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初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）2.2 有理数的乘法与除法教案
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这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）2.2 有理数的乘法与除法教案，共10页。教案主要包含了素养目标，教学重点，教学难点，教学过程，对应训练，课堂总结，作业布置，教学后记等内容，欢迎下载使用。
2.2.1 第1课时：有理数的乘法
【素养目标】
1.用类比､归纳的方式总结出有理数乘法法则,提高推理能力.2.能利用有理数乘法法则进行有理数的乘法运算,提高运算能力.3.理解倒数的意义,会求一个有理数的倒数.4.能运用有理数的乘法解决简单实际问题,增强应用意识.
【教学重点】
1.能利用有理数乘法法则进行有理数的乘法运算.2.理解倒数的意义,会求一个有理数的倒数.
【教学难点】用类比､归纳的方式总结出有理数乘法法则.
【教学过程】
活动一:创设情境,导入新课[情境导入]
如图,有甲､乙两座水库,甲水库的水位每天升高3 cm,乙水库的水位每天下降3 cm.如果用“+”号表示水位的上升,用“-”号表示水位的下降,请用算式表示,4天后甲､乙水库水位的总变化量分别是多少?你能找到更简洁的表示方法吗?
甲水库水位的总变化量:3+3+3+3或3×4;
乙水库水位的总变化量:(-3)+(-3)+(-3)+(-3)或(-3)×4.我们发现(-3)×4这个乘法算式中出现了负数,这节课我们就来学习有理数的乘法.[教学提示]
鼓励学生交流讨论,用多种方式表示水位的总变化量,引导学生类比小学学过的乘法表示出(-3)×4.
[设计意图]
从实际情境出发,提出疑问,激发学生的学习兴趣和求知欲,使学生快速地进入学习状态,同时又让学生体会到数学源于生活又应用于生活.活动二:问题引入,合作探究探究点 有理数乘法法则
我们已经熟悉正数及0的乘法运算.与加法类似,引入负数后,有理数的乘法运算有哪几种情况呢?
教师总结:
共三种类型,即:
(1)同号两个数相乘;
(2)异号两个数相乘;
(3)一个数与0相乘.
该怎样进行有理数的乘法运算呢?接下来我们先进行下面的探究.
问题1 观察下面的乘法算式.
3×3=9;(1)四个算式有什么共同点?
3×2=6;算式的左边都是3×□的形式.
3×1=3;(2)其他两个数有什么变化规律?
3×0=0. 随着后一乘数逐次递减1,积逐次递减3.
(3)要使这个规律在引入负数后仍然成立,那么应有:
3×3=9;(1)四个算式有什么共同点?
2×3=6;算式的左边都是□×3的形式.
1×3=3;(2)其他两个数有什么变化规律?
0×3=0. 随着前一乘数逐次递减1,积逐次递减3.
(3)要使这个规律在引入负数后仍然成立,那么应有:
(-1)×3= -3 ,(-2)×3= -6 ,(-3)×3= -9 .
思考:从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式,你能发现什么规律?
正数乘正数,积为正数;正数乘负数,积为负数;负数乘正数,积也为负数.积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
问题3 利用上面归纳的结论计算下面的算式.
思考:从中可以归纳出什么结论?
负数乘负数,积为正数,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
问题4 总结上面所有的情况,按照活动二开头分的三种类型,你能试着自己总结出有理数乘法法则吗?
显然,两个有理数相乘,积是一个有理数.
例1 (教材P39例1) 计算:
(1)8×(-1); (2)(-12 )×(-2); (3)(-23 )×(-57 ).
分析提问:例如(1)8×(-1), 异号两数相乘
8×(-1)=-( ), 得负
8×1=8, 把绝对值相乘
所以8×(-1)=-8.
(2)(-12 )×(-2) 同号两数相乘
(-12 )×(-2)= +( ) 得正
12 ×2 = 1, 把绝对值相乘
所以(-12 )×(-2)= 1解:(1)8×(-1)=-(8×1)=-8;
(2)(-12 )×(-2)=+(12 ×2)=1;
(3)(-23 )×(-57 )=+(23 ×57 )=1021 .
归纳总结
同号两数相乘,可以先确定积的符号,再确定积的绝对值
补充说明:例1(2)中,(-12 )×(-2)=1,我们说-12 和互为倒数.一般地,在有理数中仍然有:乘积是1的两个数互为倒数.
【对应训练】
教材 P40 练习第 1.3 题[教学提示]
教师引导学生类比有理数的加法,对乘法的各种情况进行分类,然后总结出三种类型,为后续归纳有理数乘法法则做铺垫.
[教学提示]
教师注意一定要引导学生解决好问题1,为后续的过程打下基础.要让学生知道“观察下面的乘法算式”的含义是:看算式两边,左边两个数相乘,有什么共同点和不同点;右边的积有什么变化规律.
[教学提示]
鼓励学生类比有理数的加法,从符号和绝对值两个角度观察算式,先看乘数与积的符号,再看积的绝对值和两个乘数绝对值之积的关系,然后总结出规律.
[教学提示]
指定学生代表上台解答,并说明计算中每一步的理由,其他学生在纸上作答,做完后引导学生总结出计算有理数乘法的一般步骤.
[教学提示]
提醒学生:如果把整数看成分母是1的分数,那么任何一个有理数(除0以外)的倒数,就是把分子和分母颠倒后所得的数.
提醒学生:从倒数的定义出发,因为没有一个数与0相乘等于1,所以0没有倒数.
[设计意图]
从小学学过的乘法运算出发,提出引入负数后的乘法问题,再通过大量算式类比､归纳,总结出有理数乘法法则,然后借助实例将倒数的概念扩充到有理数的范围.活动三:知识延伸,巩固升华例2 (教材P40 例2)用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.登山队攀登一座山峰,每登高1km气温的变化量为-6℃.登高3km后,气温有什么变化?
解:(-6)×3=-18.
答:登高3km后,气温下降18℃.
例2变式 在例2的条件下,若登山队已经到达山顶,现在要下山,当他们下山2km后,气温相对山顶的气温有什么变化?
解:(-6)×(-2)=12.
答:下山2km后,气温上升12℃.
【对应训练】
教材P40练习第2题.[教学提示]
在例2变式中,可将下山 2 km 理解成登高-2 km,得(-6)×(-2),也可将“每登高 1km 气温的变化量为-6℃”理解成“每下山1km 气温的变化量为6℃”,得6×2,用两种方式让学生更深刻地理解有理数的乘法.
[设计意图]
将新知识应用到实际情境中,使学生更深刻地体会有理数乘法的意义,提高运算能力与应用意识.活动四:随堂训练,课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
1.有理数乘法法则是什么?
2.有理数的倒数是什么?
【作业布置】
1.教材P47习题2.2第1,2,3,14题.
【教学后记】
2.2.1 第2课时：有理数的乘法运算律
【素养目标】
经历探索有理数的乘法运算律的过程,理解运算律并了解运算律的字母表示,培养抽象能力.
体会用实例类比､归纳出多个有理数相乘时积的符号的确定方法的过程,提高推理能力.熟悉有理数的乘法运算并能用乘法运算律简化运算,提高运算能力.
【教学重点】经历多个有理数相乘时积的符号的确定方法的探究过程,会利用有理数的乘法运算律简化运算.
【 教学难点】逆向利用分配律简化运算.
【教学过程】
活动一:知识回顾,导入新课
【回顾导入】
问题1 计算4×17×0.25×1317 .
4×17×0.25×1317 =(4×0.25)×(17×1317 )=1×13=13.
问题2 你是怎样做的?过程中运用了乘法运算律吗?如果运用了,运用了哪些运算律?
将4与0.25,17与1317 分别相乘,再把它们的积相乘,其中运用了乘法交换律与乘法结合律.
问题3 小学学习了乘法的哪些运算律?
小学学习了乘法交换律､乘法结合律､分配律.
引入负数后,这些运算律还成立吗?这节课我们就来学习有理数乘法的运算律.[教学提示]
问题1指定两名学生代表上台板书过程,其余学生在练习本上完成.问题2由两名学生口答完成.对于问题3,要求学生能说出乘法交换律､乘法结合律和分配律.
设计意图 由小学学过的知识入手,回顾学过的乘法运算律,由旧知过渡到新知,引出本节课要学习的有理数乘法运算律.活动二:问题引入,合作探究探究点1 有理数的乘法运算律
1.乘法交换律问题1 计算5×(-6)与(-6)×5.
5×(-6)=-30,(-6)×5=-30.
问题2 任意选择两个有理数,分别对应填入下列□和○内,并比较两个运算结果:□×○和○×□,你有什么发现?
两个运算的结果相同.
在有理数乘法中, 两个数相乘,交换乘数的位置,积不变.
即 乘法交换律:ab=ba.
补充说明: a×b也可以写为a·b或ab.当字母表示乘数时,“×”可以写为“· ”或省略.
2.乘法结合律 问题1 计算[3×(-4)]×(-5)与3×[(-4)×(-5)].
[3×(-4)]×(-5)=(-12)×(-5)=60,3×[(-4)×(-5)]=3×20=60.
问题2 任意选择三个有理数,分别对应填入下列□,○和◇内,并比较两个运算结果:(□×○)×◇和□×(○×◇),你又有什么发现?
两个运算的结果相同.
在有理数乘法中, 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变.
即 乘法结合律:(ab)c=a(bc).
3.分配律问题1 计算5×[3+(-7)]与5×3+5×(-7).
5×[3+(-7)]=5×(-4)=-20,5×3+5×(-7)=15-35=-20.
问题2 任意选择三个有理数,分别对应填入下列□,○和◇内,并比较两个运算结果:□×(○+◇)和□×○+□×◇,你又有什么发现?
两个运算的结果相同.
在有理数乘法中,一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加.
即 分配律:a(b+c)= ab+ac..
思考:回顾活动一中提出的问题,引入负数后,小学学过的乘法运算律在有理数乘法中还成立吗?
小学学过的乘法交换律､乘法结合律､分配律在有理数乘法中仍然成立.
例1 (教材P41例3)(1)计算2×3×0.5×(-7);
(2)用两种方法计算(14 + 16 -12 )×12.
解:(1)2×3×0.5×(-7)=(2×0.5)×[3×(-7)]=1×(-21)=-21.
(2)解法1:(14 + 16 -12 )×12=(312 + 212 -612 )×12=-112 ×12=-1.
解法2:(14 + 16 -12 )×12=14 ×12+ 16 ×12-12 ×12×12=3+2-6=-1.
思考:比较例1(2)的两种解法,它们在运算顺序上有什么区别?解法2用了什么运算律?哪种解法更简便?
答:解法1先做加法运算,再做乘法运算.解法2先做乘法运算,再做加法运算.解法2用了分配律.解法2更简便,因为解法1先要计算三个分数的和.
【对应训练】
教材P43练习第1题.[教学提示]
提醒学生:乘法运算律的字母表示中,字母可以取任意的有理数,可以表示正数,也可以表示负数或0.
告诉学生:乘法的运算律与加法运算律类似,可以推广到多个有理数相乘的情况:(1)三个以上有理数相乘,可以任意交换乘数的位置,或者先把其中的几个乘数相乘,例如,abcd=d(ac)b;(2)一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加,例如,a(b+c+d)=ab+ac+ad.
[教学提示]
提醒学 生:在有理数乘法中,分配律既可以正用,也可以逆用,关键是注意观察算式的特点,看怎么用能简化运算,使用分配律时一定要注意数前面的符号,不要出现遗漏或者错误.
告诉学生:运算律在运算中有重要作用,它是解决许多数学问题的基础.
[设计意图]
类比加法运算律的学习过程,让学生通过一些包含负数的简单例子,说明这些运算律在有理数乘法中仍然适用,使学生理解乘法运算律并能利用它们简化运算.[设计意图]
探究点2 多个有理数相乘的符号法则
1.几个不为0的数相乘
问题 改变例1(1)的乘积式子中某些乘数的符号,得到下列一些式子.观察这些式子,它们的积是正的还是负的?填表:
思考:几个不为0的数相乘,积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系?
几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是偶数时,积为正数;负的乘数的个数是奇数时,积为负数.2.几个数相乘(其中有乘数为0)
问题 你能看出下列式子的结果吗?如果能,请说明理由.
7.8×(-8.1)×0×(-19.6).
结果为0.理由:任何数与0相乘,都得0.思考:(1)你能总结出多个有理数相乘时,积的符号情况吗?
归纳总结:
几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是偶数时,积为正数;负的乘数的个数是奇数时,积为负数;几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为0.
(2)总结出结论以后,该怎么计算多个有理数相乘的积?
遇到多个不为0的数相乘,可以先用前面的结论确定积的符号,再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值;遇到有乘数为0的情况,可直接得积为0.例2 (教材P42) 计算:
(-3)×56 ×(-95 )×(-14 ); (-5)×6×(-45 )×14 .
解:(1)(-3)×56 ×(-95 )×(-14 )=-(3×56 ×95 ×14 )=-98 ;
(2)(-5)×6×(-45 )×14 =5×6×45 ×14 =6.
【对应训练】
教材P43练习第2题.[教学提示]
指定学生代表回答问题,检查对有理数乘法法则的掌握情况.
[教学提示]
告诉学生:多个有理数相乘,不管多复杂,只要其中有乘数0,积都是0,是不必具体计算的.计算之前注意观察其中是否有乘数0,若有可直接得积为0,若没有再按法则计算.
通过例子让学生自己归纳出多个有理数相乘的符号法则,提高推理能力与归纳能力.活动三:知识延伸,巩固升华解:(1)(-0.2)×(-316 )×(-5)×113 =-(0.2×316 ×5×43 )=-[(0.2×5)×(316 ×43 )]=-(1×14 )=-14 ;
(2)(-34 +156 -78 )×(-24)=-34 ×(-24)+116 ×(-24)-78 ×(-24)=18-44+21=-5;
(3)(-5.25)×(-4.73)-4.73×(-19.75)-25×(-5.27)=(-4.73)×(-5.25-19.75)-25×(-5.27)=(-4.73)×(-25)-25×(-5.27)=(-25)×(-4.73-5.27)=(-25)×(-10)=250.
【对应训练】
计算:
(1)(-4)×8×(-2.5)×(-0.125);
(2)(134 -78 -12 )×117 ;
(3)81.8×2.14+(-3.14)×35.2+3.14×(-46.6).
解:(1)(-4)×8×(-2.5)×(-0.125)=-(4×8×2.5×0.125)=-[(4×2.5)×(8×0.125)]=-(10×1)=-10;
(2)(134 -78 -12 )×117 =74 ×87 -78 ×87 -12 ×87 =2-1-47 =37 ;
(3)81.8×2.14+(-3.14)×35.2+3.14×(-46.6)=81.8×2.14+3.14×(-35.2-46.6)=81.8×2.14+3.14×(-81.8)=81.8×(2.14-3.14)=81.8×(-1)=-81.8[教学提示]
告诉学生:告诉学生:在做运算之前一定要先观察算式的特点,尤其是较复杂的运算,一般都需要用运算律来简化,提醒学生重点关注两个方面:(1)是否有积能凑整的乘数,若有,则可以用乘法交换律和乘法结合律优先相乘;(2)是否有相同的乘数,若有,则可以逆向运用分配律简化运算,有时候分配律在一个算式中会用到多次.
[设计意图]
通过例题和练习让学生更深刻地体会乘法运算律对于简化运算的作用,提高运算能力.活动四:随堂训练,课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
1.有理数乘法的运算律有哪些?
2.多个有理数相乘时怎么确定积的符号?
【作业布置】
1.教材P48习题2.2第4,5,15题.
【教学后记】
2.2.2 有理数的除法
第1课时：有理数的除法
【素养目标】
1.经历用转化的数学思想探究有理数除法法则的过程,体会除法与乘法的关系,强化推理能力.
2.理解并掌握有理数的除法法则,会进行有理数的除法运算,提高运算能力.
3.从除法的角度理解分数,会利用有理数除法法则化简分数.
【教学重点】理解并掌握有理数的除法法则,会进行有理数的除法运算.
【教学难点】会根据不同的情况来选取除法法则的其中一种说法求商.
【教学过程】
活动一:创设情境,导入新课[情境导入]
1.如图,王芳从家里到学校,每分钟走50 m,共走了20 min,则王芳家离学校有多远?放学时,王芳仍然以每分钟50 m的速度回家,应该走多少分钟?
20×50=1 000(m),1 000÷50=20(min).
因此王芳家离学校1 000 m,放学时应该走20 min.2.从上面这个例子你可以发现,除法与乘法之间满足怎样的关系?
除法是乘法的逆运算.引入负数后,在有理数的范围内,该怎么计算除法呢?这节课我们就来学习有理数的除法.[教学提示]
在实际情境问题中,引导学生根据“路程=速度×时间”发现除法与乘法的互逆关系,鼓励学生思考有理数的除法.
[设计意图]
创设情境,激发学生的学习兴趣,引导学生理解有理数除法和有理数乘法之间的互逆关系,从而引出本节课的主题.活动二:问题引入,合作探究探究点1 有理数的除法法则
问题1 怎样计算8÷(-4)呢?结合下面图示说一说.
一个数除以-4可以转化为乘-14 来进行,即一个数除以-4,等于乘-4的倒数-14 .问题2 我们换其他数的除法进行类似讨论(如下面例子),是否仍有除以a(a≠0)可以转化为乘1a ?
可以看出其他数的除法仍有这种关系.
思考:根据上面你尝试过的例子,能否类比有理数减法法则,总结出有理数除法法则?
有理数除法法则(说法1):
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.
这个法则也可以表示成:
a÷b=a·1b (b≠0).
例如:
两个有理数相除(除数不为0),商是一个有理数.
问题3 计算:
6÷3= 2 ,6÷(-3)= -2 ,
(-6)÷3= -2 ,(-6)÷(-3)= 2 ,
0÷3= 0 ,0÷(-3)= 0 .
思考:两数相除的商仍由符号和绝对值两部分组成.由于除法可转化为乘法,因此商的符号确定与有理数乘法类似.从符号和绝对值两个角度观察上述算式,你能否得到与有理数乘法法则类似的除法法则?
有理数除法法则(说法2):
两数相除,同号得正,异号得负,且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
0除以任何一个不等于0的数,都得0.
例1 (教材P44例4) 计算:
(1)(-36)÷9; (2)(-1225 )÷(-35 ).
解:(1)(-36)÷9=-(36÷9)=-4;
(2)(-1225 )÷(-35 )=(-1225 )×(-53 )=45 .思考:对于例1中的两个算式,用有理数除法法则的哪种说法来计算比较简便?
例1(1)用说法2比较简便,例1(2)用说法1比较简便.
【对应训练】
教材P45练习第1题.[教学提示]
提醒学生:除法与乘法的互逆关系在有理数中也是成立的,这属于除法的意义,即已知两个乘数的积与其中一个乘数,求另一个乘数的运算,这是数学上的一种规定.
[教学提示]
为了有利于学生接受,可让学生自己举例,并模仿教科书的方法进行说明,然后引导学生总结出除法法则.若有困难可让学生类比有理数减法法则来思考如何表述.规定0不能作除数的理由可简单地用0没有倒数来说明,更具体的理由不必在课堂上讲授.
[教学提示]
提醒学生:这是有理数除法法则的另一种说法.
指定学生代表上台板演计算过程,并用除法法则的两种说法分别计算,再引导学生思考对于不同形式的算式,怎么判断用哪种说法计算更简便.
引导学生总结:一般来说,能整除的情况下,往往采用法则的说法2,在确定符号后,再确定商的绝对值.在不能整除的情况下,则往往采用法则的说法1,即将除数换成倒数,除法转化成乘法.
[设计意图]
类比有理数减法法则的探究过程,根据除法与乘法的互逆关系,让学生通过算式实例探究有理数除法法则的两种说法,增强推理能力.在例题与练习中让学生掌握有理数的除法,并感受除法法则两种说法的适用情况,提升运算能力.[设计意图]探究点2 分数的化简问题 化简84 ,观察8-4 ,引入负数后,沿用小学时分数的意义,那么8-4 化简的结果是什么?
84 =2,8-4 =8÷(-4)=-2.例2 (教材P44例5) 化简:
(1)-23 ; (2)-45-12 .
解:(1)-23 =(-2)÷3=-(2÷3)=-23 ;(2)-45-12 =(-45)÷(-12)=45÷12=154 .思考:-23 是有理数吗?-23 可以写成两个整数相除的形式吗?
-23 =-23 ,这表明-23 是负分数,因而是有理数;反过来看,-23 =-23 ,又表明-23 可以写成A-23 这样两个整数相除的形式.
【对应训练】
教材P45练习第2题.[教学提示]
提醒学生:(1)化简时,若分母是负数,改为除数后要加括号.(2)可以用除法化简,也可以确定符号后直接约分,要根据数的特点灵活选用.(3)一般地,根据有理数的除法,形如pq (p,q是整数,q≠0)的数都是有理数;有理数又都可以写成上述形式(整数可以看成分母为1的分数).这样,有理数就是形如pq (p,q是整数,q≠0)的数.
引导学生从除法的角度理解并化简分数,并认识到有理数都可以表示为分数形式,为以后的学习打好基础.活动三:知识延伸,巩固升华解:(1)1÷(-1.2)=1÷(-65 )=1×(-56 )=-56 ;
(2)(-2311 )÷(-522 )=(-2511 )×(-225 )=10;
(3)(-0.125)÷83 =-18 ×38 =-364 ;
(4)|-427 |÷(-313 )=307 ×(-310 )=-97 .
【对应训练】
计算:
(1)1÷(-0.8); (2)(-212 )÷(-57 );
(3)(-0.25)÷112 ; (4)|-223 |÷(-179 ).
解:(1)1÷(-0.8)=1÷(-45 )=1×(-54 )=-54 ;
(2)(-212 )÷(-57 )=(-52 )×(-75 )=72 ;
(3)(-0.25)÷112 =(-14 )×23 =-16 ;
(4)|-223 |÷(-179 )=83 ×(-916 )=-32 .
[教学提示]
提醒学生:应用法则“除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数”时,如果有小数或带分数,应先化小数为分数,化带分数为假分数,另外有绝对值符号的先去绝对值符号.引导学生观察发现:1除以一个不等于0的数,等于这个数的倒数.
[设计意图]
通过具体的算式让学生从除法的角度理解有理数的倒数,并进一步掌握用除法法则计算各种形式的数的除法,提高运算能力.活动四:随堂训练,课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
1.有理数除法法则有哪几种说法?
2.怎么根据除法算式的情况决定选用哪一种说法?
3.怎么利用有理数的除法法则化简分数?
【作业布置】
1.教材P48习题2.2第6,7,8,12,16题.
【教学后记】
第2课时：有理数的加减乘除混合运算
【素养目标】
能运用运算律简化有理数的除法运算,能进行乘除混合运算.
掌握有理数的加减乘除混合运算的法则和运算顺序,能够熟练进行混合运算,提高运算能力.
能运用有理数的运算解决简单的实际问题.
熟悉计算器的操作方法,知道如何用计算器进行一些复杂运算,逐步培养使用信息技术的能力和意识.
【教学重点】能熟练地进行有理数的加减乘除混合运算.
【教学难点】巧用运算律简化有理数加减乘除混合运算.
【教学过程】
活动一:知识回顾,导入新课
【回顾导入】
1.我们学过的有理数的运算有哪些?其运算法则分别是什么?
2.我们学过的有理数运算中哪些有运算律?分别是哪些?
这节课我们就来学习有理数的加减乘除混合运算.[教学提示]
指定学生代表分别回答,查漏补缺,补充提问倒数的概念.
[设计意图]
带学生整体回顾有理数的加减乘除的运算法则与运算律,为接下来的学习做铺垫.活动二:问题引入,合作探究探究点1 除法运算的简化与有理数的乘除混合运算
例1 (教材P45例6) 计算:
(-12557 )÷(-5); (2)-2.5÷58 ×(-14 ).
分析提问:
①例1(1)用除法法则的哪一种说法来计算比较好?
②联想分配律,将例1(1)转化为乘法后怎样计算更简便?
③沿用小学的乘除混合运算顺序,例1(2)可以从左到右依次计算,或者将除法统一成乘法后再计算,你觉得哪种算法更简便?
【对应训练】
教材P47练习第1题.[教学提示]
指定学生代表回答分析中的提问,上台板演例1的计算过程,并说明每一步的理由.
提醒学生:(1)注意有理数的乘除混合运算中,一般先将除法转化为乘法,再根据负的乘数的个数确定积的符号;(2)同时将小数化为分数､带分数化为假分数,方便约分;(3)还可应用乘法运算律简化运算.
[设计意图]
通过例题和对应训练,让学生理解可将除法化成乘法后再运用运算律简化运算,并发现总结出有理数乘除混合运算的基本步骤,提升运算能力.[设计意图]探究点2 有理数的加减乘除混合运算
问题1 小学学过的四则混合运算的顺序是怎样的?
先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算,如有括号,先算括号内的.问题2 依照运算顺序计算613 ×(12 -13 )+6÷3,说一说每一步是怎样的?
613 ×(12 -13 )+6÷3
=613 ×16 +6÷3……先进行小括号中的减法运算
=113 +2……进行乘除运算
=2113 .……进行加法运算后得到结果问题3 引入负数后,若沿用小学学过的加减乘除四则运算顺序,则有理数的加减乘除混合运算的顺序是怎样的?
有理数的加､减､乘､除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则与小学所学的混合运算一样,按照“先乘除,后加减”的顺序进行.
【对应训练】
教材P47练习第2题.[教学提示]
指定学生代表回答问题1,2,3,上台板演例2的计算过程,并说明每一步的理由,其他同学在纸上作答.
从小学学过的加减乘除混合运算的算式出发,引导学生总结出有理数加减乘除混合运算的顺序,再通过例题与练习增强运算能力.活动三:知识延伸,巩固升华例3 (教材P46例8) 某公司去年1月-3月平均每月亏损1.5万元,4月-6月平均每月盈利32万元,7月-10月平均每月盈利21.7万元,11月-12月平均每月亏损2.3万元.这个公司去年总的盈亏情况如何?
分析:总的盈亏=1月-12月盈亏情况之和.
1月-3月――→亏损 (-1.5)×3 4月-6月――→盈利 (+32)×3
7月-10月――→盈利 (+21.7)×4 11月-12月――→亏损 (-2.3)×2
解:记盈利额为正数,亏损额为负数.由
(-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2=-4.5+96+86.8-4.6=173.7
可知,这个公司去年全年盈利173.7万元.工具引入:计算器是一种方便实用的计算工具,用计算器进行比较复杂的数的计算,比笔算要快捷得多.
例如,可以用计算器计算上面例3中列出的算式:
(-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2.
试试看结果和你笔算的是否相同.
【对应训练】
1.教材P47练习第3题.
2.刘亮的妈妈每天早上要送新鲜蔬菜到市场去卖,下表是一周送出的20筐新鲜蔬菜的质量记录(每筐均以25 kg为标准,超过的质量记为正,不足的质量记为负,单位:kg):
求这一周送出的20筐新鲜蔬菜的总质量.
解:20×25+2×(-0.8)+5×0.6+3×(-0.5)+4×0.4+2×0.5+4×(-0.3)=500-1.6+3-1.5+1.6+1-1.2=501.3(kg).
答:这一周送出的20筐新鲜蔬菜的总质量是501.3 kg.[教学提示]
对于例3,提醒学生注意题中具有相反意义的量,可先帮助学生理解1月-3月平均每月亏损1.5万元与1月-3月的亏损额之间的关系,再类比得出一年总的盈亏额.
让学生阅读教材P46有关计算器的内容,按课本介绍的方法操作.教师巡视,关注学习有困难的学生,给予指导.提醒学生注意不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同,具体参见使用说明.
[教学提示]
对应训练第2题中可带学生回顾教材P29例3的解法,并引导学生理解表格的具体含义,笔算出结果以后可让学生再用计算器验算一遍,进一步熟悉操作.
[设计意图]
借助实例运用有理数的加减乘除混合运算,将课本知识与实际生活联系起来,增强应用意识.引入计算器的操作学习,计算较复杂的算式,初步培养学生使用计算工具的能力和意识.活动四:随堂训练,课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
1.怎么做有理数的乘除混合运算?
2.有理数的加减乘除混合运算的顺序是怎样的?
3.你学会使用计算器进行有理数加减乘除运算了吗?
【作业布置】
1.教材P48习题2.2第9,10,11,13题.
【教学后记】
.
2.2.1 第1课时：有理数的乘法
【素养目标】
1.用类比､归纳的方式总结出有理数乘法法则,提高推理能力.2.能利用有理数乘法法则进行有理数的乘法运算,提高运算能力.3.理解倒数的意义,会求一个有理数的倒数.4.能运用有理数的乘法解决简单实际问题,增强应用意识.
【教学重点】
1.能利用有理数乘法法则进行有理数的乘法运算.2.理解倒数的意义,会求一个有理数的倒数.
【教学难点】用类比､归纳的方式总结出有理数乘法法则.
【教学过程】
活动一:创设情境,导入新课[情境导入]
如图,有甲､乙两座水库,甲水库的水位每天升高3 cm,乙水库的水位每天下降3 cm.如果用“+”号表示水位的上升,用“-”号表示水位的下降,请用算式表示,4天后甲､乙水库水位的总变化量分别是多少?你能找到更简洁的表示方法吗?
甲水库水位的总变化量:3+3+3+3或3×4;
乙水库水位的总变化量:(-3)+(-3)+(-3)+(-3)或(-3)×4.我们发现(-3)×4这个乘法算式中出现了负数,这节课我们就来学习有理数的乘法.[教学提示]
鼓励学生交流讨论,用多种方式表示水位的总变化量,引导学生类比小学学过的乘法表示出(-3)×4.
[设计意图]
从实际情境出发,提出疑问,激发学生的学习兴趣和求知欲,使学生快速地进入学习状态,同时又让学生体会到数学源于生活又应用于生活.活动二:问题引入,合作探究探究点 有理数乘法法则
我们已经熟悉正数及0的乘法运算.与加法类似,引入负数后,有理数的乘法运算有哪几种情况呢?
教师总结:
共三种类型,即:
(1)同号两个数相乘;
(2)异号两个数相乘;
(3)一个数与0相乘.
该怎样进行有理数的乘法运算呢?接下来我们先进行下面的探究.
问题1 观察下面的乘法算式.
3×3=9;(1)四个算式有什么共同点?
3×2=6;算式的左边都是3×□的形式.
3×1=3;(2)其他两个数有什么变化规律?
3×0=0. 随着后一乘数逐次递减1,积逐次递减3.
(3)要使这个规律在引入负数后仍然成立,那么应有:
3×3=9;(1)四个算式有什么共同点?
2×3=6;算式的左边都是□×3的形式.
1×3=3;(2)其他两个数有什么变化规律?
0×3=0. 随着前一乘数逐次递减1,积逐次递减3.
(3)要使这个规律在引入负数后仍然成立,那么应有:
(-1)×3= -3 ,(-2)×3= -6 ,(-3)×3= -9 .
思考:从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式,你能发现什么规律?
正数乘正数,积为正数;正数乘负数,积为负数;负数乘正数,积也为负数.积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
问题3 利用上面归纳的结论计算下面的算式.
思考:从中可以归纳出什么结论?
负数乘负数,积为正数,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
问题4 总结上面所有的情况,按照活动二开头分的三种类型,你能试着自己总结出有理数乘法法则吗?
显然,两个有理数相乘,积是一个有理数.
例1 (教材P39例1) 计算:
(1)8×(-1); (2)(-12 )×(-2); (3)(-23 )×(-57 ).
分析提问:例如(1)8×(-1), 异号两数相乘
8×(-1)=-( ), 得负
8×1=8, 把绝对值相乘
所以8×(-1)=-8.
(2)(-12 )×(-2) 同号两数相乘
(-12 )×(-2)= +( ) 得正
12 ×2 = 1, 把绝对值相乘
所以(-12 )×(-2)= 1解:(1)8×(-1)=-(8×1)=-8;
(2)(-12 )×(-2)=+(12 ×2)=1;
(3)(-23 )×(-57 )=+(23 ×57 )=1021 .
归纳总结
同号两数相乘,可以先确定积的符号,再确定积的绝对值
补充说明:例1(2)中,(-12 )×(-2)=1,我们说-12 和互为倒数.一般地,在有理数中仍然有:乘积是1的两个数互为倒数.
【对应训练】
教材 P40 练习第 1.3 题[教学提示]
教师引导学生类比有理数的加法,对乘法的各种情况进行分类,然后总结出三种类型,为后续归纳有理数乘法法则做铺垫.
[教学提示]
教师注意一定要引导学生解决好问题1,为后续的过程打下基础.要让学生知道“观察下面的乘法算式”的含义是:看算式两边,左边两个数相乘,有什么共同点和不同点;右边的积有什么变化规律.
[教学提示]
鼓励学生类比有理数的加法,从符号和绝对值两个角度观察算式,先看乘数与积的符号,再看积的绝对值和两个乘数绝对值之积的关系,然后总结出规律.
[教学提示]
指定学生代表上台解答,并说明计算中每一步的理由,其他学生在纸上作答,做完后引导学生总结出计算有理数乘法的一般步骤.
[教学提示]
提醒学生:如果把整数看成分母是1的分数,那么任何一个有理数(除0以外)的倒数,就是把分子和分母颠倒后所得的数.
提醒学生:从倒数的定义出发,因为没有一个数与0相乘等于1,所以0没有倒数.
[设计意图]
从小学学过的乘法运算出发,提出引入负数后的乘法问题,再通过大量算式类比､归纳,总结出有理数乘法法则,然后借助实例将倒数的概念扩充到有理数的范围.活动三:知识延伸,巩固升华例2 (教材P40 例2)用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.登山队攀登一座山峰,每登高1km气温的变化量为-6℃.登高3km后,气温有什么变化?
解:(-6)×3=-18.
答:登高3km后,气温下降18℃.
例2变式 在例2的条件下,若登山队已经到达山顶,现在要下山,当他们下山2km后,气温相对山顶的气温有什么变化?
解:(-6)×(-2)=12.
答:下山2km后,气温上升12℃.
【对应训练】
教材P40练习第2题.[教学提示]
在例2变式中,可将下山 2 km 理解成登高-2 km,得(-6)×(-2),也可将“每登高 1km 气温的变化量为-6℃”理解成“每下山1km 气温的变化量为6℃”,得6×2,用两种方式让学生更深刻地理解有理数的乘法.
[设计意图]
将新知识应用到实际情境中,使学生更深刻地体会有理数乘法的意义,提高运算能力与应用意识.活动四:随堂训练,课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
1.有理数乘法法则是什么?
2.有理数的倒数是什么?
【作业布置】
1.教材P47习题2.2第1,2,3,14题.
【教学后记】
2.2.1 第2课时：有理数的乘法运算律
【素养目标】
经历探索有理数的乘法运算律的过程,理解运算律并了解运算律的字母表示,培养抽象能力.
体会用实例类比､归纳出多个有理数相乘时积的符号的确定方法的过程,提高推理能力.熟悉有理数的乘法运算并能用乘法运算律简化运算,提高运算能力.
【教学重点】经历多个有理数相乘时积的符号的确定方法的探究过程,会利用有理数的乘法运算律简化运算.
【 教学难点】逆向利用分配律简化运算.
【教学过程】
活动一:知识回顾,导入新课
【回顾导入】
问题1 计算4×17×0.25×1317 .
4×17×0.25×1317 =(4×0.25)×(17×1317 )=1×13=13.
问题2 你是怎样做的?过程中运用了乘法运算律吗?如果运用了,运用了哪些运算律?
将4与0.25,17与1317 分别相乘,再把它们的积相乘,其中运用了乘法交换律与乘法结合律.
问题3 小学学习了乘法的哪些运算律?
小学学习了乘法交换律､乘法结合律､分配律.
引入负数后,这些运算律还成立吗?这节课我们就来学习有理数乘法的运算律.[教学提示]
问题1指定两名学生代表上台板书过程,其余学生在练习本上完成.问题2由两名学生口答完成.对于问题3,要求学生能说出乘法交换律､乘法结合律和分配律.
设计意图 由小学学过的知识入手,回顾学过的乘法运算律,由旧知过渡到新知,引出本节课要学习的有理数乘法运算律.活动二:问题引入,合作探究探究点1 有理数的乘法运算律
1.乘法交换律问题1 计算5×(-6)与(-6)×5.
5×(-6)=-30,(-6)×5=-30.
问题2 任意选择两个有理数,分别对应填入下列□和○内,并比较两个运算结果:□×○和○×□,你有什么发现?
两个运算的结果相同.
在有理数乘法中, 两个数相乘,交换乘数的位置,积不变.
即 乘法交换律:ab=ba.
补充说明: a×b也可以写为a·b或ab.当字母表示乘数时,“×”可以写为“· ”或省略.
2.乘法结合律 问题1 计算[3×(-4)]×(-5)与3×[(-4)×(-5)].
[3×(-4)]×(-5)=(-12)×(-5)=60,3×[(-4)×(-5)]=3×20=60.
问题2 任意选择三个有理数,分别对应填入下列□,○和◇内,并比较两个运算结果:(□×○)×◇和□×(○×◇),你又有什么发现?
两个运算的结果相同.
在有理数乘法中, 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变.
即 乘法结合律:(ab)c=a(bc).
3.分配律问题1 计算5×[3+(-7)]与5×3+5×(-7).
5×[3+(-7)]=5×(-4)=-20,5×3+5×(-7)=15-35=-20.
问题2 任意选择三个有理数,分别对应填入下列□,○和◇内,并比较两个运算结果:□×(○+◇)和□×○+□×◇,你又有什么发现?
两个运算的结果相同.
在有理数乘法中,一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加.
即 分配律:a(b+c)= ab+ac..
思考:回顾活动一中提出的问题,引入负数后,小学学过的乘法运算律在有理数乘法中还成立吗?
小学学过的乘法交换律､乘法结合律､分配律在有理数乘法中仍然成立.
例1 (教材P41例3)(1)计算2×3×0.5×(-7);
(2)用两种方法计算(14 + 16 -12 )×12.
解:(1)2×3×0.5×(-7)=(2×0.5)×[3×(-7)]=1×(-21)=-21.
(2)解法1:(14 + 16 -12 )×12=(312 + 212 -612 )×12=-112 ×12=-1.
解法2:(14 + 16 -12 )×12=14 ×12+ 16 ×12-12 ×12×12=3+2-6=-1.
思考:比较例1(2)的两种解法,它们在运算顺序上有什么区别?解法2用了什么运算律?哪种解法更简便?
答:解法1先做加法运算,再做乘法运算.解法2先做乘法运算,再做加法运算.解法2用了分配律.解法2更简便,因为解法1先要计算三个分数的和.
【对应训练】
教材P43练习第1题.[教学提示]
提醒学生:乘法运算律的字母表示中,字母可以取任意的有理数,可以表示正数,也可以表示负数或0.
告诉学生:乘法的运算律与加法运算律类似,可以推广到多个有理数相乘的情况:(1)三个以上有理数相乘,可以任意交换乘数的位置,或者先把其中的几个乘数相乘,例如,abcd=d(ac)b;(2)一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加,例如,a(b+c+d)=ab+ac+ad.
[教学提示]
提醒学 生:在有理数乘法中,分配律既可以正用,也可以逆用,关键是注意观察算式的特点,看怎么用能简化运算,使用分配律时一定要注意数前面的符号,不要出现遗漏或者错误.
告诉学生:运算律在运算中有重要作用,它是解决许多数学问题的基础.
[设计意图]
类比加法运算律的学习过程,让学生通过一些包含负数的简单例子,说明这些运算律在有理数乘法中仍然适用,使学生理解乘法运算律并能利用它们简化运算.[设计意图]
探究点2 多个有理数相乘的符号法则
1.几个不为0的数相乘
问题 改变例1(1)的乘积式子中某些乘数的符号,得到下列一些式子.观察这些式子,它们的积是正的还是负的?填表:
思考:几个不为0的数相乘,积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系?
几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是偶数时,积为正数;负的乘数的个数是奇数时,积为负数.2.几个数相乘(其中有乘数为0)
问题 你能看出下列式子的结果吗?如果能,请说明理由.
7.8×(-8.1)×0×(-19.6).
结果为0.理由:任何数与0相乘,都得0.思考:(1)你能总结出多个有理数相乘时,积的符号情况吗?
归纳总结:
几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是偶数时,积为正数;负的乘数的个数是奇数时,积为负数;几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为0.
(2)总结出结论以后,该怎么计算多个有理数相乘的积?
遇到多个不为0的数相乘,可以先用前面的结论确定积的符号,再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值;遇到有乘数为0的情况,可直接得积为0.例2 (教材P42) 计算:
(-3)×56 ×(-95 )×(-14 ); (-5)×6×(-45 )×14 .
解:(1)(-3)×56 ×(-95 )×(-14 )=-(3×56 ×95 ×14 )=-98 ;
(2)(-5)×6×(-45 )×14 =5×6×45 ×14 =6.
【对应训练】
教材P43练习第2题.[教学提示]
指定学生代表回答问题,检查对有理数乘法法则的掌握情况.
[教学提示]
告诉学生:多个有理数相乘,不管多复杂,只要其中有乘数0,积都是0,是不必具体计算的.计算之前注意观察其中是否有乘数0,若有可直接得积为0,若没有再按法则计算.
通过例子让学生自己归纳出多个有理数相乘的符号法则,提高推理能力与归纳能力.活动三:知识延伸,巩固升华解:(1)(-0.2)×(-316 )×(-5)×113 =-(0.2×316 ×5×43 )=-[(0.2×5)×(316 ×43 )]=-(1×14 )=-14 ;
(2)(-34 +156 -78 )×(-24)=-34 ×(-24)+116 ×(-24)-78 ×(-24)=18-44+21=-5;
(3)(-5.25)×(-4.73)-4.73×(-19.75)-25×(-5.27)=(-4.73)×(-5.25-19.75)-25×(-5.27)=(-4.73)×(-25)-25×(-5.27)=(-25)×(-4.73-5.27)=(-25)×(-10)=250.
【对应训练】
计算:
(1)(-4)×8×(-2.5)×(-0.125);
(2)(134 -78 -12 )×117 ;
(3)81.8×2.14+(-3.14)×35.2+3.14×(-46.6).
解:(1)(-4)×8×(-2.5)×(-0.125)=-(4×8×2.5×0.125)=-[(4×2.5)×(8×0.125)]=-(10×1)=-10;
(2)(134 -78 -12 )×117 =74 ×87 -78 ×87 -12 ×87 =2-1-47 =37 ;
(3)81.8×2.14+(-3.14)×35.2+3.14×(-46.6)=81.8×2.14+3.14×(-35.2-46.6)=81.8×2.14+3.14×(-81.8)=81.8×(2.14-3.14)=81.8×(-1)=-81.8[教学提示]
告诉学生:告诉学生:在做运算之前一定要先观察算式的特点,尤其是较复杂的运算,一般都需要用运算律来简化,提醒学生重点关注两个方面:(1)是否有积能凑整的乘数,若有,则可以用乘法交换律和乘法结合律优先相乘;(2)是否有相同的乘数,若有,则可以逆向运用分配律简化运算,有时候分配律在一个算式中会用到多次.
[设计意图]
通过例题和练习让学生更深刻地体会乘法运算律对于简化运算的作用,提高运算能力.活动四:随堂训练,课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
1.有理数乘法的运算律有哪些?
2.多个有理数相乘时怎么确定积的符号?
【作业布置】
1.教材P48习题2.2第4,5,15题.
【教学后记】
2.2.2 有理数的除法
第1课时：有理数的除法
【素养目标】
1.经历用转化的数学思想探究有理数除法法则的过程,体会除法与乘法的关系,强化推理能力.
2.理解并掌握有理数的除法法则,会进行有理数的除法运算,提高运算能力.
3.从除法的角度理解分数,会利用有理数除法法则化简分数.
【教学重点】理解并掌握有理数的除法法则,会进行有理数的除法运算.
【教学难点】会根据不同的情况来选取除法法则的其中一种说法求商.
【教学过程】
活动一:创设情境,导入新课[情境导入]
1.如图,王芳从家里到学校,每分钟走50 m,共走了20 min,则王芳家离学校有多远?放学时,王芳仍然以每分钟50 m的速度回家,应该走多少分钟?
20×50=1 000(m),1 000÷50=20(min).
因此王芳家离学校1 000 m,放学时应该走20 min.2.从上面这个例子你可以发现,除法与乘法之间满足怎样的关系?
除法是乘法的逆运算.引入负数后,在有理数的范围内,该怎么计算除法呢?这节课我们就来学习有理数的除法.[教学提示]
在实际情境问题中,引导学生根据“路程=速度×时间”发现除法与乘法的互逆关系,鼓励学生思考有理数的除法.
[设计意图]
创设情境,激发学生的学习兴趣,引导学生理解有理数除法和有理数乘法之间的互逆关系,从而引出本节课的主题.活动二:问题引入,合作探究探究点1 有理数的除法法则
问题1 怎样计算8÷(-4)呢?结合下面图示说一说.
一个数除以-4可以转化为乘-14 来进行,即一个数除以-4,等于乘-4的倒数-14 .问题2 我们换其他数的除法进行类似讨论(如下面例子),是否仍有除以a(a≠0)可以转化为乘1a ?
可以看出其他数的除法仍有这种关系.
思考:根据上面你尝试过的例子,能否类比有理数减法法则,总结出有理数除法法则?
有理数除法法则(说法1):
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.
这个法则也可以表示成:
a÷b=a·1b (b≠0).
例如:
两个有理数相除(除数不为0),商是一个有理数.
问题3 计算:
6÷3= 2 ,6÷(-3)= -2 ,
(-6)÷3= -2 ,(-6)÷(-3)= 2 ,
0÷3= 0 ,0÷(-3)= 0 .
思考:两数相除的商仍由符号和绝对值两部分组成.由于除法可转化为乘法,因此商的符号确定与有理数乘法类似.从符号和绝对值两个角度观察上述算式,你能否得到与有理数乘法法则类似的除法法则?
有理数除法法则(说法2):
两数相除,同号得正,异号得负,且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
0除以任何一个不等于0的数,都得0.
例1 (教材P44例4) 计算:
(1)(-36)÷9; (2)(-1225 )÷(-35 ).
解:(1)(-36)÷9=-(36÷9)=-4;
(2)(-1225 )÷(-35 )=(-1225 )×(-53 )=45 .思考:对于例1中的两个算式,用有理数除法法则的哪种说法来计算比较简便?
例1(1)用说法2比较简便,例1(2)用说法1比较简便.
【对应训练】
教材P45练习第1题.[教学提示]
提醒学生:除法与乘法的互逆关系在有理数中也是成立的,这属于除法的意义,即已知两个乘数的积与其中一个乘数,求另一个乘数的运算,这是数学上的一种规定.
[教学提示]
为了有利于学生接受,可让学生自己举例,并模仿教科书的方法进行说明,然后引导学生总结出除法法则.若有困难可让学生类比有理数减法法则来思考如何表述.规定0不能作除数的理由可简单地用0没有倒数来说明,更具体的理由不必在课堂上讲授.
[教学提示]
提醒学生:这是有理数除法法则的另一种说法.
指定学生代表上台板演计算过程,并用除法法则的两种说法分别计算,再引导学生思考对于不同形式的算式,怎么判断用哪种说法计算更简便.
引导学生总结:一般来说,能整除的情况下,往往采用法则的说法2,在确定符号后,再确定商的绝对值.在不能整除的情况下,则往往采用法则的说法1,即将除数换成倒数,除法转化成乘法.
[设计意图]
类比有理数减法法则的探究过程,根据除法与乘法的互逆关系,让学生通过算式实例探究有理数除法法则的两种说法,增强推理能力.在例题与练习中让学生掌握有理数的除法,并感受除法法则两种说法的适用情况,提升运算能力.[设计意图]探究点2 分数的化简问题 化简84 ,观察8-4 ,引入负数后,沿用小学时分数的意义,那么8-4 化简的结果是什么?
84 =2,8-4 =8÷(-4)=-2.例2 (教材P44例5) 化简:
(1)-23 ; (2)-45-12 .
解:(1)-23 =(-2)÷3=-(2÷3)=-23 ;(2)-45-12 =(-45)÷(-12)=45÷12=154 .思考:-23 是有理数吗?-23 可以写成两个整数相除的形式吗?
-23 =-23 ,这表明-23 是负分数,因而是有理数;反过来看,-23 =-23 ,又表明-23 可以写成A-23 这样两个整数相除的形式.
【对应训练】
教材P45练习第2题.[教学提示]
提醒学生:(1)化简时,若分母是负数,改为除数后要加括号.(2)可以用除法化简,也可以确定符号后直接约分,要根据数的特点灵活选用.(3)一般地,根据有理数的除法,形如pq (p,q是整数,q≠0)的数都是有理数;有理数又都可以写成上述形式(整数可以看成分母为1的分数).这样,有理数就是形如pq (p,q是整数,q≠0)的数.
引导学生从除法的角度理解并化简分数,并认识到有理数都可以表示为分数形式,为以后的学习打好基础.活动三:知识延伸,巩固升华解:(1)1÷(-1.2)=1÷(-65 )=1×(-56 )=-56 ;
(2)(-2311 )÷(-522 )=(-2511 )×(-225 )=10;
(3)(-0.125)÷83 =-18 ×38 =-364 ;
(4)|-427 |÷(-313 )=307 ×(-310 )=-97 .
【对应训练】
计算:
(1)1÷(-0.8); (2)(-212 )÷(-57 );
(3)(-0.25)÷112 ; (4)|-223 |÷(-179 ).
解:(1)1÷(-0.8)=1÷(-45 )=1×(-54 )=-54 ;
(2)(-212 )÷(-57 )=(-52 )×(-75 )=72 ;
(3)(-0.25)÷112 =(-14 )×23 =-16 ;
(4)|-223 |÷(-179 )=83 ×(-916 )=-32 .
[教学提示]
提醒学生:应用法则“除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数”时,如果有小数或带分数,应先化小数为分数,化带分数为假分数,另外有绝对值符号的先去绝对值符号.引导学生观察发现:1除以一个不等于0的数,等于这个数的倒数.
[设计意图]
通过具体的算式让学生从除法的角度理解有理数的倒数,并进一步掌握用除法法则计算各种形式的数的除法,提高运算能力.活动四:随堂训练,课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
1.有理数除法法则有哪几种说法?
2.怎么根据除法算式的情况决定选用哪一种说法?
3.怎么利用有理数的除法法则化简分数?
【作业布置】
1.教材P48习题2.2第6,7,8,12,16题.
【教学后记】
第2课时：有理数的加减乘除混合运算
【素养目标】
能运用运算律简化有理数的除法运算,能进行乘除混合运算.
掌握有理数的加减乘除混合运算的法则和运算顺序,能够熟练进行混合运算,提高运算能力.
能运用有理数的运算解决简单的实际问题.
熟悉计算器的操作方法,知道如何用计算器进行一些复杂运算,逐步培养使用信息技术的能力和意识.
【教学重点】能熟练地进行有理数的加减乘除混合运算.
【教学难点】巧用运算律简化有理数加减乘除混合运算.
【教学过程】
活动一:知识回顾,导入新课
【回顾导入】
1.我们学过的有理数的运算有哪些?其运算法则分别是什么?
2.我们学过的有理数运算中哪些有运算律?分别是哪些?
这节课我们就来学习有理数的加减乘除混合运算.[教学提示]
指定学生代表分别回答,查漏补缺,补充提问倒数的概念.
[设计意图]
带学生整体回顾有理数的加减乘除的运算法则与运算律,为接下来的学习做铺垫.活动二:问题引入,合作探究探究点1 除法运算的简化与有理数的乘除混合运算
例1 (教材P45例6) 计算:
(-12557 )÷(-5); (2)-2.5÷58 ×(-14 ).
分析提问:
①例1(1)用除法法则的哪一种说法来计算比较好?
②联想分配律,将例1(1)转化为乘法后怎样计算更简便?
③沿用小学的乘除混合运算顺序,例1(2)可以从左到右依次计算,或者将除法统一成乘法后再计算,你觉得哪种算法更简便?
【对应训练】
教材P47练习第1题.[教学提示]
指定学生代表回答分析中的提问,上台板演例1的计算过程,并说明每一步的理由.
提醒学生:(1)注意有理数的乘除混合运算中,一般先将除法转化为乘法,再根据负的乘数的个数确定积的符号;(2)同时将小数化为分数､带分数化为假分数,方便约分;(3)还可应用乘法运算律简化运算.
[设计意图]
通过例题和对应训练,让学生理解可将除法化成乘法后再运用运算律简化运算,并发现总结出有理数乘除混合运算的基本步骤,提升运算能力.[设计意图]探究点2 有理数的加减乘除混合运算
问题1 小学学过的四则混合运算的顺序是怎样的?
先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算,如有括号,先算括号内的.问题2 依照运算顺序计算613 ×(12 -13 )+6÷3,说一说每一步是怎样的?
613 ×(12 -13 )+6÷3
=613 ×16 +6÷3……先进行小括号中的减法运算
=113 +2……进行乘除运算
=2113 .……进行加法运算后得到结果问题3 引入负数后,若沿用小学学过的加减乘除四则运算顺序,则有理数的加减乘除混合运算的顺序是怎样的?
有理数的加､减､乘､除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则与小学所学的混合运算一样,按照“先乘除,后加减”的顺序进行.
【对应训练】
教材P47练习第2题.[教学提示]
指定学生代表回答问题1,2,3,上台板演例2的计算过程,并说明每一步的理由,其他同学在纸上作答.
从小学学过的加减乘除混合运算的算式出发,引导学生总结出有理数加减乘除混合运算的顺序,再通过例题与练习增强运算能力.活动三:知识延伸,巩固升华例3 (教材P46例8) 某公司去年1月-3月平均每月亏损1.5万元,4月-6月平均每月盈利32万元,7月-10月平均每月盈利21.7万元,11月-12月平均每月亏损2.3万元.这个公司去年总的盈亏情况如何?
分析:总的盈亏=1月-12月盈亏情况之和.
1月-3月――→亏损 (-1.5)×3 4月-6月――→盈利 (+32)×3
7月-10月――→盈利 (+21.7)×4 11月-12月――→亏损 (-2.3)×2
解:记盈利额为正数,亏损额为负数.由
(-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2=-4.5+96+86.8-4.6=173.7
可知,这个公司去年全年盈利173.7万元.工具引入:计算器是一种方便实用的计算工具,用计算器进行比较复杂的数的计算,比笔算要快捷得多.
例如,可以用计算器计算上面例3中列出的算式:
(-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2.
试试看结果和你笔算的是否相同.
【对应训练】
1.教材P47练习第3题.
2.刘亮的妈妈每天早上要送新鲜蔬菜到市场去卖,下表是一周送出的20筐新鲜蔬菜的质量记录(每筐均以25 kg为标准,超过的质量记为正,不足的质量记为负,单位:kg):
求这一周送出的20筐新鲜蔬菜的总质量.
解:20×25+2×(-0.8)+5×0.6+3×(-0.5)+4×0.4+2×0.5+4×(-0.3)=500-1.6+3-1.5+1.6+1-1.2=501.3(kg).
答:这一周送出的20筐新鲜蔬菜的总质量是501.3 kg.[教学提示]
对于例3,提醒学生注意题中具有相反意义的量,可先帮助学生理解1月-3月平均每月亏损1.5万元与1月-3月的亏损额之间的关系,再类比得出一年总的盈亏额.
让学生阅读教材P46有关计算器的内容,按课本介绍的方法操作.教师巡视,关注学习有困难的学生,给予指导.提醒学生注意不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同,具体参见使用说明.
[教学提示]
对应训练第2题中可带学生回顾教材P29例3的解法,并引导学生理解表格的具体含义,笔算出结果以后可让学生再用计算器验算一遍,进一步熟悉操作.
[设计意图]
借助实例运用有理数的加减乘除混合运算,将课本知识与实际生活联系起来,增强应用意识.引入计算器的操作学习,计算较复杂的算式,初步培养学生使用计算工具的能力和意识.活动四:随堂训练,课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
1.怎么做有理数的乘除混合运算?
2.有理数的加减乘除混合运算的顺序是怎样的?
3.你学会使用计算器进行有理数加减乘除运算了吗?
【作业布置】
1.教材P48习题2.2第9,10,11,13题.
【教学后记】
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