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第一次月考押题卷（测试范围：第十六-十七章）-【满分计划】2021-2022学年八年级数学阶段性复习测试卷（人教版）
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第一次月考押题卷（测试范围：第十六-十七章）
一、单选题
1．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．＋＝ B．－＝－1 C．×＝ D．÷＝
【答案】C
【分析】根据合并同类二次根式法则，二次根式的乘除法法则，逐一判断选项，即可．
【详解】A. ，不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，
B. ，不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，C. ×＝，故该选项正确，
D. ÷=，故该选项错误， 故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握合并同类二次根式法则，二次根式的乘除法法则，是解题的关键．
2．（2021·安徽合肥八年级期中）已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】依据作图即可得到AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，进而得到AC2+BC2=AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
【详解】解：如图所示，
AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．（2021·重庆七年级期中）若x、y都是实数，且，则xy的值为（ ）
A． B．2 C．－ D．不能确定
【答案】B
【分析】由于2x-1与1-2x互为相反数，要使根式有意义，则被开方数为非负数，由此即可求出x、y的值，最后求xy的值．
【详解】解：要使根式有意义，则2x-1≥0，1-2x≥0，解得x=，∴y=4，∴xy=2．故选：B．
【点睛】本题主要考查算术平方根，利用了算术平方根的被开方数必须为非负数，比较简单．
4．（2021·山东八年级期末）我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于无理数的类型为（ ）．
A．型 B．型 C．型 D．型
【答案】B
【分析】将代数式化简即可判断．
【详解】故选：B
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练将代数式化简是解题的关键．
5．（2021·河北八年级期中）墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【答案】B
【分析】根据二次根式的基本性质化简，再根据二次根式的运算法则分别计算即可得答案．
【详解】解：，，，
，，故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
6．（2021·广东广州市第二中学八年级期中）已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（ ）cm．
A．5 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】设两直角边为x和y，则，，然后利用完全平方公式，得到，即可得到答案．
【详解】解： 设两直角边为x和y，则，．
∴xy=12，∴（x+y）2=49，∴x2+y2+2xy=49．∴x2+y2=49-2xy=25．∴斜边长=（cm）；故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式的知识，解题的关键是能够根据直角边表示出另一条直角边的长并熟悉直角三角形的面积计算方法．
7．（2020·河南南阳22中八年级月考）如图所示，有一根高为的木柱，它的底面周长为，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将圆柱沿母线剪开并展开，则这根彩带的长应为7个圆柱侧面展开图并排后的长方形的对角线，利用勾股定理求值即可．
【详解】解：将圆柱沿母线剪开并展开，则这根彩带的长最少应为7个圆柱侧面展开图并排后的长方形的对角线，如图所示，AC即为所求，其中AB=40×7=280cm，BC=2.1m=210cm
根据勾股定理可得AC==350cm故选B．
【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理和两点之间线段最短是解题关键．
8．（2021·山西八年级期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意∠ACB为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的长，进一步求得风车的外围周长．
【详解】解：依题意∠ACB为直角，AD=6，∴CD=6+6=12，
由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，∴BD2=122+52=169，所以BD=13，
所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D．
【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
9．（2021·上海初二期中）化简：的结果是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用完全平方公式化简即可.
【解析】
故选D
【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
10．（2021·全国初二课时练习）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB2．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．
【解析】过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，
如图，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．
又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．
由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．∵AE＝2+3+4＝9，AB2=120，∴BE2．
∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B8．所以AM+NB的最小值为8．故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．
二、解答题
11．（2021·湖北宜昌市·九年级期中）计算的结果为______．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除运算法则，求解即可．
【详解】解：故答案为
【点睛】此题考查了二次根式乘除运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键．
12．（2021·广东东莞·八年级期末）已知矩形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，若S＝，a＝，则b＝______．
【答案】2
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则结合矩形面积公式得出答案．
【详解】解：∵矩形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，S＝，a＝，
∴b＝S÷a＝÷＝2．故答案为：2．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知矩形的面积公式．
13．（2020·湖南省中考真题）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
2
1
6
3
【答案】
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．
【解析】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：，
设第二行中间数为x，则，解得，
设第三行第一个数为y，则，解得，
∴2个空格的实数之积为．故答案为：．
【点睛】本题考查二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
14．（2021·山东八年级期中）如图，在中，，，，则内部五个小直角三角形的周长的和为______．
【答案】30cm
【分析】由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．
【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB==13，
由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=30(cm)．故答案为：30cm．
【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．需要注意的是：平移前后图
形的大小、形状都不改变．
15．（2021·江苏泰州市·九年级期末）已知，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应y值的总和是__．
【答案】4054
【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】解：
当时，
当时，
则所求的总和为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
16．（2021·合肥市第四十五中学八年级期中）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．
【答案】3或2或．
【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】解：作BF⊥AD于F，则四边形DEBF为矩形， ∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3， 由勾股定理得，
当△ABC为直角三角形时， 即 解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，仿照上述作法，当∠ACB=90°时，由勾股定理得，
由得： 解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上：的长为：3或2或． 故答案为：3或2或．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
17．（2021·江苏南通田家炳中学九年级二模）如图，在中，，，，垂足为，点，分别是线段，上的动点，且，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】先证△AGF≌△CBE，得到GF＝BE，再证BE+CF的最小值就是线段BG的长，然后由勾股定理求得BG的长，即可解决问题．
【详解】解：过A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝6，连接CF、FG、BG，
∵AB＝AC，, ∴点D为BC的中点，∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵BA⊥AG，∴∠BAG＝90°，∴∠BAD+∠GAF＝90°，∴∠GAF＝∠ABD，
又∵AF＝BE，AG＝CB，∴△AGF≌△CBE（SAS），∴GF＝CE，
∵FB＝FC，∴BF+CE＝BF+GF，∵当点B、F、G三点共线时，GF+BF最小，
∴GF+BF的最小值时线段BG的长，∵∠BAG＝90°，AB＝5，AG＝BC=6，∴BG＝
即BF+CE的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是构造全等三角形将线段和转化为折线段长，利用数形结合的思想解答．
18．（2021·四川省内江市第六中学九年级）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
【答案】17或
【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．
【详解】解：在中，，
（1）当时，如图1，过点作，交的延长线于点，
由折叠得：，，设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：（舍去），，因此，．
（2）当时，如图2，此时点与点重合，
由折叠得：，则，设，则，，
在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：17或．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
三、解答题
19．（2021·东营市东营区实验中学八年级月考）计算：
（1）；（2）；（3）（2）2﹣（2+3）（2﹣3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后利用二次根式的加法计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式进行求解即可.
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）.
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20．（2021·成都市棕北中学八年级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽．
【答案】（1）2.5米；（2）2.7米
【分析】（1）先利用勾股定理求出梯子AB 的长度，
（2）由（1）知梯子AB 的长度，利用勾股定理求出BD的长，即可得到答案.
【详解】（1）在中，∵，米，米，
∴．∴（米）．答：梯子的长是2.5米
（2）在中，∵，米，，∴，∴．
∵，∴米．∴米．答：小巷的宽度为2.7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
21．（2021·湖北八年级期中）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．
（2）先由x与y的值计算出x﹣y和xy的值，再代入原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy计算可得．
【详解】解：（1）原式，当时，原式．
（2）∵，，∴，，
原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy＝（2）2﹣1＝12﹣1＝11．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．
22．（2021·安徽九年级）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N把线段分割成AM、MN、NB，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
（2）已知M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长.
【答案】（1）点M、N是线段AB的勾股分割点；（2）或．
【分析】（1）由已知可得，依据勾股定理逆定理即可得结论，
（2）设，则，分两种情形①当为斜边时，依题意，②当为最斜边时，依题意，分别列出方程即可解决问题．
【详解】解：（1）是．理由：，，，，，
，、、为边的三角形是一个直角三角形．
即：点M、N是线段AB的勾股分割点.
（2）设，则，
①当为最长线段时，依题意，即，解得，
②当为最长线段时，依题意．即，解得，
综上所述的长为或．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
23．（2021·洛阳市第五中学八年级期中）像（＋2）（﹣2）＝1、•＝a（a≥0）、（＋1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，＋1与﹣1，2＋3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简：；（2）计算： ；
（3）比较﹣与﹣的大小，并说明理由．
【答案】（1）（2）2＋2＋；（3）﹣＜﹣，理由见解析
【分析】（1）根据题意可知，题目中思想为利用平方差公式进行二次根式的化简，根据化简方法，进行化简即可；（2）将二次根式的分母进行有理数因式，去除分母中的根号进行计算即可；
（3）将代数式化为有理化因式的形式，进行大小的比较．
【详解】（1）＝；
（2）＝＋＝2＋＋＋＝2＋2＋；
（3）∵﹣＝，﹣＝，
又∵＋＞＋，
∴＜，即：﹣＜﹣．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，熟练利用有理化因式是解题关键．
24．（2021·行唐县实验中学八年级月考）勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦为边长所得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的，其中，．
（1）请利用面积相等证明勾股定理；（2）在图1中，若大正方形的面积是13，，求小正方形的面积；（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求边的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）4
【分析】（1）根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积证明可得结论；（2）由勾股定理可得AF的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形的面积；（3）分别求出正方形，正方形，正方形的边长，求出其面积，代入，进一步整理可得解．
【详解】解：（1）∵
∴，
∴小正方形的边长= 又大正方形的边长为
∴正方形的面积为，4个全等直角三角形的面积和为，正方形的面积为，由“大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得;
∴经过整理可得
（2）∵大正方形的面积是13，∴
∵，且 ∴
∴(负值舍去)∴ ∴小正方形的面积为1；
（3）∵正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，
∴，，∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为．而正方形的边长为，正方形的边长为，
∴正方形的面积为，正方形的面积为，
∴，整理得，，∴（负值舍去）
【点睛】此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键．
25．（2021·江西赣州·八年级期中）（阅读材料）如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：且仅当时取等号，我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
（实例剖析）已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
（学以致用）根据上面材料回答下列问题：（1）己知，则当______时，式于取到最小值，最小值为______；（2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）己知，则______时，分式取到最大值，最大值为_____．
【答案】（1）1，2；（2）这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；（3）3，
【分析】（1）令a=x，b=，根据即可得答案；（2）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解；（3）设，则，根据可求出的最小值，即可得的最大值，即可得答案．
【详解】（1）令a=x，b=，∵，∴=2，
∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为2．故答案为：1，2
（2）设这个矩形的长为米，所用的篱笆总长为米，
∵围一个面积为的长方形花园，∴宽为米，∴∵，∴，
当且仅当时，即时有最小值，最小值为40．时，=10，
∴当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米．
（3）设，则，
∵，∴≥=4，∴当且仅当时，即x=3时，有最小值4，
∴当x=3时，的最大值为，即取到最大值为．故答案为：3，
【点睛】本题主要考查阅读型问题，读懂题目中给出的已知信息，理解阅读材料介绍的知识是解题的关键．
26．（2021·四川八年级期中）在中，，，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，过作交于，连接．
（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析;（3）．
【分析】（1）根据等腰三形的腰相等、旋转前后线段相等、同角的余角相等，利用SAS即可证明全等；
（2）连接EF，通过已证的全等三角形对应边相等和垂直平分线的性质定理，可证AD＝BE和DF＝EF，把要证明的线段转化到中，利用勾股定理即可证明；
（3）利用勾股定理在中求得DE，根据三角形外角定理可证，在中根据直角三角形角所对边等于斜边一半和勾股定理，设分别用x表示BF、EF和DF，最后在利用勾股定理列式求解即可．
【详解】（1）将绕点逆时针旋转至，可得是等腰直角三角形，
，，，
在和中，，，．
（2）如图，连接，，是等腰直角三角形，是的垂直平分线，，
又，，，，
中，，．
（3），是等腰直角三角形，，
，，，，
设，则，，
在中，，解得，．
【点睛】本题主要考查全等三角形判断和性质、垂直平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识点。在证明题中，若出现和线段平方有关的等式问题，我们首选的方法就是把证明中出现的线段转移到一个三角形中，通过证明此三角形为直角三角形，进而利用证明最终的结果．注意：不要认为有一个角等于 ，那么它所对的边就一定等于另一条边的一半，前提是在直角三角形中．
第一次月考押题卷（测试范围：第十六-十七章）
一、单选题
1．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．＋＝ B．－＝－1 C．×＝ D．÷＝
【答案】C
【分析】根据合并同类二次根式法则，二次根式的乘除法法则，逐一判断选项，即可．
【详解】A. ，不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，
B. ，不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，C. ×＝，故该选项正确，
D. ÷=，故该选项错误， 故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握合并同类二次根式法则，二次根式的乘除法法则，是解题的关键．
2．（2021·安徽合肥八年级期中）已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】依据作图即可得到AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，进而得到AC2+BC2=AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
【详解】解：如图所示，
AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．（2021·重庆七年级期中）若x、y都是实数，且，则xy的值为（ ）
A． B．2 C．－ D．不能确定
【答案】B
【分析】由于2x-1与1-2x互为相反数，要使根式有意义，则被开方数为非负数，由此即可求出x、y的值，最后求xy的值．
【详解】解：要使根式有意义，则2x-1≥0，1-2x≥0，解得x=，∴y=4，∴xy=2．故选：B．
【点睛】本题主要考查算术平方根，利用了算术平方根的被开方数必须为非负数，比较简单．
4．（2021·山东八年级期末）我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于无理数的类型为（ ）．
A．型 B．型 C．型 D．型
【答案】B
【分析】将代数式化简即可判断．
【详解】故选：B
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练将代数式化简是解题的关键．
5．（2021·河北八年级期中）墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【答案】B
【分析】根据二次根式的基本性质化简，再根据二次根式的运算法则分别计算即可得答案．
【详解】解：，，，
，，故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
6．（2021·广东广州市第二中学八年级期中）已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（ ）cm．
A．5 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】设两直角边为x和y，则，，然后利用完全平方公式，得到，即可得到答案．
【详解】解： 设两直角边为x和y，则，．
∴xy=12，∴（x+y）2=49，∴x2+y2+2xy=49．∴x2+y2=49-2xy=25．∴斜边长=（cm）；故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式的知识，解题的关键是能够根据直角边表示出另一条直角边的长并熟悉直角三角形的面积计算方法．
7．（2020·河南南阳22中八年级月考）如图所示，有一根高为的木柱，它的底面周长为，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将圆柱沿母线剪开并展开，则这根彩带的长应为7个圆柱侧面展开图并排后的长方形的对角线，利用勾股定理求值即可．
【详解】解：将圆柱沿母线剪开并展开，则这根彩带的长最少应为7个圆柱侧面展开图并排后的长方形的对角线，如图所示，AC即为所求，其中AB=40×7=280cm，BC=2.1m=210cm
根据勾股定理可得AC==350cm故选B．
【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理和两点之间线段最短是解题关键．
8．（2021·山西八年级期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意∠ACB为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的长，进一步求得风车的外围周长．
【详解】解：依题意∠ACB为直角，AD=6，∴CD=6+6=12，
由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，∴BD2=122+52=169，所以BD=13，
所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D．
【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
9．（2021·上海初二期中）化简：的结果是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用完全平方公式化简即可.
【解析】
故选D
【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
10．（2021·全国初二课时练习）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB2．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．
【解析】过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，
如图，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．
又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．
由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．∵AE＝2+3+4＝9，AB2=120，∴BE2．
∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B8．所以AM+NB的最小值为8．故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．
二、解答题
11．（2021·湖北宜昌市·九年级期中）计算的结果为______．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除运算法则，求解即可．
【详解】解：故答案为
【点睛】此题考查了二次根式乘除运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键．
12．（2021·广东东莞·八年级期末）已知矩形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，若S＝，a＝，则b＝______．
【答案】2
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则结合矩形面积公式得出答案．
【详解】解：∵矩形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，S＝，a＝，
∴b＝S÷a＝÷＝2．故答案为：2．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知矩形的面积公式．
13．（2020·湖南省中考真题）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
2
1
6
3
【答案】
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．
【解析】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：，
设第二行中间数为x，则，解得，
设第三行第一个数为y，则，解得，
∴2个空格的实数之积为．故答案为：．
【点睛】本题考查二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
14．（2021·山东八年级期中）如图，在中，，，，则内部五个小直角三角形的周长的和为______．
【答案】30cm
【分析】由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．
【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB==13，
由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=30(cm)．故答案为：30cm．
【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．需要注意的是：平移前后图
形的大小、形状都不改变．
15．（2021·江苏泰州市·九年级期末）已知，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应y值的总和是__．
【答案】4054
【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】解：
当时，
当时，
则所求的总和为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
16．（2021·合肥市第四十五中学八年级期中）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．
【答案】3或2或．
【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】解：作BF⊥AD于F，则四边形DEBF为矩形， ∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3， 由勾股定理得，
当△ABC为直角三角形时， 即 解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，仿照上述作法，当∠ACB=90°时，由勾股定理得，
由得： 解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上：的长为：3或2或． 故答案为：3或2或．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
17．（2021·江苏南通田家炳中学九年级二模）如图，在中，，，，垂足为，点，分别是线段，上的动点，且，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】先证△AGF≌△CBE，得到GF＝BE，再证BE+CF的最小值就是线段BG的长，然后由勾股定理求得BG的长，即可解决问题．
【详解】解：过A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝6，连接CF、FG、BG，
∵AB＝AC，, ∴点D为BC的中点，∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵BA⊥AG，∴∠BAG＝90°，∴∠BAD+∠GAF＝90°，∴∠GAF＝∠ABD，
又∵AF＝BE，AG＝CB，∴△AGF≌△CBE（SAS），∴GF＝CE，
∵FB＝FC，∴BF+CE＝BF+GF，∵当点B、F、G三点共线时，GF+BF最小，
∴GF+BF的最小值时线段BG的长，∵∠BAG＝90°，AB＝5，AG＝BC=6，∴BG＝
即BF+CE的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是构造全等三角形将线段和转化为折线段长，利用数形结合的思想解答．
18．（2021·四川省内江市第六中学九年级）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
【答案】17或
【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．
【详解】解：在中，，
（1）当时，如图1，过点作，交的延长线于点，
由折叠得：，，设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：（舍去），，因此，．
（2）当时，如图2，此时点与点重合，
由折叠得：，则，设，则，，
在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：17或．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
三、解答题
19．（2021·东营市东营区实验中学八年级月考）计算：
（1）；（2）；（3）（2）2﹣（2+3）（2﹣3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后利用二次根式的加法计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式进行求解即可.
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）.
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20．（2021·成都市棕北中学八年级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽．
【答案】（1）2.5米；（2）2.7米
【分析】（1）先利用勾股定理求出梯子AB 的长度，
（2）由（1）知梯子AB 的长度，利用勾股定理求出BD的长，即可得到答案.
【详解】（1）在中，∵，米，米，
∴．∴（米）．答：梯子的长是2.5米
（2）在中，∵，米，，∴，∴．
∵，∴米．∴米．答：小巷的宽度为2.7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
21．（2021·湖北八年级期中）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．
（2）先由x与y的值计算出x﹣y和xy的值，再代入原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy计算可得．
【详解】解：（1）原式，当时，原式．
（2）∵，，∴，，
原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy＝（2）2﹣1＝12﹣1＝11．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．
22．（2021·安徽九年级）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N把线段分割成AM、MN、NB，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
（2）已知M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长.
【答案】（1）点M、N是线段AB的勾股分割点；（2）或．
【分析】（1）由已知可得，依据勾股定理逆定理即可得结论，
（2）设，则，分两种情形①当为斜边时，依题意，②当为最斜边时，依题意，分别列出方程即可解决问题．
【详解】解：（1）是．理由：，，，，，
，、、为边的三角形是一个直角三角形．
即：点M、N是线段AB的勾股分割点.
（2）设，则，
①当为最长线段时，依题意，即，解得，
②当为最长线段时，依题意．即，解得，
综上所述的长为或．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
23．（2021·洛阳市第五中学八年级期中）像（＋2）（﹣2）＝1、•＝a（a≥0）、（＋1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，＋1与﹣1，2＋3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简：；（2）计算： ；
（3）比较﹣与﹣的大小，并说明理由．
【答案】（1）（2）2＋2＋；（3）﹣＜﹣，理由见解析
【分析】（1）根据题意可知，题目中思想为利用平方差公式进行二次根式的化简，根据化简方法，进行化简即可；（2）将二次根式的分母进行有理数因式，去除分母中的根号进行计算即可；
（3）将代数式化为有理化因式的形式，进行大小的比较．
【详解】（1）＝；
（2）＝＋＝2＋＋＋＝2＋2＋；
（3）∵﹣＝，﹣＝，
又∵＋＞＋，
∴＜，即：﹣＜﹣．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，熟练利用有理化因式是解题关键．
24．（2021·行唐县实验中学八年级月考）勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦为边长所得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的，其中，．
（1）请利用面积相等证明勾股定理；（2）在图1中，若大正方形的面积是13，，求小正方形的面积；（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求边的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）4
【分析】（1）根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积证明可得结论；（2）由勾股定理可得AF的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形的面积；（3）分别求出正方形，正方形，正方形的边长，求出其面积，代入，进一步整理可得解．
【详解】解：（1）∵
∴，
∴小正方形的边长= 又大正方形的边长为
∴正方形的面积为，4个全等直角三角形的面积和为，正方形的面积为，由“大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得;
∴经过整理可得
（2）∵大正方形的面积是13，∴
∵，且 ∴
∴(负值舍去)∴ ∴小正方形的面积为1；
（3）∵正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，
∴，，∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为．而正方形的边长为，正方形的边长为，
∴正方形的面积为，正方形的面积为，
∴，整理得，，∴（负值舍去）
【点睛】此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键．
25．（2021·江西赣州·八年级期中）（阅读材料）如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：且仅当时取等号，我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
（实例剖析）已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
（学以致用）根据上面材料回答下列问题：（1）己知，则当______时，式于取到最小值，最小值为______；（2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）己知，则______时，分式取到最大值，最大值为_____．
【答案】（1）1，2；（2）这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；（3）3，
【分析】（1）令a=x，b=，根据即可得答案；（2）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解；（3）设，则，根据可求出的最小值，即可得的最大值，即可得答案．
【详解】（1）令a=x，b=，∵，∴=2，
∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为2．故答案为：1，2
（2）设这个矩形的长为米，所用的篱笆总长为米，
∵围一个面积为的长方形花园，∴宽为米，∴∵，∴，
当且仅当时，即时有最小值，最小值为40．时，=10，
∴当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米．
（3）设，则，
∵，∴≥=4，∴当且仅当时，即x=3时，有最小值4，
∴当x=3时，的最大值为，即取到最大值为．故答案为：3，
【点睛】本题主要考查阅读型问题，读懂题目中给出的已知信息，理解阅读材料介绍的知识是解题的关键．
26．（2021·四川八年级期中）在中，，，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，过作交于，连接．
（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析;（3）．
【分析】（1）根据等腰三形的腰相等、旋转前后线段相等、同角的余角相等，利用SAS即可证明全等；
（2）连接EF，通过已证的全等三角形对应边相等和垂直平分线的性质定理，可证AD＝BE和DF＝EF，把要证明的线段转化到中，利用勾股定理即可证明；
（3）利用勾股定理在中求得DE，根据三角形外角定理可证，在中根据直角三角形角所对边等于斜边一半和勾股定理，设分别用x表示BF、EF和DF，最后在利用勾股定理列式求解即可．
【详解】（1）将绕点逆时针旋转至，可得是等腰直角三角形，
，，，
在和中，，，．
（2）如图，连接，，是等腰直角三角形，是的垂直平分线，，
又，，，，
中，，．
（3），是等腰直角三角形，，
，，，，
设，则，，
在中，，解得，．
【点睛】本题主要考查全等三角形判断和性质、垂直平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识点。在证明题中，若出现和线段平方有关的等式问题，我们首选的方法就是把证明中出现的线段转移到一个三角形中，通过证明此三角形为直角三角形，进而利用证明最终的结果．注意：不要认为有一个角等于 ，那么它所对的边就一定等于另一条边的一半，前提是在直角三角形中．
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