专题1.28 三角形全等判定方法1-边边边（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

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专题1.28 三角形全等判定方法1-边边边（知识讲解）【学习目标】理解和掌握全等三角形判定方法——“边边边”，【要点梳理】要点一、全等三角形判定——“边边边” 全等三角形判定——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.特别说明：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.       【典型例题】类型一、用SSS直接证明三角形全等1、 如图，在和中，，，和分别是边和上的中线，且．求证：．【分析】依据，，，即可判定△，再根据，，，可判定△，由全等三角形的性质可得出结论．解：证明：，分别是和△的中线，，，在和△中，，△，，在和△中，，△，．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是能证明出△．举一反三：【变式1】 已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：(1)  △AEC≌△BFD；   (2) DE=CF【分析】（1）由线段的和差可得AC=BD，继而利用“SSS”即可求证结论；（2）由（1）可知∠A=∠B，继而利用“SAS”求证△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质即可求证结论．解：(1)证明：∵AD=BC，∴AD+DC=BC+DC，即AC=BD，在△AEC和△BFD中，       ∴△AEC≌△BFD（SSS），(2)由（1）可知△AEC≌△BFD，∴∠A=∠B，在△AED和△BFC中，,∴△AED≌△BFC（SAS），∴DE=CF【点拨】本题考查了全等三角形的判定及其性质，解题的关键是能够根据已知条件和隐藏条件正确选择全等三角形的判定方法．【变式2】如图，在和中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，①，②，③，④．(1)请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，组成一个真命题，一共可以组成__________个真命题；(2)选择其中一个真命题，并给出证明．解：我写的真命题是：在和中，已知：_______________，求证：_______________．（不能只填序号）证明：【答案】(1)(2)答案见分析【分析】（1）根据判定全等三角形的方法可以得出①③④为条件，②为结论；①②④为条件，③为结论，这两个命题是正确的；（2）根据的结论可以选取①②④求得 而得出结论③．(1)解：由题意得，正确的命题有：①③④为条件，②为结论；①②④为条件，③为结论，有两个命题是正确的，故答案为：；(2)证明：，，即，在和中，，，．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键．类型二、用SSS间接证明三角形全等2、如图，点B、F、C、E在同一直线上，已知，，．求证：．【分析】已知△ABC与△DEF两边相等，通过BF=CE可得BC=EF，即可判定△ABC≌△DEF（SSS）．解：∵，∴，即在与中∴【点拨】本题考查三角形全等的判定．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．举一反三：【变式1】 如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．【答案】（1）详见分析；（2）成立，证明详见分析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见分析.【分析】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.解：（1）∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF.（2）成立.理由如下：∵AF=CE，∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF.（3）AD与CB不一定平行，理由如下：∵只给了两组对应相等的边，∴不能判定△ADE≌△CBF，∴不能判定∠A与∠C的大小关系，∴AD与CB不一定平行，【点拨】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角【变式2】如图所示，AB=AC，BD=CE，AD=AE，求证：△ABE≌△ACD． 试题分析：根据BD=CE得出BE=CD，然后结合AE=AD，AB=AC利用SSS来判定三角形全等.解：∵BD=CE，   ∴BD+DE=CE+DE，   ∴BE=CD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SSS）【点拨】三角形全等的判定类型三、全等性质与SSS综合3、如图，，点E在BC上，且，．(1)求证：；(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见分析(2)，理由见分析【分析】（1）运用SSS证明即可；（2）由（1）得，根据内错角相等，两直线平行可得结论．解：(1)在和中，，∴(SSS)；(2)AC和BD的位置关系是，理由如下：∵∴，∴．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．举一反三：【变式1】 如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，满足AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF，连接AF．(1)求证：∠B＝∠C；(2)若∠B＝40°，∠DFC＝30°，当AF平分∠BAE时，求∠BAF．【答案】 (1)证明见分析    (2)55°【分析】（1）由题意知，证明，进而结论得证；（2）由可知，三角形内角和定理求的值，由AF平分∠BAE可得，计算求解即可．(1)解：∵，∴，∴，在△ABE和△DCF中，∵，∴，∴．(2)解：由（1）得，∴，∴，∵AF平分∠BAE，∴∴的度数为．【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线．解题的关键在于熟练掌握三角形全等的判定与性质．【变式2】如图，已知点A，C，D在同一直线上，BC与AF交于点E，AF＝AC，AB＝DF，AD＝BC．（1）求证：∠ACE＝∠EAC；（2）若∠B＝50°，∠F＝110°，求∠BCD的度数．【答案】（1）见分析；（2）160°【分析】（1）根据SSS定理判定△ABC≌△FDA即可得出结论．（2）由△ABC≌△FDA可知∠BAC＝∠F＝110°，再根据∠BCD是△ABC的外角得到∠BCD＝∠B+∠BAC即可求出答案．解：（1）证明：在△ABC和△FDA中，，∴△ABC≌△FDA（SSS），∴∠ACB＝∠FAC即∠ACE＝∠EAC．（2）解∵△ABC≌△FDA，∠F＝110°，∴∠BAC＝∠F＝110°，又∵∠BCD是△ABC的外角，∠B＝50°，∴∠BCD＝∠B+∠BAC＝160°．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决问题的关键．类型三、尺规作图——作三角形4、请按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．用直尺和圆规作△DEF，使得△DEF≌△ABC，并指出判定△DEF≌△ABC的依据（请在作图区内画图）．【答案】作图见分析，证明见分析【分析】利用尺规作DE＝BC，DF＝BA，EF＝CA，根据全等三角形的性质分析，△DEF≌△ABC，从而完成求解．解：作线段DG，且，以点D为圆心，BC为半径画圆弧，交DG于点E；分别以点D、E为圆心，AB、AC为半径画圆弧，相交于点F，连接DF、EF作图如下：△DEF就是所求；∴，， △DEF和△ABC中 ∴△DEF≌△ABC（SSS）．【点拨】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定；解决本题的关键是掌握全等三角形的判定方法，从而完成求解．举一反三：【变式1】 人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．作法：如图．（1）画B'C′＝BC；（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：（1）在作图过程中创造了什么条件？（2）依据作图过程及其产生的条件证明△A′B′C′≌△ABC．【答案】（1）；（2）见分析【分析】（1）根据题意得出证明△A′B′C′≌△ABC的条件为“”；（2）根据题意证明即可．解：（1）根据题意可得：，∴证明△A′B′C′≌△ABC的条件为“”；（2）由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，，∴△A′B′C′≌△ABC（）．【点拨】本题考查了作图-全等三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是读懂图像信息，属于中考常考题型．【变式2】作已知ABC的全等三角形．（尺规作图，不写作法保留作图痕迹）    【分析】先画一条射线，以射线的端点为圆心，BC长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，AB长为半径画弧，以为圆心，AC长为半径画弧，这两个弧有一个交点记作点，连接、，得到与全等．解：如图所示：全等的依据是“SSS”．【点拨】本题考查全等三角形的作图，解题的关键是利用全等三角形的判定去画出和已知三角形全等的三角形．