数学浙教版5.2 菱形集体备课课件ppt

新知讲解

提炼概念

 菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上.

画出菱形的两条对角线，并通过折叠(上下对折、左右对折)手中的图形，得到菱形有哪些平行四边形不具有的性质？

从以下方面进行讨论：

1、对称性

2、是否有特殊的三角形

3、边

4、角

5、对角线

菱形的性质的研究

菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：

菱形的性质1：菱形的四条边都相等.

菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角.

已知:四边形ABCD是菱形.

求证: ∠DAC=∠BAC

      ∠DCA=∠BCA   

      AC⊥BD.

证明：∵四边形ABCD是菱形

∴AB=BC=CD=DA又∵ AC = AC

∴ △ADC ≌ △ABC

∴ ∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA

∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD,OD=OB

又∵ AO = AO

∴ △AOD ≌ △AOB

∴ ∠DOA=∠BOA

又∵ ∠DOA+∠BOA= 180°

∴ ∠DOA=∠BOA= 90°

∴ AC⊥BD.

菱形的性质:1.菱形是特殊的平行四边形,具有一般平行四边形的所有性质.

2.特殊的性质:

(1)  性质定理1      菱形的四条边都相等.

∵四边形ABCD是菱形 , ∴AB=BC=CD=DA.

(2)  性质定理2   菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.

∵四边形ABCD是菱形 ,        

  ∴AB⊥CD,AC平分∠DAB和∠DCB.

(3) 菱形是轴对称图形,它的对称轴是对角线所在的直线.

典例精讲 

例.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, ∠CAD=30o, BD=6,求菱形的边长和对角线AC的长.

解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD(菱形的定义)

AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角)∵∠BAC=30°∴∠BAD=60°

∴ABD是等边三角形.

AB=BD=6又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分)

AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)

由勾股定理,得AO=

AC=2AO=

推广：若菱形的两条对角线长分别为    ， ，求菱形的面积。

课堂练习

巩固训练

1.菱形具有而矩形不一定有的性质是 (       )

(A) 对角线互相平分     (B)   对角线是内角的平分线

(C) 对角线相等         (D)   邻角互补

1.B

2.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF ，

若 EF=    , OD=2,则菱形ABCD的面积为________.

3.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，求AE的长．

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=5，

∴AC⊥BD，AO=1/2AC，BD=2BO，

∴∠AOB=90°，

∵AC=6，∴AO=3，∴BO=4，∴DB=8，

∴菱形ABCD的面积是

    1/2×AC•DB=1/2×6×8=24，

∴BC•AE=24，

AE=   ．

4.在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF.

(1)试猜想△ECF的形状，并说明理由；

(2)若AB＝10，那么△ECF的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请说明理由．

解：(1)△ECF是等边三角形．

理由：连结AC.∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，

∴AC＝AB＝CD，∠CAE＝∠D＝60°，∠BCD＝120°.

又∵AE＝FD，∴△CEA≌△CFD(SAS)，

∴CE＝CF，∠ACE＝∠DCF.

又∵∠DCF＋∠FCA＝1/2∠BCD＝60°，

∴∠ACE＋∠FCA＝60°＝∠ECF，

∴△ECF是等边三角形.

(2)存在．∵△ECF是等边三角形，

∴当CE最小时，△ECF的周长最小，

∵当CE⊥AB时，CE的长度最小．

又∵AB＝BC＝10，∠B＝60°，∠CEB＝90°，

∴CE＝ ，∴△ECF的最小周长为  ． 

课堂小结

掌握菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：

菱形的性质1：菱形的四条边都相等.

菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角.

理解并掌握菱形的面积公式．