人教版（2024）第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数综合训练题

这是一份人教版（2024）第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数综合训练题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若满足方程，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．不确定
3．如图，A，B，C，D是数轴上四个点，A点表示数为10，E点表示的数为，则数所对应的点在线段（ ）上．
A．B．C．D．
4．若，，且的绝对值与相反数相等，则的值是（ ）
A．B．C．或D．2或6
5．如图，在一个由六个圆圈组成的三角形里，把-1，-2，-3，-4，-5，-6这6个数分别填入图中圆圈里，要求三角形每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（ ）
A．-9B．-10C．-12D．-13
6．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＜|b|，下列各式中正确的个数是（ ）
①a+b＜0；②b﹣a＞0；③ ；④3a﹣b＞0；⑤﹣a﹣b＞0．
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（ ）
A．3B．﹣2C．D．
8．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2020次输出的结果是（ ）
A．﹣1B．3C．6D．8
9．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
10．水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天上升3cm，今天的水位为0cm，那么2天前的水位用算式表示正确的是（ ）
A．（+3）×（+2） B．（+3）×（﹣2）
C．（﹣3）×（+2） D．（﹣3）×（﹣2）
二、填空题
11．已知 ，，，…，依此类推，则 _______．
12．当x=_____时，﹣10+|x﹣1|有最小值，最小值为_____．
13．已知|2a﹣b|是（b﹣1）2的相反数，则（a+b）4=_____．
14．如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A放在原点，并把圆片沿数轴滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是 _______；若起点A开始时是与—1重合的，则滚动2周后点表示的数是______．
15．（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个数分别
是______，_____，______；
（2）有一列数：，，，，…．那么接下来的第7个数是______________．
16．若|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，且|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），则x+y﹣z＝_____．
17．观察下列等式：
……
请按上述规律，写出第个式子的计算结果（为正整数）______．（写出最简计算结果即可）
18．已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是_____．
19．阅读理解：，，……阅读以上材料后计算： =__．
20．10位裁判给一位运动员打分,每个人给的分数都是整数,去掉一个最高分,再去掉一个最低分,其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位,该运动员得9.4分,如果精确到百分位,该运动员得分应当是_______分.
三、解答题
21．（1）计算：； （2）计算：；
（3）计算：．
22．计算：
(1)(2)
(3)
(4)
23．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且，A、B之间的距离记为或，请回答问题：
(1)直接写出a，b，的值，a＝______，b＝______，______．
(2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则x＝______．
(3)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为－1，动点P表示的数为x．
①若点P在点M、N之间，则______；
②若，则x＝______；
③若点P表示的数是－5，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？
24．问题提出：学习了|a|为数轴上表示a的点到原点的距离之后，小凡所在数学兴趣小组对数轴上分别表示数a和数b的两个点A，B之间的距离进行了探究：
（1）利用数轴可知5与1两点之间距离是 ；一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为 ．
问题探究：（2）请求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值．
问题解决：（3）如图在十四运的场地建设中有一条直线主干道L，L旁依次有3处防疫物资放置点A，B，C，已知AB＝800米，BC＝1200米，现在设计在主干道L旁修建防疫物资配发点P，问P建在直线L上的何处时，才能使得配发点P到三处放置点路程之和最短？最短路程是多少？
25．概念学习
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“的圈次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果：________，________；
（2）下列关于除方说法中，错误的有________；（在横线上填写序号即可）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
D．圈次方等于它本身的数是1或
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：________；
（4）比较：________；填“>”“0
∴3a﹣b>0，故正确；
⑤∵﹣a>b
∴- a﹣b>0.
故①③④⑤正确，选C.
【点拨】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，本部分的题主要根据，数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小，及有理数的运算规律来判断式子的大小.
7．C
【分析】
分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．
解：∵a1＝3，
∴a2＝＝﹣2，
a3＝，
a4＝，
a5＝，
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴a2019＝a3＝．
故选：C．
【点拨】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
8．A
【分析】
先根据数据运算程序计算出第1-8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
解：第1次运算输出的结果为，
第2次运算输出的结果为，
第3次运算输出的结果为，
第4次运算输出的结果为，
第5次运算输出的结果为，
第6次运算输出的结果为，
第7次运算输出的结果为，
第8次运算输出的结果为，
归纳类推得：从第2次运算开始，输出结果是以循环往复的，
因为，
所以第2020次运算输出的结果与第4次输出的结果相同，即为，
故选：A．
【点拨】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
9．D
【分析】
根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可．
解：，
=
=，
=，
=，
故选：D．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算．
10．B
分析: 2天前的水位=每天的水位变化量×变化天数，.由题意知，每天的水位变化为上升3cm,记为+3cm，2天前记为-2，即可得到2天前的水位变化的正确表示算式.
解：∵上升为正，几天前为负， 所以上升3cm记作+3cm，2天前记作-2，
∴2天前的水位变化是(+3)×(-2).
故答案选B.
【点拨】本题考查对相反意义量的认识：在一对具有相反意义的量中，先规定一个为正数，则另一个就要用负数表示，再结合有理数乘法的意义，进行列式，即可得到2天前的水位变化的正确表示算式.
11．
【分析】
根据题意，可以得出这一组数的规律，分为n为奇数和偶数二种情况讨论即可．
解：因为，
所以==-1，
==-1，
==-2，
，
所以n为奇数时，，n为偶数时，，
所以-=-1009，
故答案为：-1009．
【点拨】本题考查了有理数运算的规律，含有绝对值的计算，掌握有理数运算的规律是解题的关键．
12． 1 -10
【分析】
（1）要使﹣10＋|x﹣1|最小，则|x﹣1|最小，即|x﹣1|＝0，解出答案，（2）根据（1）中，求出最小值.
解：|x﹣1|＝0，解得：x＝1，最小值＝－10，故答案为（1）1，（2）－10.
【点拨】本题主要考查了绝对值的基本性质，绝对值最小值为0.
13．
解：根据互为相反数的两个数的和等于0列式为|2a﹣b|+（b﹣1）2=0，再根据非负数的性质得2a﹣b=0，b﹣1=0，求出a=、b=1，然后代入代数式进行计算得（a+b）4=（+1）4=．
故答案为．
【点拨】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，关键是利用非负性列出方程求解出a、b的值．
14． 或 或
【分析】
先求出圆的周长，再通过滚动周数确定A点移动的距离，最后分类讨论，将A点原来位置的数加上或减去滚动的距离即可得到答案．
解：因为半径为1的圆的周长为2，
所以每滚动一周就相当于圆上的A点平移了个单位，滚动2周就相当于平移了个单位；
当圆向左滚动一周时，则A'表示的数为，
当圆向右滚动一周时，则A'表示的数为；
当A点开始时与重合时，
若向右滚动两周，则A'表示的数为，
若向左滚动两周，则A'表示的数为；
故答案为：或；或．
【点拨】本题考查了用数轴上的点表示无理数的知识，要求学生能动态的理解数轴上点的位置变化，能明白圆滚动一周或两周时同一个点的运动变化，并能通过加减运算得到运动后点的位置所表示的数．
15． -9, 10, -11;
解：(1) 这一列数可以看作是先将正整数从小到大逐个排列起来再从第二个数开始每隔一个数在原数前面添加负号而得到的. 根据这一规律，接下来的3个数分别为：-9，10，-11.
(2) 对这一列数的分子与分母的规律分别进行讨论.
①这一列数的分子可以看作是将正整数从小到大逐个排列起来而得到的.
②观察这列数的分母可以看出，，，，，…
因此，这列数的分母可以看作是该分数的分子与其自身之积再加上1而得到的.
根据上述规律，第7个数的分子应为7，第7个数的分母应为，即第7个数应为.
故本题应依次填写：-9，10，-11；.
【点拨】本题的难点在于第(2)小题，而第(2)小题的难点在于确定分数分母的变化规律. 在寻找这一规律时要特别注意这些分数的分母与相应的分数在整列数中的位置序数(在本题中相当于相应的分子的数值)的关系. 另外，在探索规律时，一般需要对各个数字进行一定的运算，要特别注意根据已知数的位置序数构造算式的形式，这常常是解决问题的突破口.
16．45或23
【分析】
先根据绝对值的意义确定x、y、z的值，再代入计算即可．
解：∵|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，
∴x＝±11，y＝±14，z＝±20．
∵|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），
∴x+y≥0，y+z≤0．
∵x+y≥0．
∴x＝±11，y＝14．
∵y+z≤0，
∴z＝﹣20
当x＝11，y＝14，z＝﹣20时，
x+y﹣z＝11+14+20＝45；
当x＝﹣11，y＝14，z＝﹣20时，
x+y﹣z＝﹣11+14+20＝23．
故答案为：45或23．
【点拨】本题主要考查了绝对值的意义及有理数的加减混合运算，掌握绝对值的意义和性质及有理数加减的法则是解决本题的关键．
17．
【分析】
利用材料中的“拆项法”解答即可．
解：由题意可知，第n个式子为：
故答案为：．
【点拨】考查了规律型：数字的变化规律，有理数的混合运算．解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
18．81
【分析】
根据题意分别确定a，b，c，d的取值范围，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
再分别确定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．
解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，
∴d4＜90，则d＝2或3，
c3＜90，则c＝1，2，3或4，
b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，
a＜90，则a＝1，2，3，…，89，
∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，
∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，
∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，
∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，
故答案为：81．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，根据题意确定a，b，c，d的取值范围是解题关键．
19．
【分析】
先将整数和分数分开，再根据材料进行拆项并抵消，依此计算即可．
解：


=81+
=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，需要有一定的运算求解能力，关键是熟悉材料所给的式子．
20．9.38．
【分析】
根据得9.4分是得到8位裁判的准确打分和，除以8，再保留2位小数即可．
解：用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数能得到9.4的数值范围是：（大于等于9.35和小于9.45之间）
∴10个裁判去掉最高和最低得分后，实际取值就是8个人的分数．
∴该运动员的有效总得分在大于或等于9.35×8=74.8分和小于9.45×8=75.6之间．
∵每个裁判给的分数都是整数，
∴得分总和也是整数，
在74.8和75.6之间只有是整数75，
∴该运动员的有效总得分是75分．
∴得分为：75÷8≈9.375，
精确到两位小数就是9.38．
故答案为9.38．
【点拨】本题考查了近似数及有效数字，得到得分为一位小数的准确分值的范围，及得到8位裁判的准确打分和是难点．
21．（1）1；（2）1；（3）
【分析】
（1）根据同分母的分数相加，分母不变分子相加得出结论；
（2）利用（1）中规律相加即可；
（3）根据（1）规律加，再减，然后作和即可．
解：（1）
；
（2）
……
；
（3）
……
．
【点拨】本题考查数字变化类，关键是找到式子中的规律进行求和．
22．(1)(2)(3)(4)
【分析】
（1）先算同分母分数，再计算加减法；
（2）先算乘法，再去括号，再算同分母分数，再计算加减法；
（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；
（4）根据乘法分配律简便计算．
(1)解：
原式＝
＝
＝
＝
(2)解：
原式＝
＝
＝
＝
＝
(3)解：
原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
(4)解：
原式＝
＝
＝
＝
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，简化运算过程．
23．(1)－3，2，5(2)8或－2(3)①5；②－3.5或6.5；③2.5秒或10.5秒
【分析】
（1）根据绝对值的非负性，确定a，b的值，利用距离公式，计算即可；
（2）根据|x|=a，则x=a或x=-a，化简计算即可；
（3）①根据数轴上的两点间的距离公式，可得绝对值等于右端数减去左端的数，确定好点位置，表示的数，写出结果即可；
②根据10＞5，判定P不在M，N之间，故分点P在M的右边和点P在点N的左侧，两种情形求解即可；
③设经过t秒，则点P表示的数为-5+t，则PN=|-5+t+1|=|-4+t|，PM=|-5+t-4|=|-9+t|，
故分点P在M的右边和点P在点M、点N之间，两种情形求解即可．
解：(1)∵，
∴a＋3＝0，b－2＝0，
∴a＝－3，b=2，，
故答案为：－3，2，5．
(2)∵，
∴，
∴x＝8或－2；
故答案为：8或－2．
(3)①点P在点M、N之间，且M表示4，N表示-1，动点P表示的数为x，
∴点P在定N的右侧，在点M的左侧，
∴PN=|x+1|=x+1，PM=|x-4|=4-x，
∴．
故答案为：5；
②根据10＞5，判定P不在M，N之间，
当点P在M的右边时，
∴PN=|x+1|=x+1，PM=|x-4|=x-4，
∵，
∴x+1+x-4=10，
解得x=6.5；
当点P在点N的左侧时，
∴PN=|x+1|=-1-x，PM=|x-4|=4-x，
∵，
∴-1-x +4-x =10，
解得x=-3.5；
故答案为：6.5或-3.5；
③设经过t秒，则点P表示的数为-5+t，则PN=|-5+t+1|=|-4+t|，PM=|-5+t-4|=|-9+t|，
当点P在M的右边时，∴PN=|-5+t+1|=-4+t，PM=|-5+t-4|=-9+t，
∵PM+PN=8，
∴-4+t-9+t =8，
解得t=10.5；
当点P在点N、点M之间时，
∴PN=|-5+t+1|=-4+t，PM=|-5+t-4|=9-t，
∵PM+PN=8，
∴-4+t+9-t =8，
不成立；
当点P在N的左边时，
∴PN=|-5+t+1|=-1-（t-5）=4-t，PM=|-5+t-4|=4-（t-5）=9-t，
∵PM+PN=8，
∴4-t+9-t =8，
解得t=2.5；
综上所述，经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8．
【点拨】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，分类思想，绝对值的化简，正确掌握绝对值化简，灵活运用分类思想是解题的关键．
24．（1）4，；（2）2；（3）B，2000米，
【分析】
（1）数轴上表示5和1的两点距离为4，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为；
（2）|x﹣3|+|x﹣5|表示的点到3和5两点距离和，由到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离即可；
（3）到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离．
解：（1）数轴上表示5和1的两点距离为4，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为；
故答案为：4，；
（2）∵|x﹣3|表示x的点到3的点的距离，|x﹣5|表示x的点到5的点的距离，
到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离，
∴|x﹣3|+|x﹣5|的最小值为，
（3）∵到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离，
∴当配发点P在点B时，到三处放置点路程之和最短；
即：最小距离和=AB+BC= 800米+1200米=2000米．
【点拨】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键是数形结合，理解绝对值的几何意义．
25．（1），；（2）D；（3）；（4）；（5）
【分析】
（1）根据规定的运算，直接计算即可；
（2）根据圈次方的意义，计算判断得出结论；
（3）根据题例的规定，直接写成幂的形式即可；
（4）根据圈次方的规定直接进行判断即可；
（5）先把圈次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可．
解：（1），
，
故答案为：，；
（2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，结论正确，不符合题意；
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，结论正确，不符合题意；
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，结论正确，不符合题意；
D．圈次方等于它本身的数是1，结论错误，符合题意；
故选：D；
（3），
故答案为：；
（4）
＝
＝
＝，
（4）＝
＝
＝，
∵，
∴，
故答案为：；
（5）原式＝
＝
＝
＝．
【点拨】本题考查了新定义运算，掌握圈次方的意义是解本题的关键．
26．（1）5或-1；5；（2）或4；或；（3）的最小值为17，此时
【分析】
（1）对于直接根据绝对值的性质进行求解即可；设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，则表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和，然后分别讨论P在AB之间，P在A点左侧和P在B点右侧的取值即可得到答案；
（2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，由（1）可知当P在AB之间（包含A、B）时，，当P在A点左侧时，当P在B点右侧时，由此可以确定此时P点在A点左侧或在B点右侧，由此进行求解即可；分当时，当时，当时，当时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案；
（3）分当时，当时，当时，当时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴或；
设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，
∴表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和，
如图所示，当P在AB之间（包含A、B）时，；
当P在A点左侧时；
同理当P在B点右侧时；
∴的最小值为5，
故答案为：5或-1；5；
（2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，
由（1）可知当当P在AB之间（包含A、B）时，，当P在A点左侧时，当P在B点右侧时
∵，
∴当P在A点左侧时即，
∴；
同理当P在B点右侧时即，
∴；
∴当时，或4；
当时，
∵，
∴，
解得符合题意；
当时，
∵，
∴，
解得符合题意；
当时
∵，
∴，
解得不符合题意；
当时
∵，
∴，
解得不符合题意；
∴综上所述，当，或；
故答案为：或4；或；
（3）当时，
∴，
当时，
∴，
当时
∴，
当时
∴，
∴此时
∴综上所述，的最小值为17，此时．
【点拨】本题主要考查了绝对值的几何意义，绝对值方程，数轴上两点之间的距离，解题的关键在于能够熟练掌握绝对值的几何意义．