北师大版（2024）九年级上册3 用公式法求解一元二次方程一课一练

这是一份北师大版（2024）九年级上册3 用公式法求解一元二次方程一课一练，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．关于的方程有两个不相等的实数根，则满足（ ）
A．B．
C．D．
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根
4．方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
5．已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
6．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
8．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．设a、b、c是一个三角形三边的长，如果关于x的方程有两个相等的实数根，则该三角形的形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．不确定
10．方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
11．一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
12．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
二、填空题
13．实数范围内因式分解： ．
14．有下列命题：①若，则；②若，则；③一元二次方程，若，则方程必定有实数解；④若，则，其中是假命题的是 ．
15．方程的解是 ．
16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
17．如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ．
三、解答题
18．（1）计算：．
（2）解方程：
19．（1）解方程：x（x﹣2）＝2x﹣2．
（2）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点均在格点上，将ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到A1B1C1．请作出A1B1C1，写出各顶点的坐标，并计算线段B1B的长．
20．某商店如果将进价为20元的商品按每件32元售出，每天可销售100件，现在采取降低售价，增加销售量的方法增加利润，已知这种商品每降价1元，其销量增加10件．
(1)要使每天获得720元的利润，请你帮忙确定售价：
(2)该商店能否通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润？并说明理由．
21．如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的途度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离．，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．

(1)如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
(3)假设轮船航行速度和航向不变，轮船受到台风影响一共经历了多少小时？
22．求证：对于任意实数，关于的方程总有两个不相等的实数根．
23．已知关于x的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为2，试求的值．
24．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）若方程有一个根是2，求m的值；
（2）求证：不论m为何值，方程总有实数根．
参考答案：
1．D
【分析】由方程两个不同的实数根可以得出△＞0，列出不等式，求出其解集即可．
【详解】∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：.
故选D.
【点睛】考查了根的判别式的运用，一元一次不等式的运用，一元二次方程的定义．在解答中正确理解一元二次方程得意义是关键．
2．B
【详解】解：△=1﹣4×1×（﹣4）=17＞0，
所以方程有两个不相等的两个实数根．
故选：B．
考点：根的判别式．
3．A
【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解．
【详解】解：
一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
4．D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，可以判断该方程根的情况，从而可以解答本题．
【详解】解：∵
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．
5．A
【分析】由数轴可知：，，然后计算根的判别式的值即可得出答案．
【详解】由数轴可知：，；
∴；
∴有两个不相等的实数根
故选：A
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题．
6．A
【分析】分别计算出四个选项中一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号即可作出判断．
【详解】A．∵△=4﹣4=0，∴方程有两个相等实数根；
B．∵△=1﹣4×2＜0，∴方程无实数根；
C．∵△=4+4×4×3=52＞0，∴方程有两个不相等实数根；
D．∵△=36＞0，∴方程有两个不相等实数根；
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
7．D
【分析】题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得：且．
故选：D．
8．D
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
【详解】根据题意可知，即
解得：．
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的意义是解题关键．
9．C
【分析】由一元二次方程根的判别式，求出，即可进行判断．
【详解】解：∵有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴该三角形的形状为直角三角形；
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式进行计算．
10．D
【分析】利用判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，能够熟练运用判别式的值求根的个数是解题关键．
11．C
【分析】直接利用根的判别式进而判断，即可得出答案.
【详解】∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，
∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴此方程没有实数根.
故选C.
【点睛】此题主要考查了根的判别式，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.
12．A
【分析】由方程有实数根，得到判别式，即可求解．
【详解】解：①当时，方程为，是一元一次方程，
解得，符合题意；
②当时，方程是一元二次方程，
∵于x的方程有实数根，
∴，
∴，
即，
∴，
∴方程为一元二次方程时，m的取值范围是且，
综上所述：m的取值范围是．
故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式及一元二次方程的定义，根据方程有实数根进行分类讨论是解题的关键．
13．
【分析】令，求出两根，然后分解因式即可．
【详解】令，
解得，
∴=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握求根公式是解题的关键．
14．①②④
【详解】试题分析：仔细分析各小题的对错即可作出判断.
①若，则，②若，则或，④若，则，，均错误，是假命题；
③若，则△，此方程必定有实数解，是真命题，
则其中是假命题的是①②④.
考点：真加命题
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
15．，
【分析】根据一元二次方程的解法，解该方程即可．
【详解】解：在方程中，
，，，
，
，
，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
16．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，列式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围．熟练掌握方程有两个不相等的实数根，，是解题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可得出关于和的不等式，再对所得不等式进行分析即可解决问题，熟知一次二次方程根的判别式及对所得不等式进行正确的讨论是解题的关键．
【详解】∵方程和方程都有实数解，
∴，，
∴，，
∵，是正实数，
∴，
∴，即，
∴，
故的最小值为，
又∵，
则当时，，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
18．（1）；（2），
【分析】（1）先化简和绝对值，同时计算零指数幂和乘法，最后合并同类项和同类二次根式即可；
（2）利用求根公式法解方程即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
，，，
，
，
，．
【点睛】本题考查是的实数的混合运算以及解一元二次方程，解题关键是熟悉掌握各个知识点的运算法则及求根公式．
19．（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）见解析，A1(﹣1，1)，B1(﹣3，1)，C1(﹣3，3)，2
【分析】(1)整理为一般式，再利用公式法求解即可；
(2)将三个顶点分别绕点O逆时针旋转90°得到其对应点，再首尾顺次连接，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）整理，得：x2﹣4x+2＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝2，
∴△＝(-4)2﹣4×1×2＝8＞0，
∴x＝，
即x1＝，x2＝；
(2)如图所示，即为所求，
由图知各顶点坐标如下：A1(﹣1，1)、B1(﹣3，1)、C1(﹣3，3)，
线段．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、绕远点旋转90°图形的画法、勾股定理求线段长等知识点，本题属于基础题，计算过程中细心即可．
20．(1)要使每天获得720元的利润，售价应定为24元/件
(2)该商店不能通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润
【分析】（1）设每件降价x元，则每件的销售利润为元，每天的销量为件，利用每天销售该商品获得的利润每件的销售利润每天的销量，可得出关于x的一元二次方程，解之可得出x值，取符合题意的值即可；
（2）该商店不能通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润，设每件降价m元，则每件的销售利润为元，每天的销量为件，利用每天销售该商品获得的利润每件的销售利润每天的销量，可得出关于m的一元二次方程，由根的判别式判断通过降价销售的方式每天获得1500元时的方程有没有实数根即可．
【详解】（1）解：每件降价x元，则每件的销售利润为元，每天的销量为件，根据题意得：
，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴．
答：要使每天获得720元的利润，售价应定为24元/件；
（2）解：该商店不能通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润，理由如下：
设每件降价m元，则每件的销售利润为元，每天的销量为件，根据题意得：，
整理得：，
，
∴所列一元二次方程没有实数根，
答：该商店不能通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据各数量之间的关系正确列出一元二次方程；牢记方程判别式判断方程实数根的情况．
21．(1)会进入台风影响区
(2)8.3小时
(3)轮船受到台风影响一共经历了11小时
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识；根据题意得出关于的方程是解决问题的关键．
（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区；
（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可；
（3）根据（2）中的值即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：
∵，
∴
当台风到A点时，时间为
则船行驶的路程为
∵
∴轮船不改变航向，轮船会进入台风影响区；

（2）解：如图所示：
设小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
千米，千米，
，，
，
，，
，
即，
解得：，，
轮船经8.3小时就进入台风影响区；
（3）解：由（2）知，从8.3小时到19.3小时轮船受到台风影响，
轮船受台风影响的时间（小时），
答：轮船受到台风影响一共经历了11小时．

22．见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根情况，判断其根的情况，完全取决于的符号，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【详解】解：
．
，
．
对于任意实数，关于的方程总有两个不相等的实数根．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据方程的根的判别式，证明即可．
（2）根据方程根的定义，代入解答即可．
本题考查了根的判别式应用，根的定义，熟练掌握判别式是解题的关键．
【详解】（1）∵方程即且，
∴，
，
，
故此方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵把代入，
得，
解得，
∴．
24．（1）1；（2）证明见解析．
【分析】（1）将x=2代入方程计算即可得出答案；
（2）当m＝0时，原方程为一次方程，有实数根；当m≠0时，判断≥0即可．
【详解】解：（1）将x＝2代入原方程，得：4m﹣2（m+2）+2＝0，
解得：m＝1．
故m的值为1；
（2）当m＝0时，原方程为一次方程，此时x＝1；
当m≠0时，＝（m+2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴当m≠0时，方程有实数根．
综上所述：不论m为何值，方程总有实数根．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程根的判别式，当时，有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
D
A
A
D
D
C
D
题号
11
12








答案
C
A