2024年八年级下学期第一次3月月考提升检测数学金卷（考试范围：第十六-十七章）【人教版】

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（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．考试范围：第十六~十七章。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）
1．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50B．7，12，13C．5，9，12D．3，4，6
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解析】解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选A．
2．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用最简二次根式的概念分析得出答案．
【解析】解：①，⑤，是最简二次根式；
②，③，④，不是最简二次根式，
最简二次根式有2个，
故选择：B
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
A.根据判断.
B.根据，再把结果化为最简二次根式.
C.先把二次根式化为最简二次根式，是同类二次根式才能加减.
D.先把有理化为，再与6相乘约分.
A. ，二次根式不能为负数，排除
B. ，排除
C. ，符合
D. ，排除
故答案为C
4．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据勾股定理和半圆的面积公式，知S3＝S1＋S2．
，，，
又，
．
故选：D．
5．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
【答案】C
【分析】二次根式的性质：被开方数大于等于0．
【解析】解：根据题意，得：2x-4≥0，
解得，x≥2．
故选：C．
6．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（ ）
A．5B．10C．D．
【答案】D
【分析】首先根据题意求出斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求出斜边上的高．
【解析】解：∵直角三角形的两直角边长为6和8，
斜边长为：＝10，
三角形的面积＝×6×8＝24，
设斜边上的高为x，则x•10＝24，
解得x＝4.8．
故选D．
7．如图，矩形中，，，点，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出AC的长，根据AC=AM，即可得出点M表示的数．
【解析】解：∵矩形中，，，
∴BC=AD=1, ∠ABC=90°
∴AC=
∴AM=AC=
即点M 表示的数为:-1
故选：A
8．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确D．只有乙正确
【答案】D
【分析】甲利用分母有理化的知识，可求得；乙先将分子因式分解，然后约分，即可求得．
【解析】解：甲：当时，
，
当a=b时，无意义，
乙：，
∴甲错误，乙正确，
选项说法错误，不符合题意；
选项说法错误，不符合题意；
选项说法错误，不符合题意；
选项说法正确，符合题意;
故选D．
9．已知实数a满足条件，那么的值为
A．2010B．2011C．2012D．2013
【答案】C
【分析】由题意可知a-2012≥0，可得，移项后平方得a-2012=20112，变形得a-20112=2012．
【解析】解：∵有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012．
故选C．
10．如图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC＝2，点E是AC边上的动点，则BE＋ED的和最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，再根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可．
【解析】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，
∵B、B′关于AC的对称，
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2，
作B′G⊥BC的延长线于G，
∴B′G＝AD＝，
在Rt△B′BG中，BG＝，
∴DG＝BG−BD＝3−1＝2，
在Rt△B′DG中，BD＝．
故BE＋ED的最小值为．
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．请用“，，”符号比较大小：__________．
【答案】＞
【分析】求出，再比较大小即可．
【解析】解：，
∵18＞12，
∴，
故答案为：＞．
12. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为____．
【答案】45°
【分析】利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°．
【详解】解：连接AC，
根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．
∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
13．如图，已知圆柱的底面直径,高,小虫在圆柱表面爬行，从点爬到点，然后在沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程为___________.
【答案】
【详解】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，
点A. C的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中,∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，
所以AC=3，
∴从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为2AC=6.
故答案为.
14．若实数x，y满足，则yx的值为____．
【答案】2
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x和y的值，再代入求值即可．
【解析】解：∵
∴．
解得：x=2，
所以y，
所以yx=（）2=2．
故答案为：2．
15．如图，有一连串直角三角形，已知第一个直角三角形是 等腰直角三角形，且，则__________．
【答案】3
【分析】在第一个直角三角形中利用勾股定理可求出的长，在第二个直角三角形中利用勾股定理可求出，同理即可求出答案．
【详解】解：∵在直角三角形中，，
∴，
∴，
同理，可得出：．
故答案为：3．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．计算：（1）． （2）．
【答案】（1）；（2）4
【分析】
（1）由题意先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．
【解析】解：（1）原式＝2+2﹣
＝；
（2）原式＝
＝2+4﹣2
＝4．
17．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
【答案】旗杆的高度为12米
【解析】
因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，
根据勾股定理可得：x2+52=（x+1）2，
解得，x=12．
答：旗杆的高度为12米．
18．如图，有一块菜地，已知AB＝4m，BC＝3m，AB⊥BC，AD＝m，CD＝10m，求这块地的面积．
【答案】（6+）m2．
【解析】
连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△CAD是直角三角形，分别求出△ABC和△CAD的面积，即可得出答案．
解：连结AC，
在△ABC中，
∵∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，
∴AC＝＝5（m），
S△ABC＝×3×4＝6（m2），
在△ACD中，
∵AD＝5m，AC＝5m，CD＝10m，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD＝×5×5＝（m2）．
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝（6+）（m2）．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（1）已知x =，y=，求代数式x2 + xy + y2的值
（2）已知，求的值
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先计算再把原式化为，再整体代入求值即可；
（2）根据非负数的含义可得，结合，再代入求值即可.
【解析】解：（1） x =，y=，

x2 + xy + y2

（2）

即
20．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
【答案】（1）着火点C受洒水影响，理由见解析；（2）能，理由见解析
【解析】
（1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案；
（2）以点为圆心，500m为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．
（1）着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点作，垂足为，
，
是直角三角形
着火点C受洒水影响
（2）如图，以点为圆心，500m为半径作圆，交于点
则
在中，
着火点C能被扑灭．
21．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
小亮：解：
小芳：解：
（1）______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；
（2）先化简，再求值：，其中；
（3）有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简．
【答案】（1）小亮，；（2），8；（3）a
【分析】
（1）根据二次根式的性质判断即可；
（2）根据二次根式的性质把原式化简，把a=-2代入计算即可．
（3）由数轴可得：c＜b＜0＜a，再根据二次根式的化简法则计算即可．
【解析】解：（1）小亮的解法是错误的，
错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；
（2）原式==，
∵a=-2＜3，
∴原式=a+2（3-a）=a+6-2a=6-a=8．
（3）由图可知：c＜b＜0＜a，
∴a-b＞0，a-c＞0，
∴
=
=a-b+c-（a-b）+a-c
=a-b+c-a+b+a-c
=a．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．阅读下列解题过程：
==
==
……
（1）化简：
（2）观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子=_________．
（3）利用这一规律计算：（+…+）（
【答案】(1) ； (2) ； (3)2019；
【解析】
(1)根据第一第二个式子化简，即可得到答案；
(2)观察上面的式子，对分母进行有理化，即可得到答案；
(3)利用(2)得到的规律化简，再用平方差公式展开，即可得到答案；
解：(1) ；
(2) ，
故答案是：；
(3)根据上述规律得到：
（+…+）（
=
=
=2020-1
=2019．
23．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．
（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BD、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，CD＝3，BD＝3，求△ACD的面积；
（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究AB、CD、CE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）2AB2＝CD2+CE2，证明见解析
【解析】
（1）先判断出∠BAE＝∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论；
（2）设CD与AE交于点N，由等边三角形的性质可得∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，EN＝AN＝AE，由全等三角形的性质可得BE＝CD＝3，∠BEA＝∠CDA＝30°，由勾股定理可求DE的长，即可求解；
（3）连接BE，由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，由勾股定理可得2AB2＝CD2+CE2．
证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD；
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE；
（2）如图②，设CD与AE交于点N，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵CD⊥AE，
∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，EN＝AN＝AE，
由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD＝3，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，
∴DE＝＝＝6，
∴AE＝AD＝6，
∴AN＝3，
∴△ACD的面积＝×CD×AN＝×3×3＝；
（3）2AB2＝CD2+CE2，
理由如下：连接BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴2AB2＝CD2+CE2．