初中数学5.1 方程教案设计

这是一份初中数学5.1 方程教案设计，共12页。教案主要包含了教学目标，教学设计等内容，欢迎下载使用。
（一）学习目标
1.通过列方程解决实际问题的过程，初步感知方程解决实际问题的作用.
2.理解并掌握方程、一元一次方程、一元一次方程的解等的概念，能够利用解的定义找出方程的解，求出字母的值.
3.能准确判断一元一次方程，能够根据简单的实际问题列方程，建立方程解决问题的能力．
（二）学习重点
一元一次方程的概念、一元一次方程的解的概念.
（三）学习难点
从实际问题抽象到数学问题，建立方程解决问题.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
（1）方程的的概念：含有 未知数 的 等式 叫方程．
（2）一元一次方程： 只含有 一 个未知数，未知数的次数都是 1 ，等号两边都是 整式 的方程叫做一元一次方程．
（3）方程的解：使方程中等号左右两边都相等的 未知数的值 叫做方程的解．
预习自测
（1）下列式子中①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，其中是方程的有 ；是一元一次方程的有 .(填序号)
【知识点】方程以及一元一次方程的概念.
【解题过程】解：含有未知数的等式叫做方程，所以方程有：①②④⑤⑥⑧．
①满足一元一次方程的定义，所以成立.②含有两个未知数，所以不是一元一次方程.③等式中不含未知数，所以不是一元一次方程.④满足一元一次方程的定义，所以成立.⑤含有两个未知数，所以不是一元一次方程.⑥未知数的最高次数是2次，所以不是一元一次方程.⑦是代数式，不是含有未知数的等式，所以不是一元一次方程.⑧满足一元一次方程的定义，所以成立.从上面可得一元一次方程有：①④⑧．
【思路点拨】含有未知数的等式叫做方程；
在一个方程中只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程．由此判断各选项.
【答案】①②④⑤⑥⑧；①④⑧.
（2）下列方程中，解为的方程 ( )
A. B. C. D.
【知识点】一元一次方程解的概念．
【解题过程】解： A.当时，方程左边=6×3=18，方程右边=2．所以不是方程的解.
B.当时，方程左边=3×3+9=18，方程右边=0．所以不是方程的解.
C.当时，方程左边=，方程右边=0．所以不是方程的解.
D.当时，方程左边=5×3-15=0，方程右边=0．所以是方程的解.
故选D.
【思路点拨】使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，是一元一次方程的解．
【答案】D.
（3）一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为，可得到方程_____________.
【知识点】在实际问题中找等量关系列方程．
【思路点拨】明确题目中的数量关系与等量关系，利用等量关系列出方程．
【解题过程】解：这个问题中的等量关系是：“比…多10”，根据等量关系有“多—少=10或多=少+10”即或．故答案为：（或）.
【答案】（或）
（4）环形跑道一周长400 ，沿跑道跑多少周，可以跑3 000 ？
【知识点】在实际问题中找等量关系列方程．
【解题过程】解：设沿跑道跑周，则有.
【思路点拨】设沿跑道跑周，则根据路程＝速度×时间，有.
【答案】.
(二)课堂设计
1.知识回顾
（1）含有未知数的等式叫做方程.
（2）你能举出一些方程的例子吗？
（3）下列式子：①1+2=3； ②； ③ ； ④； ⑤ .
是方程的有： ②④⑤ .
2.问题探究
探究一 复习旧知、探究新知.
●活动① 实际问题，引入新知
游戏：把你的年龄乘以2减5的得数告诉我，我就知道你今年几岁.
师生互动，引发质疑.
师问1：你能说出其中的奥秘吗？说说你们的想法？
生答：由“你的年龄乘以2减5的得数”建立方程，然后解之就可知年龄,还可以用我的年龄加上5的和除以2的算术解法也可以.
师问2：你感觉哪个方法好理解呢？
生答：方程更好理解和找到等量关系
师问3：通过上面的问题，我们发现通过列方程解决实际问题时，要注意什么？
生答：理清实际问题中的语句顺序和各量之间的数量关系，找到等量关系.
总结：找等量关系是建立方程的关键
【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.并且通过学生展示不同解法，对比和点评，并交流，总结，形成共识体会用方程解决问题的便利.
●活动② 整合旧知，回顾找等量关系列方程的方法.
师问1：请同学们根据下列问题，设未知数并列出方程.
（1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
（2）一台计算机已使用1700h,预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h？
（3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
（4）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地.A，B两地间的路程是多少？
生答：（1）设正方形边长为，则；（2）设经过月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h，则；（3）设这个学校有名学生，则；（4）设A，B两地间的路程是 ，则.
师问1：你能解释这些方程中等号两边各表示什么意思吗？
学生举手抢答.
师问2：这些等式与其他的等式有何不同？
生答：含有未知数.
总结：这样含有未知数的等式叫做方程.
师问3：方程与等式的关系是什么？
生答：方程是一种特殊的等式，方程是等式，但等式不一定是方程.
总结：方程的特征首先是等式，其次是含有未知数.
【设计意图】通过用找数量间的相等关系，体会列方程所依据的相等关系，引导学生用等量关系列方程的基本方法，进一步体会方程的意义.
探究二 归纳理解一元一次方程的概念. ▲
●活动① 大胆猜想，探究新知识
师问1：方程、、 、有什么共同点？
生答：如上面的方程只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式.
师问2：这样的方程叫什么方程？
生答：一元一次方程.
师问3：我们应抓住概念中的哪几个关键词理解？
生答：等号两边都是整式，只含有一个未知数，未知数的次数都是1.这三个特征缺一不可.
师问：方程与一元一次方程的区别是什么？
生答：一元一次方程一定是方程，但方程不一定是一元一次方程.
总结：判定一元一次方程，首先看它是否为方程，再根据三个特征判定即可.
【设计意图】通过分类比较、归纳总结，让学生发现方程的本质特征，进而提高学生比较、分析、判断、归纳的学习能力
●活动② 进步提升，理解方程的解
师问：观察一元一次方程：，当时，方程等号左右两边相等吗？
学生举手抢答.
总结：像这样能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
师问：是不是方程的解？
学生举手抢答.
【设计意图】通过老师的引导，让学生理解方程的解就是使方程两边都相等的未知数的值.利用它能够进行方程的解的检验
探究三 一元一次方程概念的应用★▲
●活动①
例1.在下列方程中：①；②；③；④；⑤；属于一元一次方程有 ；
【知识点】 一元一次方程的概念.
【解题过程】①满足一元一次方程的定义，所以成立.②未知数的最高次数是2次，所以不是一元一次方程.③含有两个未知数，所以不是一元一次方程.④满足一元一次方程的定义，所以成立.⑤未知数的最高次数是2次，所以不是一元一次方程.从上面可得一元一次方程有：①④.
【思路点拨】利用一元一次方程的三个判断标准：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式.
【答案】 ①、④.
练习：（1）方程是一元一次方程，则代数式 ．
（2）已知是关于的一元一次方程，则的值是 ．
【知识点】 一元一次方程的概念.
【解题过程】解：（1）方程是一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得即；（2）是关于的一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得可得，又因为所以，综上可知.
【思路点拨】（1）抓住未知数的次数都是1；（2）抓住未知数的次数都是1且系数不能为0即可.
【答案】3；-3.
【设计意图】通过联系进一步巩固一元一次方程的概念，并且深化对一元一次方程概念的认识，通过学生的比较、分析、判断提升学生解决问题的能力.
●活动②
例2、根据题意列出方程：
（1）一个正方形的边长增加后，所得新正方形的周长是，求原正方形的边长；
（2）甲队有54人，乙队有66人，问从甲队调给乙队多少人能使甲队人数是乙队人数的.
【知识点】根据题意，利用等量关系建立方程解决问题.
【解题过程】解：(1)设正方形的边长为cm，列出方程：；
（2）设甲队调给乙队人能使甲队人数是乙队人数的，根据题意，列出方程：
【思路点拨】（1）正方形周长等于长方形边长乘以4是一个常见的等量关系；（2）甲队人数是乙队人数的是关键的等量关系.
【答案】（1）；（2）
练习：根据下列问题，设未知数，列出方程：
（1）某商场今年五月份的销售额是200万元，比去年五月份销售额的2倍少40万元，那么去年五月份的销售额是多少万元？
（2）某次知识竞赛共20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．小明考了68分，那么小明答对了多少道题？
【知识点】 根据题意，利用等量关系建立方程解决问题.
【解题过程】（1）解：设去年五月份的销售额是万元 .由题意可列方程：.
解：设小明答对了道题,由题意可列方程：.
【思路点拨】（1）今年五月份销售额比去年五月份销售额的2倍少40万元是该题的等量关系，利用含有未知数的式子表示今年与去年五月份的销售额即可；（2）正确分数与错误分数之和为68分为该题的等量关系.
【答案】（1）；（2）.
【设计意图】通过练习，进一步的练习用等量关系列方程的能力，进一步提升学生分析问题、解决问题的能力.
●活动③
例3. 方程的解（ ）
A. B. C. D. .
【知识点】一元一次方程的解的概念.
【解题过程】解： A.当时，方程左边=6×2=12，方程右边=3+5×2=13．所以不是方程的解.
B.当时，方程左边=6×3=18，方程右边=3+5×3=18．所以是方程的解.
C.当时，方程左边=6×(-2)=-12，方程右边=3+5×(-2)=-7．所以不是方程的解.
D.当时，方程左边=6×(-3)=-18，方程右边=3+5×(-3)=-12．所以不是方程的解.
故选B.
【思路点拨】利用方程的解的定义判断即可．
【答案】选B.
练习：写出一个解为的一元一次方程：
【知识点】一元一次方程的解.
【解题过程】或，不唯一.
【思路点拨】使方程两边相等的未知数的值，为了保证方程仍成立，直接在方程两边加、减、乘、除进行运算即可.
【答案】或等．
【设计意图】通过练习进一步体会一元一次方程的解的概念.
3.课堂总结
知识梳理
（1）只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
（2）根据题意列出方程的关键是找出题目中的等量关系.根据题意列出方程的一般步骤是： = 1 \* GB3 ①找等量关系； = 2 \* GB3 ②设未知数； = 3 \* GB3 ③列出方程．
（3）使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解.
重难点归纳
（1）只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
（2）根据题意列出方程的关键是找出题目中的等量关系.根据题意列出方程的一般步骤是： = 1 \* GB3 ①找等量关系； = 2 \* GB3 ②设未知数； = 3 \* GB3 ③列出方程．
（三）课后作业
基础型 自主突破
1.下列方程为一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【知识点】一元一次方程的定义.
【解题过程】解：A.正确；B、含有2个未知数，不是一元一次方程，选项错误；C.最高次数是2次，不是一元一次方程，选项错误；D、不是整式方程，不是一元一次方程，选项错误．
故选A．
【思路点拨】根据一元一次方程的定义判断即可．
【答案】A.
2.①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【知识点】一元一次方程的定义.
【解题过程】解：一元一次方程有②、④、⑤共有3个，故选：B．
【思路点拨】根据一元一次方程概念的三个特征：只含有一个未知数，且未知数的指数为1，方程两边均为整式的方程去判定即可．
【答案】B．
3.下列叙述中，正确的是（ ）
A.含有一个未知数的等式叫一元一次方程；
B.未知数的次数是1的方程是一元一次方程；
C.含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程叫一元一次方程；
D.含有一个未知数，次数是1的代数式叫一元一次方程.
【知识点】一元一次方程的定义.
【解题过程】解：A.错误，例如；B.错误，例如；C.符合一元一次方程的定义；D.错误，忽略了一元一次方程是方程而不是代数式这一特点．故选C．
【思路点拨】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，对定义的理解是：一元一次方程首先是整式方程，即等号左右两边的式子都是整式，另外把整式方程化简后，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）．注意运用举例法解决本题．
【答案】C．
4.下列方程的解是的方程是（ ）
A. B. C. D.
【知识点】一元一次方程的解.
【解题过程】解：A.把带入方程，左边=16，右边=0，故错；B.把带入方程，左边=0，右边=0，故对；C.把带入方程，左边= ，右边=0，故错；D.把带入方程，左边= -5，右边=0．故错.故选B．
【思路点拨】根据方程解的定义把逐项代入检验，看左边是否等于右边即可判定.
【答案】B．
5.七年级一班有学生53人，二班有学生45人，从一班调x人到二班，这时两班的人数相等，应列方程是（ ）
A. B. C. D．以上都不对
【知识点】列方程解决实际问题.
【解题过程】解：设从一班调人到二班，则一班现有人数为人，二班现有人数为人；根据“这时两班的人数相等”，可得出方程为：,故选C．
【思路点拨】要列方程，首先要理解题意找出存在的等量关系：一班原来的人数﹣调走的人数=二班原来的人数+调入的人数，此时再列方程就容易多了．
【答案】C．
6.“一个数比它的相反数大﹣4”，若设这数是，则可列出关于x的方程为（ ）
A. B. C. D．.
【知识点】列方程解决实际问题.
【解题过程】解：这数是，∴这个数的相反数是，∴列出的方程为．故选B．
【思路点拨】关系式为：这个数=这个数的相反数+（﹣4），把相关数值代入即可．
【答案】B．
能力型 师生共研
1.如果方程是关于x的一元一次方程，那么k的值是 ．
【知识点】一元一次方程的概念和解法.
【解题过程】解：∵方程是关于x的一元一次方程，∴，且，
解得，；故答案是：﹣1．
【思路点拨】根据一元一次方程的定义知且未知数是系数，据此可以求得k的值．
【答案】.
2.对，下列说法正确的是（ ）
A.不是方程； B.是方程，其解为1； C.是方程，其解为3； D.是方程，其解为1，3.
【知识点】方程的定义及方程解的定义.
【解题过程】解：符合方程的定义，是方程，（1）当时，，解得；（2）当时，解得．故选D．
【思路点拨】根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．判断一个数是否是方程的解，可以把它代入方程左右两边，看是否相等．
【答案】D
探究型 多维突破
1.关于的方程的解是（ ）
A.有一个解； B.有无数个解； C.没有解； D.当时，.
【知识点】方程的解.
【解题过程】解：根据方程的定义可得：时， 解方程得：.故选D．
【思路点拨】根据方程的定义确定a的取值范围，然后进行解方程的运算可得出答案．
【答案】D．
2.若是关于的一元一次方程，则的值是（ ）
A．1 B．任何数 C．2 D．1或2
【知识点】一元一次方程的定义.
【解题过程】解：由一元一次方程的特点得，解得：=1．故选A．
【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可列出式子求出的值．
【答案】A．
自助餐
1.下列说法中，正确的是（ ）
A.方程是等式； B.等式是方程 ；C.含有字母的式子是方程； D.不含字母的方程是等式
【知识点】方程的定义.
【解题过程】解：因为方程是含有未知数的等式，所以A正确；B.不一定正确，例如：2=2；
C.不一定正确，例如：；D.不一定正确，因为方程必须含有未知数．故选A．
【思路点拨】利用方程的概念结合反例即可对每个结论做出判断．注意特殊值法的运用．
【答案】A．
2.已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解等于（ ）
A.﹣1 B.1 C. D.﹣
【知识点】一元一次方程的定义.
【解题过程】解：由一元一次方程的特点得，，解得：，∴一元一次方程是：
解得：．故选A．
【思路点拨】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是（a，b是常数且a≠0）．根据定义可列出关于k的方程，求解即可．
【答案】A．
3.甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 .
【知识点】一元一次方程的应用.
【解题过程】解：设应该从乙队调x人到甲队，．
【思路点拨】等量关系为：乙队调动后的人数=甲队调动后的人数，把相关数值代入求解即可．
【答案】．
4.小明和小刚从相距25千米的两地同时相向而行，3小时后两人相遇，小明的速度是4千米/小时，设小刚的速度为x千米/小时，列方程得 .
【知识点】一元一次方程的应用.
【解题过程】解：设小刚的速度为千米/小时，．
【思路点拨】这是个相遇问题，设小刚的速度为x千米/小时，根据小明和小刚从相距25千米的两地同时相向而行，3小时后两人相遇，小明的速度是4千米/小时，可列方程求解．
【答案】．
5.今年哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，4年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍，若设妹妹今年岁，请列出方程.
【知识点】一元一次方程的应用.
【解题过程】解：设妹妹今年岁，．
【思路点拨】若设妹妹今年x岁，根据今年哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，4年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍，可列出方程．
【答案】．
6.在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE．若AE=（cm），请列出方程.
【知识点】一元一次方程的应用.
【解题过程】解：设AE为，则AM为，根据题意得出：∵，
∴，即．
【思路点拨】设AE为，则AM为cm，根据图示可以得出关于的方程．
【答案】．