2025高考数学一轮专题复习：解析几何专题7（含答案解析）-练习

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根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
典例1、已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
（1）过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
（2）抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．
随堂练习：已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，为在动直线 上的投影，当为等边三角形时，其面积为.
（1）求抛物线的方程；（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于A，两点，直线与线段交于点，试问：是否存在，使得和的面积相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
典例2、已知P为抛物线E：上任意一点，过点P作轴，垂足为O，点在抛物线上方（如图所示），且的最小值为9．
（1）求E的方程；（2）若直线与抛物线E相交于不同的两点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为等边三角形，求m的值．
随堂练习：已知抛物线C：上的点到其焦点F的距离为2．
（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D在直线l：上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求的值．
典例3、如图，设为轴的正半轴上的任意一点，为坐标原点.过点作抛物线的两条弦和，､在轴的同侧.
（1）若为抛物线的焦点，，直线的斜率为，且直线和的倾斜角互补，求的值；
（2）若直线､､､分别与轴相交于点､､､，求证：.
随堂练习：已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为.
（1）求抛物线的方程；（2）过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为，的中点，求面积的最小值.
知识点二 抛物线中的三角形或四边形面积问题,直线与抛物线交点相关问题
典例4、已知曲线M上的任意一点到点的距离比它到直线的距离小1．
（1）求曲线M的方程；
（2）设点．若过点的直线与曲线M交于B，C两点，求的面积的最小值．
随堂练习：如图，已知直线与抛物线交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB，交AB于点D，点D的坐标为(4,2).
（1）求p的值； （2）求△AOB的面积.
典例5、已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于不同两点.
（1）记和的面积分别为，若，求直线的方程；
（2）判断在轴上是否存在点，使得四边形为矩形，并说明理由.
随堂练习：已知抛物线的焦点为，准线为.
（1）设与轴的交点为，点在上，且在轴上方，若，求直线的方程；
（2）过焦点的直线与相交于、两点，点在上，且，，求的面积.
典例6、如图，已知抛物线，直线l过点与抛物线交于A、B两点，且在A、B处的切线交于点P，过点P且垂直于x轴的直线分别交抛物线C、直线l于M、N两点．直线l与曲线交于C、D两点．
（1）求证：点N是中点；（2）设的面积分别为，求的取值范围．
随堂练习：如图，点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，且的中点均在抛物线C上.
1、若，点A在第一象限，求此时点A的坐标；
2、设中点为，求证：直线轴；
3、若是曲线上的动点，求面积的最大值.
高考解析几何复习专题七答案
典例1、答案：（1） （2）
解：（1）由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则，
，解得：， 抛物线的标准方程为：.
（2）为正三角形，，由抛物线对称性可知：轴，
设，则，解得：，，
，，解得：，，即的边长为.
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）由题意得：，由抛物线定义可知：此时，
过点F作FD⊥P Q于点D，由三线合一得：D为PQ中点，

且，可得： 所以抛物线方程为
（2）由题意得：当M为AB中点时，满足题意，
设，由得：直线斜率为，则可设直线：，
整理得：，联立得： ，
设， 则， 则， 由得直线OQ：，
联立直线OQ与直线l得：， 从而，可得：，解得：.
典例2、答案：（1） 1、 （2）2、
解：（1）抛物线E：的焦点，准线方程为，
所以，故，
又因为的最小值为9，所的最小值为，
当且仅当点C，P，F三点共线时，取得最小值，
此时，解得， 故抛物线E的方程为；
（2）联立，消去x得，
直线与抛物线E相交于不同的两点A，B， ，得，
设，，则有，， 所以，
设线段AB的中点， 则，，即，
直线MN的斜率，直线MN的方程为：，
令，得，即， 所以，
，
又因为为等边三角形，所以， 所以，
解得，且满足， 故所求m的值为．
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）因为点，在抛物线C：上，所以，抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义得：，解得，即抛物线C的方程为；
（2）由题意可设，，， 因为，所以，即，
故，整理得， 设点，同理可得，
则直线AB方程为：， 令得，即点，
因为直线NF与直线AB垂直， 所以直线NF方程为：，
令得，即点， ∴，
当且仅当时，时上式等号成立， 联立，得，
∴，，，
， ∴．
典例3、答案：（1） （2）证明见解析.
解：（1）根据题意，为抛物线的焦点，则，
由于直线的斜率为，故直线的方程为，
所以联立方程得， 设，则，
因为直线和的倾斜角互补，所以， 因为，所以，
所以，解得. 所以.
（2）设，直线的方程为，直线的方程为
设， 直线与抛物线联立得，
所以，，同理，直线与抛物线联立得，
所以，， 对于直线，由于，
所以，所以直线方程为，
故令得，即
同理得，，， 所以，
， 所以
随堂练习：答案：（1） ； （2）16.
解：（1）抛物线的焦点，准线，
为等边三角形，则有，而为在动直线上的投影，则，
由，解得，设，则点，
于是由得：，解得，
所以抛物线的方程为：.
（2）显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB方程为：，则直线CD方程为：，
由消去x并整理得：，设，则，
于是得弦AB中点，，同理得，
因此，直角面积
，当且仅当，即时取“=”，
所以面积的最小值为16.
典例4、答案：（1） （2）
解：（1）由已知得，曲线M上的任意一点到点的距离与它到直线的距离相等，所以曲线M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线M的方程为
（2）设， 显然，过点的直线斜率不为0，设其方程为
联立，整理得
其中， 由韦达定理得：，，
所以的面积
当时， 所以的面积的最小值为
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）∵OD⊥AB， ∴，又， ∴，则直线AB的方程为，
联立方程消y可得① 设A(x1,x2)，B(x2,y2)，∴，，
由， 又，
将代入可得，且当时方程①有解． ∴.
（2）由， ∵， ∴.
典例5、答案：（1） ； （2）不存在，理由见详解.
解：（1）设直线方程为， 联立，消去得，
得①，②， 又因为，则③ 由①②③解得，
即直线的方程为，即
（2）假设存在点，使得四边形为矩形， 则互相平分
所以线段的中点在上，则轴， 此时
则不成立. 故在轴上不存在点，使得四边形为矩形
随堂练习：答案：（1） （2）32
解：（1）由可得的准线为直线，所以点
过点作的准线的垂线，垂足为，如图所示，则，

因为，所以，设直线的倾斜角为，则，即，
得直线的斜率为1，所以直线的方程为
（2），设，，，
若轴，由，得，、为、，
此时不满足，所以不满足题意.
设直线方程为，直线的方程为，如图所示：

将代入抛物线方程得，所以，，
将代入抛物线方程得，所以①，
直线的斜率为，同理的斜率为，
因为，所以， 所以，即②，
由①②解得，， 所以或者，
当时，直线方程为，，，
因为，满足，所以，
所以，所以的面积为32，
同理可得当直线方程为时的面积也为32. 所以的面积为32.
典例6、答案：（1）证明见解析. （2）
解：（1）因为点的直线l过与抛物线交于A、B两点，
所以直线的斜率存在，可设.
设，则，消去y可得：，所以.
对抛物线可化为，求导得：，
所以以为切点的切线方程为，整理得：.
同理可求：以为切点的切线方程为.
两条切线方程联立解得：，，所以.
过点P且垂直于x轴的直线为：，所以. 所以，即点N是中点.
设. 因为点D到MN的距离为，所以.
因为点B到MN的距离为，所以.
所以.
（2）由（1）可知：点N是中点.同理可证：点N是中点. 所以.
设，则，消去y可得：，
所以.所以.
由（1）可知：，，所以.
同理可求：，.
所以
因为，所以，所以，所以，
所以，所以. 即的取值范围为.
随堂练习：答案：（1）； （2）证明见解析； （3）
解：（1）设点，则，所以中点坐标为代入，得，
所以，即；
（2）设，所以中点代入，得，
同理，.所以，是方程的两根，
由韦达定理：，又中点为，所以，所以，即直线轴；
（2）当轴时，由对称性知，在轴上，则，
所以化为， 即，所以；
当的斜率存在时，方程为，即，
所以，又由（2）知，，则，
所以.
又点到直线的距离，
故.又，得，故，
由，.综上，，所以的面积的最大值为.