2025年高考数学一轮专题复习--数列专题6（含解析）-练习

这是一份2025年高考数学一轮专题复习--数列专题6（含解析）-练习，共18页。
典例1、已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设．
（1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合;
（2）若具有性质,证明:;
（3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值．
随堂练习：已知数列满足，，数列的前项和记为.
（1）写出的最大值和最小值；
（2）若，求的值；
（3）是否存在数列，使得？如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由.
典例2、已知为实数，数列满足.
（1）当和时，分别写出数列的前5项；
（2）证明：当时，存在正整数，使得；
（3）当时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由.
随堂练习：已知数列满足：，且.记集合.
（1）若，写出集合的所有元素；
（2）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（3）求集合的元素个数的最大值.
典例3、已知数列的首项，其中，令集合，．
（1）若是数列中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；
（2）求证：；
（3）当时，求集合中元素个数的最大值．
随堂练习：已知无穷数列满足公式，设.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）给定整数，是否存在这样的实数，使数列满足：
①数列的前项都不为零；
②数列中从第项起，每一项都是零.
若存在，请将所有这样的实数从小到大排列形成数列，并写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.
知识点二 利用定义求等差数列通项公式,由递推关系证明数列是等差数列,反证法证明,
利用an与sn关系求通项或项
典例4、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
随堂练习：已知数列满足：，，记数列，
（1）证明数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在数列的不同项使之称为等差数列？若存在，请求出这样的不同项；若不存在，请说明理由．
典例5、设数列的前项和为，且，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：为定值；
（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.
随堂练习：已知数列的前项和满足，数列的前项和满足且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和;
(3)数列中是否存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列?若存在，求出，， 的关系；若不存在，请说明理由.
典例6、已知等比数列的前项和为，，．数列的前项和为，且，．
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，是否存在不同的正整数，，（其中，， 成等差数列），使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的，，的值；若不存在，说明理由．
随堂练习：若数列的前项和为，且满足等式.
（1）求数列的通项公式；
（2）能否在数列中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；
（3）令，记函数的图像在轴上截得的线段长为，
设，求，并证明：.
人教A版数学--数列专题六
典例1、答案：（1）不具有性质,具有性质, （2）证明见解析 （3）
解：（1）解:由题知, 即
因为, 所以不具有性质,
由于, 即
因为 故具有性质,
因为
故;
（2）“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,
假设两个元素均不在中, 则有
不妨设, 若, 则由,
可得, 与矛盾, 故, 同理,
从而, 所以,
与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即;
（3）设
规定时,, 时,,
则, 所以,
考虑数列, ,
由题设可知,他们均具有性质, 设中元素个数最小值为,
所以, 所以,
由(2)知,从而,
当时,令,
当时,令,
此时均有, 所以中元素个数的最小值为.
随堂练习：答案：（1），； （2）0； （3）不存在，理由见解析.
解：（1）因为，， 所以，解得或，
当时，由，解得或，
当时，由，解得，
所以或或，
所以最大值为，最小值为.
（2）当时，，则或，
此时由知，不满足，舍去；
当时，，则或，
满足，不满足，舍去；
当时，由，得或，
由知满足题意，当时，不满足题意，
综上， 或，或，
所以或或， 故.
（3）由，可得为整数，，
所以，
则，
所以，
若存在数列，使得，则， 又为整数，所以方程无解，
故不存在数列，使得.
典例2、答案： （1）当时，当时，
（2）证明见解析； （3）存在，与，
解：（1）当时，
当时，
当时，，
在数列中直到第一个小于等于的项出现之前，
数列是以为首项，为公差的递减的等差数列 即
当足够大时，总可以找到，则存在正整数，使得
（i）若，令，则存在正整数，使得
（ii）若，，则
令，则存在正整数，使得
综上所述，则存在正整数，使得.
（3）①当时，
当时， 当时，
令，而此时为奇数，成立，
又不成立，所以存在正整数，使得.
②当时， 所以数列的周期为，
当时，
当时，
当时，
当时， 所以
所以或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数，使得
③当时，
，当时，
综上所述，当与，时，.
随堂练习：答案： （1） （2）见解析 （3）5
解：（1）若，则，，，
，故中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2. 故.
（2）设， 若，则，因互质，故为3的倍数；
若，则即，因互质， 故为3的倍数，
依次类推，有均为3的倍数.
当时，我们用数学归纳法证明：也是3的倍数.
当时，若，则，故为3的倍数；
若，则，故为3的倍数，
设当时，是3的倍数即为3的倍数，
若，则，故为3的倍数；
若，则，因为3的倍数，故为3的倍数，
故当时，是3的倍数也成立，
由数学归纳法可得是3的倍数成立，
综上，的所有元素都是3的倍数.
（3）当，则，，，，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为1；
当时，的元素个数不超过为5，
综上，的元素个数的最大值为5.
典例3、答案：（1）27，9，3；8，9，3；6，2，3 （2）证明见解析 （3）21
解：（1）是数列中首次为1的项，又，；
或，即或2；同理或，当时，
即或8，当时，或1（不合题意，舍去）；
所以，满足条件的数列的前三项为： 27，9，3；或8，9，3；或6，2，3．
（2）若被3除余1，则由已知可得，，；
若被3除余2，则由已知可得，，；
若被3除余0，则由已知可得，； 所以，
所以
所以，对于数列中的任意一项，若“，则”．
因为，所以． 所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）
若，则，；若，则，，若，，
由递推关系易得．
（3）集合中元素个数的最大值为21．
由已知递推关系可推得数列满足：
当时，总有成立，其中，，，．
下面考虑当时，数列中大于3的各项：
按逆序排列各项，构成的数列记为，由（1）可得或9，
由（2）的证明过程可知数列的项满足：
，且当是3的倍数时，若使最小，需使，
所以，满足最小的数列中，或7，且，
所以，所以数列是首项为或的公比为3的等比数列，
所以或，即或，
因为，所以，当时，的最大值是6，
所以，所以集合中元素个数的最大值为21．
随堂练习：答案：（1）（2）（3）存在这样的，，理由见解析
解：（1）因为，所以；
（2）因为，
（i）当时，，所以， 此时，若，则；
若，则.
（ii）当时，，所以，此时，若，则；
若，则. 综上所述， ；
（3）存在这样的， 因为，由（2）可知，
（i）当时，，所以，
（ii）当时，，所以，
以此类推，，
所以数列的通项公式为.
典例4、答案：(1) . (2)见证明
解：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以.
(2)证明：(反证法)假设存在三项按原来顺序成等差数列，
记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，则，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①
又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.
所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析．
解：（1）由已知 ，
，
所以 是 为首项，为公比的等比数列
（2）由（1）得 所以

（3）假设存在 满足题意成等差数列，
代入得 ，
所以，即 ，左偶右奇不可能成立．
所以假设不成立，这样三项不存在
典例5、答案：（1）（2）证明见解析（3）数列中不存在三项成等差数列，证明见解析.
解:（1）1°当时,,解得.
2°当时,,即.
因为,所以,从而数列是以2为首项,2为公比的等比数列, 所以.
（2）因为,所以, 故数列是以4为首项,4为公比的等比数列,
从而, 而, 所以.
（3）不存在.理由如下.
假设中存在三项成等差数列,不妨设第m,n,k（）项成等差数列,
则,即.
因为,且m,n,,所以.
令（）,则,显然在上是增函数,
所以,即,
所以,
所以,其左边为负数,右边为正数,故矛盾,
所以数列中不存在三项成等差数列.
随堂练习：答案：(1) ； (2) (3) 不存在不同的三项，，，使之成等差数列.理由见解析
解:(1)当时，.
，① 当时，.②
①-②得，，
，故成等比数列，公比， 又，.
，， 数列是一个首项为，公差为的等差数列，
，，
当时，， 且满足， .
（2），
.① .②
①-②，得.
.
（3）且，.
假设存在不同的三项，，，恰好构成等差数列，则，
即，化简得.
两边同除以，得.（*）
不妨设，则，则，且，，与（*）矛盾.
不存在不同的三项，，，使之成等差数列.
典例6、答案：（1），；（2）不存在，理由见解析.
解:（1）因为数列为等比数列，设首项为，公比为，
由题意可知，所以， 所以，
由②可得，即，所以或2，
因为，所以，所以， 所以，
由，可得，
所以数列为等差数列，首项为，公差为1，
故，则，
当时，， 当时，也适合上式， 故．
（2）由，可得，
所以，
所以，
假设存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），
使得，，成等比数列，
则有， 所以，
则，即，
因为，所以，即，
所以，所以，
则，所以，则， 所以，即，
所以，这与已知的，，互不相等矛盾，
故不存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），
使得，，成等比数列．
随堂练习：答案：（1）；（2）不存在，理由见解析；（3），证明见解析.
解: （1）当时，，则，
当时，，则，
∴是首项为，公比为的等比数列， ∴，.
（2）若，有成等差数列，则，
∴，即，整理有，又，
∴，故，与矛盾，
故数列中找不到三项，它们按原来的顺序构成等差数列.
（3）由（1）知：，则，
又，
∴
∴，得证.