人教版数学九年级下册重难点培优训练专题27.13相似三角形与动点综合问题（2份，原卷版+解析版）

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专题27.13相似三角形与动点综合问题（重难点培优）注意事项：本试卷满分100分，试题共22题，其中选择10道、填空6道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在锐角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止，点运动的速度为，点运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为（    ）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】设以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为 ，然后分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：设以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为 ，根据题意得： ， ，则 ，当 ，即 时，∴，解得： ；当 ，即 时，∴，解得： ，综上所述，以点 ，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为或．故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    )A． B． C． D．【答案】B【分析】当 时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】连接AE∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴E点的运动轨迹为射线AE∴当DE最短时，即当 时，DE有最小值∵在 中， ∴ ∵ ∴ 是等腰直角三角形∴ ∴DE的最小值是2故答案为：B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．3．（2022·江苏·无锡市金桥双语实验学校九年级阶段练习）如图，A（，1），B（，4），C（，4），点P是边上一动点，连接，以为斜边在的右上方作等腰直角，当点P在边且运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为（   ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】如图，由题意，点P在的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是．利用相似三角形的性质求出，，，利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，即可解决问题．【详解】解：如图，由题意，点P在的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是．A（，1），B（，4），C（，4），，，，，，，，，同法可得，，，，点Q的轨迹形成的封闭图形面积．故选：B．【点睛】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．4．（2022·辽宁沈阳·九年级阶段练习）如图，在中，，，点从点出发以1个单位长度/秒的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度向点运动，其中一点到达另一点即停．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为（    ）A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不对【答案】C【分析】首先设秒钟与以、、为顶点的三角形相似，则，，，然后分两种情况当和当讨论．【详解】解：设运动时间为秒．，，，当，，即，解得；当，，即，解得，综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意数形结合思想与分类讨论思想．5．（2022·浙江·沈家门第一初级中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高.动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1，长方形 PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=（      ）秒时，S1=2S2．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1=2S2，即可列方程求解．【详解】解：∵，边上的高，∴，∵，∴，∵PE∥BC，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得：．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键 ．6．（2022·辽宁葫芦岛·二模）如图，中，，点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段作匀速运动，同时点E从点B出发，沿射线以每秒个单位的速度作匀速运动，当点D与点B重合时两点停止运动，连接．设点D运动的时间为x秒，的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设BC交DE于点P，过点D作DQ⊥BC于点Q，则∠BQD=90°，根据题意得：，则，先根据△BDQ是等腰直角三角形，可得，再证明△BEP∽△QDP，可得，从而得到，再根据，即可求解．【详解】解：如图，设BC交DE于点P，过点D作DQ⊥BC于点Q，则∠BQD=90°，根据题意得：，则，∵，∴∠ABC=45°，，∴△BDQ是等腰直角三角形，∴，∵BF⊥BC，∴BF∥DQ，∴△BEP∽△QDP，∴，即，解得：，∴，∴，∵，∴该函数图象为位于y轴以及右侧的抛物线的一段．故选：C【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题，二次函数的图象，根据题意得到函数解析式是解题的关键．7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．作于点G，则运动过程中，AG的最大值为（    ）A． B． C． D．8【答案】A【分析】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，设运动时间为t秒，则由已知易证明△BFQ∽△OFP，则可得PQ过定点F；再证明△OFH∽△OBC，则可求得点F的坐标，进而求得AF的长，则由垂线段最短可确定AG的最大值．【详解】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，如图．设运动时间为t秒，则BQ=2t，OP=3t，∵B、C的纵坐标相同，∴BC∥OA，∴△BFQ∽△OFP，∴，∴PQ恒过定点F．∵FH∥BC，∴△OFH∽△OBC，∴，即，∴，∴．∴由勾股定理得：．∵PQ恒过定点F，且AG⊥PQ，∴AG≤AF，∴AG的最大值为AF，即AG的最大值为．故选：A．【点睛】本题是动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，确定PQ过定点是问题的关键．8．（2022·辽宁锦州·二模）如图，在矩形ABCD中，，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C的路径匀速运动，过点M作对角线AC的垂线，垂足为N．设运动时间为t秒，△AMN的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是(   )A． B．C． D．【答案】B【分析】勾股定理求出，当，，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方表示出；当时，，利用表示出与，再计算的面积．最后由函数表达式确定其图象．【详解】解：在中，．．当时，点在上，由题可知． ，， ， ，即， ；当时，点在上，如图，此时． ，， ， ，即， ，， ， ．综上，能反映与之间函数关系的是B选项．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数在几何中的实际应用，相似三角形，勾股定理，解决本题的关键是解出函数表达式，并根据二次函数的图象分析选项．9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（    ）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．首先用t表示出点Q的坐标，发现点Q在直线y=2上运动，求出PB的值，再根据PQ+PD=PQ+QB≥PB，可得结论．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．∵四边形ABDC是矩形，∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm，∴C（-3，0），B（0，4），∵∠CDB=90°，∴BC==5（cm），∵EH∥CD，∴△BEH∽△BCD，∴，∴，∴EH=0.3t，BH=0.4t，∴E（-0.3t，4-0.4t），∵F（0，0.4t），∵QE=QF，∴Q（-t，2），∴点Q在直线y=2上运动，∵B，D关于直线y=2对称，∴QD=QB，∴QP+QD=QB+QP，∵QP+QB≥PB，PB==2(cm)，∴QP+QD≥2，∴QP+QD的最小值为2．故选：A．【点睛】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动．10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P从B点出发，沿B→C→D方向移动，连接DP，过P作PQ⊥DP交边AB于点Q，设点P走的路程为x，线段BQ的长度为y，则y与x之间函数图象大致为（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】分点P在BC和CD上运动两种情况讨论，求出函数解析式即可判断．【详解】解：①当P在BC上时，∵矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∴∠QPB+∠DPC＝90°，∵PQ⊥DP，∴∠QPD＝90°，∴∠PDC+∠DPC＝90°，∴∠PDC＝∠QPB，∴△DPC∽△PQB，∴，即，∴y（0≤x≤6），故第一段图象为二次函数，顶点坐标为（3，），故选项A、B、D不合题意；②当点P在CD上时，∵∠QPD＝∠C＝90°，∴QP∥BC，∴QB＝PC＝x﹣6，∴y＝x﹣6（6＜x≤10），故第二段为一次函数的图象，并经过（10，4），选项B符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．二、填空题11．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，点E在边上从点A出发，以1cm/秒的速度沿着A→B的方向运动，运动到点B后停止，联结，当与相似时，运动时间是______秒．【答案】或【分析】由勾股定理求出AB的长，分两种情况，由相似三角形的判定与性质可得出答案．【详解】解：∵，∴＝＝3（cm），∵，D是的中点，∴（cm），设运动时间是t秒时，与相似，若，∴，∴（cm），∴；若，∴，∴，∴（cm），∴t＝；故答案为：或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．（2022·山东·测试·编辑教研五九年级阶段练习）如图所示，在矩形中，，，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿、向终点B，C方向前进，小虫P每秒走，小虫Q每秒走，它们同时出发t秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则_____秒．【答案】2或5##5或2【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则要分两种情况进行分析．分别是或，从而解得所需的时间．【详解】解：①若，则，即，解得；②若，则，即，解得．故答案为：2或5．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．13．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）如图，三角形△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，点P从A出发沿AB运动到点B，作如图的Rt△PQC，且∠P＝30°，∠Q＝90°，点P运动过程中，BQ的最小值为 _____．【答案】【分析】过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，过点B作BH⊥QT于点H，利用∠CQP＝∠CTP＝90°，得出C，P，T，Q四点共圆，则点Q的运动轨迹是射线TQ，再利用垂线段最短和三角形相似，求出BH的长度即可．【详解】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，过点B作BH⊥QT于点H．∵∠CQP＝∠CTP＝90°，∴C，P，T，Q四点共圆．∴∠CTQ＝∠CPQ＝30°，∴点Q的运动轨迹是射线TQ，∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵∠CBT＝∠ABC，∠ACB＝∠CTB＝90°，∴△BTC∽△BCA，∴BC2＝BT•BA，∴BT，∵∠BTH＝60°，∴BH＝BT•sin60°，∴当点Q与点H重合时，CQ的值最小，最小值为．【点睛】本题考查了四点共圆，直角三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，垂线段最短，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，明确垂线段最短．14．（2022·广东·深圳实验学校（业务勿保）九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，DC＝12cm，点E、F分别为边AB、BC上的两个动点，点E从点A出发以每秒5cm的速度向点B运动，点F从点B出发以每秒3cm的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．若∠AFD＝∠AED，设运动时间为t秒，则t的值为 _____．【答案】【分析】根据题意知AE＝5t，BF＝3t，证出△ DAE∽△ ABF，得到∠DEA＝∠AFB，然后由，得到∠AFB＝∠DAF，再结合条件∠AFD＝∠AED得证AD＝FD，然后利用勾股定理求得t的值即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴ AB＝DC＝12，AD＝BC＝20，由题意得，AE＝5t，BF＝3t∴ CF＝20﹣3t，∵∠DAE＝∠ABF＝90°，∴ △ DAE∽△ ABF，∴∠DEA＝∠AFB，∵∠DFA＝∠DEA，∴∠AFB＝∠DFA，∴∠DAF＝∠AFB，∴∠DFA＝∠DAF，∴ AD＝FD＝20，在Rt△ DCF中，CF2+CD2＝DF2，∴（20﹣3t）2+122＝202，解得：t＝12或t＝∴ t＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边和矩形的性质等知识，根据对应边成比例且夹角相等得出两三角形相似，继而由等角对等边得出关于t的方程是解题的关键．15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，中，，，，动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，分别与交于点E，F，连接，设动点P与动直线同时出发，运动时间为t秒．当t为__________时，与相似．【答案】6或【分析】分别用t表示OP与OE的长度，根据与都是直角，当与相似时，O与O是对应点，因此分∽与∽两种情况讨论,根据相似列方程解之即可．【详解】解：∵动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，，∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，又∵动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，∴OE=tcm，根据与都是直角，O与O是对应点，因此分∽与∽两种情况讨论，当∽，即时，，解得：，当∽，即时，，解得：，综上所述：当t=6或时，与相似，故答案时：6或．【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据三角形相似进行讨论分析是解题的关键．16．（2022·山东潍坊·八年级期末）如图，在中，，，，，垂足为，线段上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，以线段为边向上作正方形，设点运动的时间为，当点落在的边上时，的值为________．【答案】或11【分析】需要分在的左边或右边两种情况分别求解即可．【详解】解：，，，垂足为，，当在的左边时，如图：在边上，由题意得：，， ， ， ，（秒，当在的右边时，如图：由题意得：，，，，，，，（秒．故答案为：或11．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线截线段成比例、勾股定理、三角形相似，解题的关键是充分利用正方形性质，讨论的位置．三、解答题17．（2022·山东省济南汇才学校九年级阶段练习）如图，在 中， ，，点 从点 开始沿 边向 点以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以的速度移动，如果 分别从 同时出发，问经过几秒钟， ．【答案】或【分析】根据两个三角形相似，则对应边的比等于相似比，由此即可求解．【详解】解：根据题意可知，设经过 秒，，∴ ， ， ，当，则 ， ，，∴，解方程得， （ ）；当，则，∴，解方程得， （ ），∴经过或时，，故答案是：或．【点睛】本题主要考查相似三角形性质的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．18．（2022·广东·南方科技大学附属光明凤凰学校九年级阶段练习）如图，在中，，点E是直角边上动点，点F是斜边上的动点（点F与两点均不重合）．且平分的周长，设长为．(1)试用含x的代数式表示　 　；(2)若的面积为，求x的值；(3)当是等腰三角形时，求出此时的长．【答案】(1)(2)2(3)或【分析】（1）勾股定理气得，进而求得三角形的周长，根据题意得出，即可求解；（2）过点作，证明，根据相似三角形的性质得出，根据的面积为即可求解；（3）根据题分类讨论，①，②，③，分别求解即可．【详解】（1）解：在中，由勾股定理得：∴的周长．∴．∴．故答案为：．（2）过点作．∵，∴．∴．∴，即，∴，∵的面积为，∴ ，解得：（舍去）．∴的值为．（3）若是等腰三角形，可分三种情况：①若，∴，∴；②如图，若，过点作于，则，∵，∴，∴，∴，∴；③若，过点作于，同理，∴，∴，∴，∵，∴不合题意，舍去；综上所述， 或．【点睛】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．19．（2022·江苏·江阴市长泾第二中学九年级阶段练习）如图，在中，，，，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点．设，的面积为．(1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)如果以、、为顶点的三角形与相似，求的面积．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）过点作于．通过相似三角形得出的成比例线段可求出的长，再根据三角形的面积公式得出的函数关系式，根据且交射线于点求得的取值范围；（2）若两三角形相似，则，分别过作于于，根据是和的余角，因此．因此可得出，可根据的不同的表示方法，来得出含的等式，从而求出的值．也就可以求出三角形的面积．根据为锐角和钝角的不同情况分类讨论即可求解．．【详解】（1）如图1，过点作于．∴在中，，，，∴,∵为上动点可与重合，当时，为的中点，，，此时，于无交点，设到的距离为，则当时，，此时，结合图形可知当，于无交点，∴或∵∴∴，∴或（2）由题意知，故可以分两种情况．①如图2，当为锐角时，由已知以为顶点的三角形与相似，又知，，所以．过点作于，过作．∴，∴．由又∵∴，解得∴②如图3，当∠BEF为钝角时，同理可求得∴．∴综上所述，的面积是或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，函数关系式．注意（2）中都要分情况进行讨论：要分时钝角还是锐角进行分类讨论，不要丢掉任何一种情况．20．（2022·吉林·长春市第八十七中学九年级期中）如图（1），在中，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，在线段的延长线上取一点，使得，连接，以为斜边向下作，其中，设点运动的时间为秒．(1)求线段的长．（用含的代数式表示）(2)当点落在上时，求的值．(3)当被的边分成的两部分面积比为时，求的值．(4)如图（2），作点关于的对称点，连接，当直线与的一边垂直时，直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)或(4)或或【分析】（1）直接分两种情况进行讨论：当点在上时，即时；当点在的延长线上时，即；分别表示即可；（2）根据平行线的性质以及所对的直角边等于斜边的一半，列方程求解即可；（3）分两种情况进行讨论：①设与交于点，当时；②当与交于点，当时；分别进行计算即可；（4）分三种情况进行讨论：①当时，延长交于点；②当在上，重合，此时；③当时；分别列方程求解即可．【详解】（1）解：当点在上时，即时，如图：根据题意得：，∵，∴，∴；当点在的延长线上时，即，如图：∵，∴，∴；（2）当点落在上时，如图：由（1）得，点在的延长线上，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，解得：，∴当点落在上时，；（3）①设与交于点，当时，如图：∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，解得：；②当与交于点，当时，如图：∴，∵，，∴，∴，即，∴，∵，，∴，解得：，综上所述：当被的边分成的两部分面积比为时，的值为或；（4）①当时，延长交于点，如图：在中，，∴，在中，，，∴，，∴，在中，，∴，∵，∴，∵关于对称，∴，∴，∴中，，∴，解得：；②当在上，重合，此时如图：由（2）知；③当时，如图：∴，∴共线，，∵，∴四边形是平行四边形，∴，而，，∴，∴；综上所述：当直线与的一边垂直时，的值为或或．【点睛】本题考查了几何变换综合应用，设计含角的直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是分类讨论思想的应用．21．（2022·浙江金华·九年级期中）如图，在矩形中，，分别是一元二次方程的两个根，连结，动点从出发，以1个单位每秒速度，沿方向运动，同时，动点从点出发，以同样的速度沿射线运动，当点到达点时，点即停止运动，设运动时间为秒.以为斜边作Rt，使点落在线段上.(1)求线段的长度；(2)求面积的最大值；(3)当与相似时，求的值.【答案】(1)(2)面积的最大值为7.5(3)或或或10【分析】（1）先解方程求出的长度，再由勾股定理即可求出的长度；（2）用时间分别表示，即可表示出的面积，最后求最大值即可；（3）用时间分别表示的长，再利用相似三角形列方程计算即可，需要注意分类讨论.【详解】（1）解方程得或∵，分别是一元二次方程的两个根，∴，，∵矩形∴∴（2）由题意得：，∴，∴∴∴，∴∴面积的最大值为；（3）当M在P右边时，如图所示此时即当时∴∴解得 当时∴∴解得 同理，当M在P左边时，，当时当时综上，当或或或10，与相似.【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，解题的关键是根据相似表示出各个边长，需要特别注意分类讨论.22．（2022·吉林·长春高新兴华学校九年级期中）如图，在中，，，．动点D从点C出发以每秒2个单位的速度沿向点A运动，同时点E从点A出发以每秒4个单位的速度沿向终点B运动，以为邻边作，当点E到达点B时，点D也随之停止运动．设点D的运动时间为t秒（）．与的重叠部分面积为S．(1)直接用含t的代数式表示的长．(2)当时，求t的值．(3)求S与t之间的函数关系式．(4)当点F落在一边的垂直平分线上时，直接写出t的值．【答案】(1)(2)(3)(4)或或【分析】（1）根据勾股定理可求出的长，根据题意得出，从而由求解即可；（2）根据平行线分线段成比例可得出，再根据题意可知，从而求出，代入，解出t的值即可；（3）分类讨论：①当点F位于上方（包括在上）时，过点E作于点G．此时与的重叠部分面积即为的面积．由题意易证，即得出，代入数据，解出，再根据平行四边形的面积公式求解即可；②当点F位于下方时，设与交于点M，过点E作于点N．此时与的重叠部分面积为梯形的面积．易证，即得出，代入数据，解出，再根据梯形的面积公式计算，最后写成分段函数即可；（4）分类讨论：①当点F落在边上的垂直平分线上时，设该垂直平分线与的交点为J，由线段垂直平分线的性质得出，再由平行线分线段成比例得出，代入数据，解出t即可； ②当点F落在边上的垂直平分线上时，设该垂直平分线与的交点为P，与的交点为Q．由线段垂直平分线的性质得出，．再由平行线分线段成比例得出，代入数据可求出．又易证，得出，结合平行四边形的性质代入数据，解出t即可；③当点F落在边上的垂直平分线上时，如图，设该垂直平分线与的交点为H．由线段垂直平分线的性质得出，．易证，即得出，结合平行四边形的性质代入数据，解出t即可；【详解】（1）∵，，，∴．由题意可知，∴；（2）当时，如图，∵，∴．由题意可知，∴，∴，解得：；（3）分类讨论：①当点F位于上方（包括在上）时，如图，过点E作于点G．∴由（2）可知此时，且与的重叠部分面积即为的面积．∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴；②当点F位于下方时，如图，设与交于点M，过点E作于点N．∴此时，且与的重叠部分面积为梯形的面积．由①同理可求．∵，∴，∴，即，∴，∴．综上可知；（4）分类讨论：①当点F落在边上的垂直平分线上时，如图，设该垂直平分线与的交点为J，∴，．∵，∴，∴，即，解得：；②当点F落在边上的垂直平分线上时，如图，设该垂直平分线与的交点为P，与的交点为Q．∴，．∴，∴，即，解得：．∵，∴，∴．∵四边形为平行四边形，∴，∴，即，解得：；③当点F落在边上的垂直平分线上时，如图，设该垂直平分线与的交点为H．∴，．∵，∴．∵，∴，∴．∵四边形为平行四边形，∴，∴，即，解得：．综上可知，t的值为或或．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．