高中数学人教A版选修第二册《4.2.2 等差数列的前n项和第2课时》教案

第四章 数列4.2.2 等差数列的前n项和第2课时 一、教学目标1.理解并应用等差数列前n项的性质.2.构造等差数列求和模型（建模）,解决实际问题.3.能够解决等差数列前n项和的最值问题.4.经历公式性质的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法. 二、教学重难点重点：理解并应用等差数列前n项的性质和最值问题.难点：构造等差数列求和模型（建模）,解决实际问题. 三、教学过程（一）创设情境前面的学习，我们知道了等差数列{an}的前n项和公式，等差数列{an}的性质。找两位同学说说看。答：采用倒序相加法，Sn=na1+an2；将an= a1 + dn−1，Sn=na1+nn−12d。性质1 若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N∗)是公差为md的等差数列．性质2 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N∗)，则am＋an＝ap＋aq.性质3 数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2,则数{pan+qbn}(p,q为常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.思考：结合等差数列的前n项和公式，等差数列还有哪些性质呢？学生讨论、思考.师生活动：师生互动，生生讨论、交流；师揭示课题.设计意图：教师以回顾旧知，帮助学生建立与新知的联系，通过高斯问题引发学生思考，设疑激发学生主动学习，以此顺利揭示本节课题.（二）探究新知任务1：探究等差数列前n项和的性质.思考：已知数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p，q，r为常数，且p≠0.任取若干组p，q，r，在电子表格中计算a1，a2，a3，a4，a5的值，观察数列{an}的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论.师生活动：1.先独立思考1分钟；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.提示：操作演示：打开《Sn=pn2+qn+r数据》多取几组p,q,r的值，看看有什么规律？说说你的发现？总结：当r=0时，数列{an}为等差数列.当r≠0时，数列{an}从第二项起为等差数列.分析：证明：当n≥2时，an=Sn−Sn−1=pn2+qn+r−[pn−12+q(n−1)+r]=2pn−p+q，当n=1时，a1=S1=p+q+r，所以an=p+q+r，n=12pn−p+q，n≥2，此时数列{an}从第二项起为等差数列，且公差为2p.总结：若数列{an}的前n项和是一个不含有常数项的二次函数：Sn=An2+Bn (A,B为常数) ，则该数列{an}是等差数列.思考：若等差数列{an}中，公差为d，前m项的和为Sm，则Sm、S2m−Sm、S3m−S2m能构成等差数列吗？师生活动：1.先独立思考1分钟；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.分析：证明： ∵Sm=a1+a2+⋯+am， ∴S2m−Sm=am+1+am+2+⋯+a2m=a1+a2+⋯+am+m2dS3m−S2m=a2m+1+a2m+2+⋯+a3m=am+1+am+2+⋯+a2m+m2d∴S2m−Sm−Sm=S3m−S2m−S2m−Sm=m2d∴Sm,S2m−Sm,S3m−S2m 构成等差数列，公差为  m2d.总结：性质1 在等差数列{an}中，公差为d，前m项的和为Sm，则Sm、S2m−Sm、S3m−S2m为等差数列，且公差为m2d.思考：若Sn是等差数列{an}前n项的和，证明：数列{Snn}也是等差数列.师生活动：1.先独立思考1分钟；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.分析：证明：设等差数列an的公差为d，∵Sn=na1+nn−12d=d2n2+a1−d2n∴Snn=d2n+a1−d2∴Snn−Sn−1n−1=d2n+a1−d2−d2(n−1)+a1−d2=d2故Snn是公差为d2的等差数列.总结：性质2 若{an}是公差为d的等差数列，其前n项的和为Sn，则数列{Snn}也是等差数列，公差为d2.各抒已见：已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261. 求此数列中间一项的值以及项数.分析：设该数列有2n−1(n∈N∗)项,则依题意,可得S奇=n(a1+a2n−1)2=nan=290， S偶=(n−1)(a2+a2n−2)2=(n−1)an=261.∴S奇S偶=nn−1=290261,解得n=10，∴an=29.∴该数列的项数为2×10−1=19，数列中间一项是29.说一说：通过解决本题，想一想等差数列还有什么性质呢？这个性质和什么有关呢？探究：若一个等差数列的项数为奇数，设其项数为2n+1，探究 ​​​​​​​​​​​​​​S偶S奇的关系.分析：S2n+1=(2n+1)(a1+a2n+1)2=2n+12（an+1)2=2n+1（an+1)​​​​​​，S奇=(n+1)(a1+a2n+1)2=(n+1)an+1， S偶=n(a2+a2n)2=nan+1∴S奇-S偶=(n+1)an+1−nan+1=an+1∴S奇S偶=(n+1)an+1nan+1=(n+1)n总结：性质3 若等差数列an的项数为2n+1 ,则 S2n+1=2n+1an+1 ,S奇−​​​​S偶=an+1,​​​​​​​​​​​​​​S偶S奇=nn+1.探究：若一个等差数列的项数为偶数，设其项数为2n，探究 ​​​​​​​​​​​​​​S偶S奇的关系.分析：S2n=(2n+1)(a1+a2n)2=n（a1+a2n）=n（an+an+1)​​​​​​，S奇=(n+1)(a1+a2n−1)2=nan+1， S偶=n(a2+a2n)2=nan+1∴S偶 -S奇=nan+1−nan=nan+1−an=nd∴S偶S奇=nan+1nan=an+1an总结：性质4   若等差数列an的项数为2n ,则 S2n=n(an+an+1) ,S偶−​​​​S奇=nd,​​​​​​​​​​​​​​S偶S奇=an+1an.思考：如果数列{an}、{bn}是项数相同的等差数列，Sn、Tn分别是它们前n项和，那么S2n-1与T2n-1会有什么关系？.师生活动：1.先独立思考1分钟；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.分析：S2n−1=(2n−1)(a1+a2n−1)2=(2n−1)an，T2n−1=(2n−1)(b1+b2n−1)2=(2n−1)bn,anbn=S2n−1T2n−1(bn≠0, T2n−1≠0)总结：性质5  若数列an,bn都为等差数列,它们的前n项和分别为Sn,Tn,则anbn=S2n−1T2n−1.任务2：探究等差数列前n项和公式的实际应用.思考：《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织____尺布.师生活动：1.先独立思考1分钟；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.分析：由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，设公差为d,则有S30＝30×5+30×292d=390解得 d= 1629.故该织布机每天比前一天多织1629尺布.任务3：探究等差数列前n项和公式与一元二次函数的联系.各抒已见：从函数的角度，公式改写成Sn=d2n2+a1−d2n ，当d≠0时，Sn可以看成二次函数y=d2x2+a1−d2x(x∈R)当x=n时的函数值.讨论Sn的单调性与最值问题.总结：在等差数列{an}中， a1、 d的取值影响函数的单调性.若a1>0，d0，d>0时，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a10时，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1