2025高考数学一轮专题复习：解析几何专题6（含答案解析）-练习

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典例1、已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且．
（1）求抛物线C的方程；（2）直线FM与抛物线C交于A点，O为坐标原点，求面积．
随堂练习：已知抛物线的焦点为，O为坐标原点．
（1）求抛物线方程；（2）斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求的面积．
典例2、已知动点到定点的距离比到直线的距离小2，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设是轴上的点，曲线与直线交于，且的面积为，求点的坐标.
随堂练习：已知动点M到点的距离等于它到直线的距离，记动点M的轨迹为曲线C.
（1）求动点M的轨迹方程C；（2）已知，过点的直线l斜率存在且不为0，若l与曲线C有且只有一个公共点P，求的面积.
典例3、已知抛物线，过其焦点F的直线与C相交于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，相交于点P．
（1）求点P的轨迹方程；（2）若PA，PB与x轴分别交于Q，R两点，令的面积为，四边形PRFQ面积为，求的最小值．

随堂练习：已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为5.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值.
知识点二 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数
典例4、已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，
且，．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．
随堂练习：在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与
点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.
（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
（2）曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.

典例5、已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.
（1）求双曲线的方程；（2）求证：面积为定值，并求出该定值.

典例6、已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1
与曲线E交于A,B两点,
(1)求k的取值范围;
(2)如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S．
高考解析几何复习专题六
典例1、答案: （1） （2）
解：（1）， 又点在抛物线C上，
根据抛物线的定义，， 所以， 所以， 所以，
代入得，， 所以， 所以抛物线C：.
（2）根据题意，F坐标为， ， 所以直线.
联立和，所以，
所以 所以， 所以
随堂练习：答案： （1） （1）
解：（1），则由抛物线性质得， ∴，∴，
即抛物线的标准方程是.
（2）由题意得，抛物线的焦点为， ∴斜率为1的直线的方程为，，，
， 所以，，
∴ 原点到直线的距离为，
所以的面积
典例2、答案：（1） （2）或
解：依题意动点到定点的距离等于动点到直线的距离，
由抛物线的定义可知，动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为.
（2）联立方程，整理得,
设，则有, 于是,
设到直线的距离为，因为，
由点到直线的距离公式得,
又，所以， 于是，解得或.
故点的坐标为或.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）根据抛物线定义得动点M的轨迹为曲线..
（2）设过点的直线l为，将其与抛物线方程联立，
得，消去得：①，
因l与C有且只有一个公共点，则.
将代入①得，解得，代入直线l可得
则直线AP方程为：，则其与y轴交点为，则由图可得：

典例3、答案：（1） （2）2
解：（1）抛物线的焦点.由得，∴.
设，，，由导数的几何意义可得：，，
∴，即，同理．
又P在PA，PB上，则，所以．
∵直线AB过焦点F，∴．所以点P的轨迹方程是．
（2）由（1）知，，代入得， 则，
则，
P到AB的距离，所以，
∵，当时，得，
∴，∴，同理，．
由得，∴四边形PRFQ为矩形，
∵，∴，
∴，当且仅当时取等号．∴的最小值为2．
随堂练习：答案： （1） （2）32
解：（1）由题意知，，设圆上的点，则.
所以. 从而有.
因为，所以当时，.
又，解之得，因此. 抛物线C的方程为：.
（2）切点弦方程韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线C的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即
同理可知，直线PB的方程为，
由于点P为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、B的坐标满足方程， 所以，直线的方程为，
联立，可得， 由韦达定理可得，
所以， 点P到直线AB的距离为，
所以，，
∵，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
典例4、答案：（1）；（2）.
解:（1）由已知，，，，
∵，则，∴，∴，
解得，，∴双曲线的方程为．
（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，
由，得， 则，解得①，
∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，
，解得②，
由①、②得实数k的范围是.
由已知，∵B在A、Q之间，则，且，
∴，则，∴， 则，
∵，∴， 解得，又，∴．
故λ的取值范围是．

随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）证明：如图，由点与关于对称，

则，，故为定值.
由，
由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线，
设双曲线方程为 ，，
所以双曲线方程为；
（2）由题意知，分别为双曲线的渐近线
设，由，设.
，由于P点在双曲线上
又同理，设的倾斜角为，
则.
由函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时， ；
当时，； .
典例5、答案：（1）；（2）证明见解析，面积为.
解:（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则双曲线的方程为；
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为， 则消得，
，①
设与轴交于一点，，
，
双曲线两条渐近线方程为：，
联立，联立，
则（定值）.
典例6、答案：（1）；（2），面积为.
解：（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，得， 故曲线的方程为；
设，由题意建立方程组，
消去，得，
又直线与双曲线左支交于两点，有，解得，
（2），
依题意得，整理后得，
∴或，但∴， 故直线的方程为，
设，由已知，得，
∴，
又， ∴点，
将点的坐标代入曲线的方程，得得，
但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
∴，点的坐标为，到的距离为，
∴的面积.