初中数学人教版（2024）七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数学案，共13页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
1．理解有理数乘方的定义；
2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(pwer)．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.
特别说明：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
性质：
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．
特别说明：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
特别说明：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
【典型例题】
类型一、有理数的幂的概念的理解
1．把下列各式用幂的形式表示，并说出底数和指数：
（1）（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）；（2）．
【答案】（1）（﹣3）3，底数为﹣3，指数为3；（2）（+）4，底数为+，指数为4．
【分析】
（1）（2）都是相同的几个数字相乘，根据乘方的定义即可解答.
解：（1）(﹣3)×(﹣3)×(﹣3)＝(﹣3)3，底数为﹣3，指数为3；
（2）＝4, 底数为+，指数为4.
【点拨】求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作an，其中a叫做底数，n叫做指数.
举一反三：
【变式1】 （1）中，底数、指数各是什么？
（2）中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？
【答案】（1）底数是，指数是8；（2）中叫做底数，8叫做指数，是正数．
【分析】
（1）根据乘方的定义，a•a•...•a（n个a）=an，a是底数，n是指数，进而解决本题；
（2）根据有理数的乘方的概念即可回答．
解：（1）中，底数是，指数是8；
（2）中叫做底数，8叫做指数，是正数．
【点拨】本题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方的概念解答．注意：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
【变式2】阅读以下材料，完成下列问题.
（1）我们已经学过了乘方运算，我们知道表示2个-2相乘，即，那么表示 ，把写成乘方的形式表示为 ，此时底数是 .
（2）将（1）中两个底数同为-2的幂相乘，即，结果共有 个-2相乘，写成幂的形式为 ；
（3）若将（2）中算式中的底数都换为，则表示 ，计算结果为 .
若将（2）中算式中的指数换为正整数，则 ，请用一句话概括你发现的结论 ；
（4）利用上述结论，完成以下填空
若，则 ， ；
若，，，写出的数量关系 .
【答案】（1）3个-2相乘，即；；;；（2）5；；（3）5个相乘，即；；；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（4）；25；
【分析】
（1）利用乘法和乘方的意义，得到结果；
（2）利用同底数幂的乘法公式，进行计算．
（3）利用同底数幂的乘法公式，进行计算，并得到结论．
（4）利用同底数幂的乘法公式，进行计算．
解：（1）表示3个-2相乘，，把写成乘方的形式表示为，此时底数是.
（2）将（1）中两个底数同为-2的幂相乘，即，结果共有5个-2相乘，写成幂的形式为；
（3）若将（2）中算式中的底数都换为，则表示5个相乘，即，计算结果为.
若将（2）中算式中的指数换为正整数，则，请用一句话概括你发现的结论同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
（4）利用上述结论，完成以下填空
若，则，25；
若，，，写出的数量关系：
即：.
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用同底数幂的乘法公式的计算．掌握公式是关键．
类型二、有理数乘方的运算
2． 计算：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）-64；（2）16；（3）．
【分析】
根据有理数乘方运算法则计算即可．
解：（1）；
（2）；
（3）．
【点拨】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】 计算：
（1）与； （2）与．
【答案】（1）256；-256；（2）．
【分析】
（1）直接运用乘方的运算法则计算即可；
（2）直接运用乘方的运算法则计算即可．
解：（1）．
（2）．
【点拨】本题主要考查了乘方的运用法则，理解乘方的运算法则成为解答本题的关键．
【变式2】不超过的最大整数是多少？
【答案】
【分析】首先求出的值为，然后根据负数比较大小的方法即可求出最大整数．
解：∵，
∴不超过的最大整数是．
【点拨】此题考查了有理数的比较大小和有理数的乘方，解题的关键是求出的值．
类型三、有理数乘方运算的符号规律
3、判断下列各式计算结果的正负：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）负
【分析】
根据有理数乘方的符号规律解答即可．
解：（1）的指数是12，为偶数，根据负数的偶次幂是正数，可知的结果为正；
（2）的指数是9，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负；
（3）表示的是的相反数，根据正数的任何次幂都是正数，可知的结果为正，所以的结果为负；
（4）的指数是11，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负．
【点拨】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】在“数学晚会”上，七年级的10个同学藏在10个大盾牌后面，男同学盾牌前面的结果是一个正数，女同学盾牌前面的结果是一个负数，这10个盾牌如图所示，请你通过计算，求出盾牌后面男、女同学各有多少人．
【答案】盾牌后面有4个男同学，6个女同学
【分析】
各项计算得到结果，即可做出判断．
解：（-15）16=1516>0；
5÷（-25）=0；
8÷（7-77）=8÷（-70）=