初中数学人教版（2024）七年级上册1.2.1 有理数课时练习

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册1.2.1 有理数课时练习，共22页。试卷主要包含了单选题，有理数乘方的运算，有理数乘方运算的符号规律，有理数乘方的应用，程序流程与有理数的运算等内容，欢迎下载使用。
类型一、有理数的幂的概念的理解
1．若有理数a，b满足＝0，则a+b的值为（ ）
A．1B．﹣1C．5D．﹣5
2．表示（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2+2+2+2＝22＝16
B．33＝3×3＝9
C．﹣62＝（﹣6）2＝36
D．
类型二、有理数乘方的运算
4．的相反数是（ ）
A．2022B．－2022C．1D．－1
5．观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（ ）
A．3B．9C．7D．1
6．下列计算结果为负数的是（ ）
A．B．C．D．
类型三、有理数乘方运算的符号规律
7．有理数，，, ，，中，其中等于1的个数是（ ）.
A．3个B．4个C．5个D．6个
8．对于任意的有理数m，下列各式一定成立的是（ ）
A．|m|3＝m3B．m3＝（﹣m）3C．﹣m2＝|m|2D．m2＝（﹣m）2
9．已知n表示正整数，则的值是（ ）
A．0B．1C．1或0D．以上答案都不对
类型四、有理数乘方的应用
10．1长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次截去之后剩下的木棒是( )．
A．B．C．D．
11．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次(由一个分裂成两个)．经过3h，这种细菌由1个可分裂为（ ）
A．8个B．16个C．32个D．64个
12．计算＝（ ）
A．B．C．D．
类型五、程序流程与有理数的运算
13．观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（ ）
A．0B．3C．4D．5
14．如图是一个数值转换机，例如输入a＝5，第一步52＝25，第二步25﹣4×5＝5，第三步5×（﹣3），输出结果为﹣15．若输入a＝﹣5，则输出结果应为（ ）
A．15B．135C．-135D．15
15．如图所示的运算程序中，若开始输入的 x 值为 15，则第 1 次输出的结果为 18，第 2 次输出的结果为 9，…， 第 2021 次输出的结果为（ ）
A．3B．4C．6D．9
二、填空题
类型一、有理数的幂的概念的理解
16．用幂的形式可表示为____．
17．一个数的平方等于64，则这个数为______．
18．现定义某种运算“”，对任意两个有理数、，有，如，计算：______．
类型二、有理数乘方的运算
19．计算：_______．
20．定义a※b＝a2÷（b﹣1），例如3※5＝32÷（5﹣1）＝9÷4＝，则（﹣3）※4的结果为________．
21．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．请根据图，计算孩子自出生后的天数是______天．
类型三、有理数乘方运算的符号规律
22．n是正整数，则（-2）2n+1+2×（-2）2n=__________．
23．若是正整数，则_________
24．若，则=____________．
类型四、有理数乘方的应用
25．在计算的值时，可设，①则②．∴②-①，得，所以，试利用上述方法求的值：___．
26．如图，数轴上、两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点(，是整数)处，问经过这样2021次跳动后的点与点的距离是_____．
27．有一张厚度为0.1毫米的纸片，对折1次后的厚度是2×0.1毫米，继续对折，2次，3次，4次……假设这张纸对折了20次，那么此时的厚度相当于每层高3米的楼房层数约是__________．（参考数据：，）
类型五、程序流程与有理数的运算
28．如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，则第2021次输出的结果为________.
29．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2022次输出的结果为________．
30．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是100，则最后输出的结果为_______．
三、解答题
31．计算：
(1)；(2)．
32．由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：
(1)_________；
(2)_________；
(3)计算：．
33．给出下面六个数，，，，0，．
(1)其中正有理数是______，分数有______．（将符合条件的数都填在横线上）
(2)先把表示上面各数的点在数轴上表示出来，再按从小到大的顺利，用“＜”号把它们连接起来．
34．计算:
（1）（2）
35．化归思想我们知道：23＝2×2×2，25＝2×2×2×2×2，所以23×25＝(2×2×2)×(2×2×2×2×2)＝28.
(1)用与上面相同的方法计算可得53×54＝________；
(2)归纳以上的探究过程，可猜测：am×an＝____________；
(3)利用以上的猜测计算：102017×102018.
参考答案
1．A
【分析】
根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b的值，即可得到a+b的值．
解：∵，
∴3-a=0，b+2=0
∴a=3，b=-2
∴a+b=1
故选：A．
【点拨】本题考查绝对值和偶次方分非负性，有理数的加法，解题的关键是掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0．
2．A
【分析】
根据乘方的意义求解即可．
解：=．
故选A．
【点拨】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．
3．D
【分析】
根据有理数乘方的概念以及有理数乘方的运算即可解答．
解：A、2+2+2+2=2×4=8，故本选项错误，不符合题意；
B、33=3×3×3=27，故本选项错误，不符合题意；
C、-62=-36，故本选项错误，不符合题意；
D、，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了有理数的乘方，有理数乘方的意义：求n个相同因数a的乘积的运算，记作an，读作a的n次方．
4．C
【分析】
先求出的值，再求的相反数即可得到答案．
解：∵，
∴的相反数是1．
故选：C．
【点拨】本题考查了有理数的乘方，相反数的定义，属于基础题型．
5．A
【分析】
从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2019除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．
解：已知31=3，末位数字为3，
32=9，末位数字为9，
33=27，末位数字为7，
34=81，末位数字为1，
35=243，末位数字为3，
36=729，末位数字为9，
37=2187，末位数字为7，
38=6561，末位数字为1，
…
由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，
又2021÷4=505…1，
所以32019的末位数字与33的末位数字相同是3．
故选:A．
【点拨】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．
6．C
【分析】
根据求一个数的相反数、去绝对值符号法则、有理数的乘方运算，即可一一判定．
解：A、，结果为正数，故该选项不符合题意；
B、，结果为正数，故该选项不符合题意；
C、，结果为负数，故该选项符合题意；
D、，结果为正数，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了求一个数的相反数、去绝对值符号法则、有理数的乘方运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
7．A
【分析】
分别根据有理数的乘方、绝对值的性质及去括号的法则计算出各数即可．
解：；
；
；
；
；
，
这一组数中等于1的有3个．
故选：．
【点拨】本题考查的是有理数的乘方、绝对值的性质及去括号的法则，先根据题意计算出各数是解答此题的关键．
8．D
【分析】
通过举反例可判断A，由立方运算的含义可判断B，由平方运算的含义可判断C，D，从而可得答案.
解：当时， 故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选：D
【点拨】本题考查的是绝对值的含义，有理数的乘方运算的法则，掌握“乘方运算中，指数为奇数或偶数对结果符号的影响”是解题的关键.
9．D
【分析】
n为正整数，可能是偶数也可能是奇数，所以分当n为奇数， n为偶数时两种情况考虑，即可求解．
解：当n为奇数时：
1n+(−1)n+1=1+1=2；
当n为偶数时：
1n+(−1)n+1=1-1=0；
故选：D．
【点拨】本题考查了有理数的乘方，本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
10．D
【分析】
根据题意列出算式，计算即可得到结果．
解：根据题意知第六次后剩下的小棒长为，
故选：D．
【点拨】此题考查了有理数的乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
11．D
【分析】
每半小时分裂一次，一个变为2个，实际是个．分裂第二次时，2个就变为了个．那么经过3小时，就要分裂6次．根据有理数的乘方的定义可得．
解：某种细菌原来有1个，
半小时后有：2个，1小时后有个，
小时后有个，小时后有个，
小时后有个，小时后有个，
又
经过3h，这种细菌由1个可分裂为个，
故选D
【点拨】本题考查的是乘方的含义与实际应用，简单数字规律的探究，掌握“探究规律的方法与乘方的意义”是解本题的关键.
12．C
【分析】
根据乘方的意义求解即可
解：根据乘方的意义，分子为，分母为，即
故选C
【点拨】本题考查了乘方的意义，理解乘方的意义是解题的关键．
13．B
【分析】
按照程序图代入左边代数式计算即可．
解：∵x=2＞0，
∴2x-1=2×2-1=3．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，选择合适的程序是解题的关键．
14．C
【分析】
把a的值代入计算程序中计算即可得到结果．
解：输入a＝﹣5，
第一步（﹣5）2＝25，
第二步25﹣4×（﹣5）＝45，
第三步45×（﹣3）＝﹣135，
∴输出结果为﹣135．
故选：C．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．A
【分析】
首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次输出的结果各是多少，总结出规律，然后判断出第2021次输出的结果为多少即可．
解：第1次输出的结果为：15+3＝18，
第2次输出的结果为：×18＝9，
第3次输出的结果为：9+3＝12，
第4次输出的结果为：×12＝6，
第5次输出的结果为：×6＝3，
第6次输出的结果为：3+3＝6，
第7次输出的结果为：×6＝3，
第8次输出的结果为：3+3＝6，
第9次输出的结果为：×6＝3，
…，
从第4次开始，以6，3依次循环，
并且第n次(n＞3)时，
如果n-3为偶数，则输出结果为3，
如果n-3为奇数，则输出结果为6，
∵（2021﹣3）÷2＝2018÷2＝1009，
∴第2021次输出的结果为3．
故选：A．
【点拨】此题考查了程序图的规律问题，解题的关键是正确分析题目中程序的运算规律．
16．
【分析】
根据乘方的定义即可解答．
解：算式用幂的形式可表示为．
故答案为．
【点拨】本题考查乘方的定义：求n个相同因数积的运算叫做乘方，解题的关键是熟练掌握幂的形式．
17．±8
【分析】
根据平方的定义即可求解．
解：∵（±8）2=64
∴这个数为±8
故答案为：±8．
【点拨】此题主要考查数的平方，解题的关键是熟知平方的定义．
18．1
【分析】
理解“”，先算括号内的，再算括号外的．
解：
故答案为：1．
【点拨】此题是新定义运算题型，考查有理数的乘方．关键要理解新定义的运算含义和乘方的意义．
19．4
【分析】
原式分别化简绝对值和有理数乘方运算，然后进行加法运算即可得到答案．
解：
=3+1
=4
故答案为：4
【点拨】本题主要考查了化简绝对值和乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．3
【分析】
根据a※b=a2 ÷ (b- 1)，可以求得所求式中的值．
解：∵a※b=a2 ÷ (b- 1)，
∴(-3)※4
=(-3)2÷(4- 1)
= 9÷3
= 3
故答案为：3．
【点拨】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
21．109
【分析】
类比于现在我们的十进制“满十进一”计算．
解：，
故答案为：109．
【点拨】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，考查有理数乘方应用，解题的关键是根据图中的点列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
22．0
【分析】
先根据有理数的乘方进行计算，然后再合并即可．
解：（-2）2n+1+2×（-2）2n
=-22n+1+22n+1
=0．
故答案为：0
【点拨】本题主要考查了有理数的乘方，掌握负数的偶次方为正、奇次方为负是解答本题的关键．
23．或
【分析】
分两种情况讨论，当为奇数时，当为偶数时，从而可得答案．
解：当为奇数时，

当为偶数时，
故答案为：或
【点拨】本题考查的是乘方符号的确定，有理数的加法运算，掌握以上知识是解题的关键．
24．1
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
解：∵，
∵
∴a-1=0，b-2=0，
∴a=1，b=2，
∴．
【点拨】本题主要考查了非负数的性质和乘方运算．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0
25．
【分析】
根据所给例题的方法设，进而计算，两式相减即可求得，进而求得的值
解：设①
则②
∴②-①，得
故答案为：
【点拨】本题考查了有理数乘方的应用，理解题意，裂项相消是解题的关键．
26．
【分析】
根据题意，得第一次跳动到OA的中点处，即在离远点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可得跳动n次离原点的长度为，代入计算即可；
解：由于，
∴第一次跳动到OA的中点处时，，同理第二次从处跳动到处时离原点的长度为，跳动n次离原点的长度为，
∴2021次跳动后的点与点的距离是；
故答案是：．
【点拨】本题主要考查了与数轴有关的规律题型，准确分析计算是解题的关键．
27．35
【分析】
根据对折规律确定出对折2次的厚度，再利用对折规律确定出楼层即可．
解：根据题意得，对折两次的厚度为：2×2×0.1=0.4（毫米），
故对折20次的厚度为220×0.1=104857.6毫米≈104.9m，
104.9÷3≈35层，
则对折20次后相当于每层高度为3米的楼房35层．
故答案为：35．
【点拨】此题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
28．8
【分析】
根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算．
解：∵第1次输出的数为：100÷2=50，
第2次输出的数为：50÷2=25，
第3次输出的数为：25+7=32，
第4次输出的数为：32÷2=16，
第5次输出的数为：16÷2=8，
第6次输出的数为：8÷2=4，
第7次输出的数为：4÷2=2，
第8次输出的数为：2÷2=1，
第9次输出的数为：1+7=8，
第10次输出的数为：8÷2=4，
……，
∴从第5次开始，输出的数分别为：8、4、2、1、8、…，每4个数一个循环；
∵（2021-4）÷4=504…1，
∴第2021次输出的结果为8．
故答案为8．
【点拨】本题考查了有理数的计算，正确发现循环的规律是解题的关键．
29．6
【分析】
根据运算的程序，把24代入，求出前几个数，可发现从第2个数开始，每2个数循环出现，据此作答即可．
解：第1次输出的数为：；
第2次输出的数为：；
第3次输出的数为：；
第4次输出的数为：；
第5次输出的数为：；
…
由此得从第2个数开始，每2个数开始，奇数次输出的数为3，偶数次输出的数为6，
∴第2022次输出的数为6．
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，代数式求值，解答的关键是根据所给的程序写出前几个数，从而总结出规律．
30．400
【分析】
把100代入程序中计算，判断结果与100的大小，依此类推，大于100输出即可．
解：把100输入得：

＝﹣200＜100，
把﹣200代入得：

＝400＞100，
输出结果为400．
故答案为：400．
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
31．(1)(2)
【分析】
（1）先计算乘除，然后计算加减即可；
（2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减即可．
(1)解：原式
(2)解：原式
【点拨】本题考查了有理数的混合运算．解题的关键在于明确运算顺序．
32．(1)；(2)；(3)
【分析】
（1）根据乘方的定义求解即可；
（2）根据乘方的定义求解即可；
（3）首先根据乘方的定义将（﹣）2022，化成（﹣）2021×（﹣），再根据乘方的定义求解即可．
(1)解：（1）52×62＝=900= ，
故答案为：；
(2)解：m2×n2＝(mn)2，
故答案为：(mn)2；
(3)解：（﹣2）2021×（﹣）2022
＝（﹣2）2021×（﹣）2021×（﹣）
＝
＝
＝ ．
【点拨】本题考查乘方的定义，解答本题的关键熟知乘方的定义．
33．(1)-（-2.5），（-1）2022；-（-2.5），−
(2)在数轴上表示见分析，-22＜-|-2|＜-＜0＜（-1）2022＜-（-2.5）．
【分析】
（1）根据正有理数，分数的意义判断即可；
（2）在数轴上准确找到各数对应的点即可解答．
(1)解：∵，，，，
∴正有理数是-（-2.5），（-1）2022，
分数有-（-2.5），−，
故答案为：-（-2.5），（-1）2022；-（-2.5），−；
(2)解：在数轴上表示如图所示：
∴-22＜-|-2|＜-＜0＜（-1）2022＜-（-2.5）．
【点拨】本题考查了数轴，绝对值，有理数的乘方，实数大小比较，在数轴上准确找到各数对应的点是解题的关键．
34．（1）；（2）
【分析】
（1）先把减法转化为加法，再把同号的两个数相加，即可得到答案；
（2）先计算绝对值，乘方运算，再利用乘法的分配律计算乘法运算，除法运算，最后计算加减运算即可得到答案．
解：（1）原式
.
.
（2）原式
【点拨】本题考查的是求一个数的绝对值，乘方符号的确定，含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．
35．(1)57 (2)am＋n (3)104035
分析：（1）利用有理数的乘方验证同底数幂的乘法法则，关键是理解乘方的意义；
（2）根据（1）的计算写出结论即可；
（3）根据（2）的结论计算即可.
解：(1)53×54=(5×5×5)×(5×5×5×5)=57；
(2)由（1）知，am·an=am+n ；
(3) 102017×102018 =102017+2018=104035.
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法，利用有理数的乘方验证同底数幂的乘法法则，关键是理解乘方的意义.