③：
令，
所以，
所以函数的单调增区间为，
因为函数在区间，上单调递增，且，此时，
所以，故的最大值为．
说明：不可以选择条件①②：
由①知，，所以；
由②知，，所以，矛盾，
所以函数不能同时满足条件①和②．
17．（2023•建华区校级三模）已知函数在区间上单调，其中，，且．
（1）求的图象的一个对称中心的坐标；
（2）若点在函数的图象上，求函数的表达式．
【解答】解：（1）由函数在区间上单调，
且，可知，
故的图象的一个对称中心的坐标为；
（2）由点在函数的图象上，
有，又由，
，
可知函数在区间上单调递减，
由函数的图象和性质，
有，
又，有，
将上面两式相加，有，
有，
又由，可得，
则，
又由函数在区间上单调，
有，可得，可得，
故．
18．（2023•松江区校级模拟）设．
（1）求的单调递增区间及对称中心；
（2）当时，，求的值．
【解答】解：（1）由题意得：，
由，可得，
所以的单调递增区间是，
令，，解得：，，此时函数值为，
所以对称中心为；
（2），
，
，，
当时，，
，，
．
19．（2023•香坊区校级三模）已知函数，其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，_____，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．
①函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称且；
②函数的图像的一个对称中心为且．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，
故，即，即，得，
则．
若选①，函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称且，
则，
此时函数关于轴对称，则，，
得，，
，当时，，当时，．
，，则，
则成立，不成立，舍去．
则．
若选②，函数的图像的一个对称中心为且．
则，，
得，，
，当时，，
当时，．
，，
当时，不成立，
故成立，则．
（2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
则，
，，，，，
函数在区间上恰有3个零点，
，得，
得，
即实数的取值范围是，．
20．（2023•重庆模拟）已知将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像关于原点中心对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若三角形满足是边上的两点，且，求三角形面积的取值范围．
【解答】解：（1）由已知化简得，
，
由得，，，
又，，，
（2）易得，
由①，②，
又，，
将①②式并结合，可得：，
以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，
则，，
设，则由可得：点的轨迹方程为，
即，当时，取到最大值，
根据几何关系易知三角形面积的取值范围为．
21．（2023•桃城区校级一模）已知同时满足下列四个条件中的三个：
①；
②的图象可以由的图象平移得到；
③相邻两条对称轴之间的距离为；
④最大值为2．
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间，上，求的取值范围．
【解答】解：（1）对于条件②，，
若函数的图象可以由的图象平移得到，
则，
由条件③相邻两条对称轴之间的距离为，可得的最小正周期为，
可得，与②矛盾；
对于条件④最大值为2，可得与②矛盾，
故只能舍弃条件②，
所以这三个条件为①③④．
（2）由（1）可得，
由条件①，可得，又，
所以，所以，
令，，可得，，
时，，
时，，
时，，
又曲线的对称轴只有一条落在区间，上，
所以，
即的取值范围是，．
22．（2023•贺兰县校级四模）已知函数．
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为．
（1）求的解析式及最小值；
（2）若函数在区间，上有且仅有1个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由题可知，
，
选择①②：
因为，所以，
又因为，所以．
所以．
当，即时，，
所以函数的最小值为．
选择①③：
因为，所以，
又因为函数的最大值为，所以．
所以，
当，即时，．
所以函数的最小值为．
选择②③：因为，所以．
又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意．
（2）选择①②：
因为，，所以，
又因为在区间，上有且仅有1个零点，
所以，所以，所以．
选择①③：
因为，，所以，
又因为在区间，上有且仅有1个零点，
又时，或，
所以，所以，所以．
23．（2023•南岗区校级三模）已知函数，的图像是由的图像向左平移个单位长度得到的．
（1）若的最小正周期为，求图像的对称轴中心，与轴距离最近的对称轴的方程；
（2）若图像相邻两个对称中心之间的距离大于且，求在上的值域．
【解答】解：（1）函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到，
，
，且，，
若的最小正周期为，
，，，
，．
令，可得，，
，求得，，对称中心，，，
取，可得与轴距离最近的对称轴方程为；
（2）若图象相邻两个对称中心之间的距离，则，
且，
．
结合，，可得，
，
当，，，
，，，，
故在的值域为，．
24．（2023•贺兰县校级模拟）已知函数，且满足_____．
（1）求函数的解析式及最小正周期；
（2）若关于的方程在区间，上有两个不同解，求实数的取值范围．
从①的最大值为1，②的图象过点，这两个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．（注：如果两个条件都选分别解答，按第一个解答计分．
【解答】解：（1）函数
，
若满足①的最大值为1，则，解得，
所以；
的最小正周期为；
若满足②，因为的图象过点，，
所以，
所以，
所以，
最小正周期．
（2）令，得，
解得，；
即，；
若关于的方程在区间，上有两个不同解，则或；
所以实数的取值范围是，．
25．（2023•鼓楼区校级一模）已知函数在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数的表达式；
（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变），再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若，求函数的值域．
【解答】解：（1）根据函数图象可得，，，，
，得，，
又，，
，，，得，，
又，，；
（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变）得到，
再向下平移一个单位得到，
再向左平移个单位得到，，
当时，，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
，，即值域为．
26．（2023•海淀区校级模拟）已知函数．
（1）求函数取最大值时的取值集合；
（2）设函数在区间是减函数，求实数的最大值．
【解答】解：（1）由题意，得函数，
当取最大值时，即，此时，，即，，
所以的取值集合为，．
（2）由，，
得，，
即，，
所以的减区间，，，
当，得，是一个减区间，且，，
所以，，，
所以，，所以的最大值为．
27．（2023•辽宁二模）已知函数的图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象．
（1）求的解析式；
（2）的内角，，所对的边分别为，，，且，，，求的面积．
【解答】解：（1）由图可知，，解得：，
所以，即：，
将点代入得，
所以，，解得：，，
所以，
所以，
因为将函数的图像向左平移个单位长度后得函数的图像，
所以．
（2）因为，所以，
由，得，，
因为，
所以，即：，
所以由，得，
所以由，得，
所以，
由正弦定理，得，
所以的面积．
28．（2023•威海二模）已知偶函数的部分图象如图所示，，，为该函数图象与轴的交点，且为图象的一个最高点．
（1）证明：；
（2）若，，，求的解析式．
【解答】证明：（1）在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
又，所以，
所以，又，
所以．
（2）解：因为，，，且，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，解得，
在中，
又，则，所以，
则，
所以，则，
，
所以，
所以．
29．（2023•北京模拟）在①函数的图象关于直线对称，②函数的图象关于点对称，③函数的图象经过点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数最小正周期为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）函数在上的最大值和最小值．
【解答】解：，
因为的最小正周期为，所以，解得，
所以，
选择①：（Ⅰ）因为函数的图象关于直线对称，
所以，，则，，
又，所以，
所以．
（Ⅱ）因为，所以，，
当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值1．
选择②：（Ⅰ）因为函数的图象关于点对称，
所以，，则，，
又，所以，
所以．
（Ⅱ）因为，所以，，
当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值0．
选择③：（Ⅰ）因为函数的图象经过点，
所以，即，，
所以，，
又，所以，
所以．
（Ⅱ）因为，所以，，
当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值1．
30．（2023•西城区二模）已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件①：；
条件②：是的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解答】解：（Ⅰ）选①时，，即，
最小值是，故选条件①时，不存在；
选②时，，
即，
所以，，或，．
即，，或，，
因为，所以；
选③时，，．
即，
即，
整理得，
利用辅助角公式得，即，由选②同理可知；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则，
此时画出在上的图象，如下所示：
由与直线恰有一个公共点可知，或．