2023-2024学年河南省平顶山市郏县八年级下学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年河南省平顶山市郏县八年级下学期期末数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是( )
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
2.下列各式中，是分式的是( )
A. B. C. D.
3.已知a，b，c分别为的三边，则下列选项中，不能判断是直角三角形的是( )
A. B. ：：：12：13
C. a：b：：12：13D.
4.已知点在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.某个命题的结论为“x，y，z三个数中至少有一个数为正数”，现用反证法证明，假设正确的是( )
A. 假设三个数都是正数B. 假设三个数都为非正数
C. 假设三个数至多有一个为负数D. 假设三个数中至多有两个为非正数
6.解分式方程，去分母得( )
A. B.
C. D.
7.平面直角坐标系中，点平移后对应的点为，则平移的距离为( )
A. 3个单位长度B. 4个单位长度C. 5个单位长度D. 7个单位长度
8.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且，则▱ABCD的周长为( )
A. 20B. 16C. 12D. 8
9.某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
10.等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，，的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，绕O点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是( )
①；
②；
③；
④的周长最小值是
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：______.
12.一个n边形的每一个内角等于，那么__________.
13.如图，直线过，两点，则的解集为______.
14.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是______
15.如图，已知的面积为9，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积是______.
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
16.先化简，再求值：，其中
17.仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值.
解：设另一个因式，得，
对比等式左右两边x的二次项系数，可知，于是
则，
，，
解得，，
另一个因式为，m的值为
依照以上方法解答下面问题：
若二次三项式可分解为，则______；
若二次三项式可分解为，则______；
已知代数式有一个因式是，求另一个因式以及k的值.
四、解答题：本题共6小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题12分
解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解.
解分式方程：
19.本小题8分
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点，，
将以点C为旋转中心旋转，得到，请画出的图形；
平移，使点A的对应点坐标为，请画出平移后对应的的图形；
若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．
20.本小题7分
如图所示，已知的角平分线BM，CN相交于点
判断AP能否平分？请说明理由．
由此题你得到的结论是______.
21.本小题10分
某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．
求每副围棋和象棋各是多少元？
若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？
22.本小题9分
如图，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树、村里准备开挖池塘建鱼塘．想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树在池塘边不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要求的平行四边形；若不能，请说明理由．
23.本小题11分
如图1，在中，，，点D、E分别在边AB、AC上，，连结DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；
探究证明：
把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN，判断的形状，并说明理由；
拓展延伸：
把绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：①不是中心对称图形，故本选项不合题意；
②是中心对称图形，故本选项符合题意；
③不是中心对称图形，故本选项不合题意；
④是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、选项中分母中不含有字母，故此项不符合题意；
B、选项中分母中不含有字母，故此项不符合题意；
C、选项中3和都为整式，且分母中含有字母，故此项符合题意；
D、选项中分母中不含有字母，故此项不符合题意．
故选：
根据分式的定义即可判断．
本题考查了分式的概念及相关的基础问题，熟练掌握分式的定义：一般地，如果A、不等于零表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、，，
，
，
是直角三角形，
故A不符合题意；
B、：：：12：13，，
，
不是直角三角形，
故B符合题意；
C、：b：：12：13，
设，则，，
，，
，
是直角三角形，
故C不符合题意；
D、，
，
，
是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：
利用勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：点在第二象限，
，
解得，
将解集表示在数轴上为：
，
故选：
根据点在第二象限，得到，求出解集并表示在数轴上即可．
此题考查的是在数轴上表示不等式的解集及直角坐标系中点坐标的特点，综合掌握各知识点是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：反证法证明：“x，y，z三个数中至少有一个数为正数”，先假设假设三个数都为非正数，
故选：
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查分式方程的解法，根据等式性质，方程两边分别乘以最简公分母，此时注意符号问题.先把原方程根据分式性质化为：，再去分母即可.
【解答】
解：整理得：，
分式方程两边同乘，得
故选
7.【答案】C
【解析】解：平面直角坐标系中，点平移后对应的点为，
平移的距离为
故选：
平移的距离为一对对应点所连线段的长度，由于点平移后对应的点为，根据两点间的距离公式求出PQ即可．
本题考查了坐标与图形变化-平移，两点间的距离公式，知道平移的距离为一对对应点所连线段的长度是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型，首先证明，再由，推出即可解决问题．
【解答】
解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形ABCD的周长，
故选
9.【答案】B
【解析】解：每辆大货车的货运量是x吨，
每辆小货车的货运量是吨，
依题意得：
故选：
由每辆大货车的货运量是x吨，则每辆小货车的货运量是吨，根据用大货车运送75吨货物所需车辆数与小货车运送50吨货物所需车辆数相同，即可得出关于x的分式方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接OB、OC，如图，
为等边三角形，
，
点O是等边的内心和外心，
，OB、OC分别平分和，
，
，即，
而，即，
，
在和中，，
≌，
，，①正确；
，
四边形ODBE的面积，②错误；
作，如图，则，
，
，
，，
，
，
即随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
；③错误；
，
的周长，
当时，OE最小，的周长最小，此时，
周长的最小值，④正确．
故选：
连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断≌，所以，，则可对①进行判断；利用得到四边形ODBE的面积，则可对②进行判断；作，如图，则，计算出，利用随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对③进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，OE最小，的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：
故答案为：
直接提取公因式a，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】5
【解析】解：外角的度数是：，
则，
故答案为：
首先求得外角的度数，然后利用360度除以外角的度数即可求得．
本题考查根据多边形的外角和的运用，求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
13.【答案】
【解析】解：直线经过，两点，
则有：，
解得；
则不等式组可化为，
解得：
故答案为：
先根据A、B的坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式，然后再解不等式组即可．
本题考查了一次函数与不等式组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．
14.【答案】50
【解析】解：设，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
根据等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形等边对等角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：连接AF、
，
，
，
，
四边形CDEF是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为：
想办法证明，再由，可得解决问题．
本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题．
16.【答案】解：原式，
当时，原式
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：
，，
解得：
设另一个因式为，得
对比左右两边三次项系数可得：
于是
则
，，
解得：，，
故另一个因式为，k的值为
仿照题干中给出的方法计算即可；
仿照题干中给出的方法计算即可；
设出另一个因式为，对比两边三次项系数可得，再参照题干给出的方法计算即可．
本题以阅读材料给出的方法为背景考查了因式分解、整式乘法、合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．
18.【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
把不等式①、②的解集在数轴上表示出来如下：
该不等式组的解集为，
其整数解有：，1，2，3，4；
，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，所以不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解．
【解析】分别解不等式①、②，然后找出其公共部分即可得出不等式组的解集，最后找到符合条件的整数即可；
方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可．
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，属于基础题．
19.【答案】解：如图所示：即为所求；
如图所示：即为所求；
旋转中心坐标
【解析】利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；
利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；
利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标．
此题主要考查了旋转的性质以及图形的平移等知识，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
20.【答案】能平分，
理由如下：
如图，过点P作、、；
的角平分线BM、CN相交于点P，
，，
，
平分；
三角形的三条内角平分线相交于一点
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的内角平分线的性质及判定；作辅助线是解决该题的关键．
作辅助线：过点P作、、；证明即可解决问题．
由可得三角形的三条内角平分线相交于一点．
【解答】
解：见答案；
结论：三角形的三条内角平分线相交于一点．
故答案为：三角形的三条内角平分线相交于一点．
21.【答案】解：设每副围棋x元，则每副象棋元，
根据题意，得
解得
经检验是所列方程的根．
所以
答：每副围棋18元，则每副象棋10元；
设购买围棋m副，则购买象棋副，
根据题意，得
解得
故m最大值是
答：该校最多可再购买25副围棋．
【解析】设每副围棋x元，则每副象棋元，根据420元购买象棋数量元购买围棋数量列出方程并解答；
设购买围棋m副，则购买象棋副，根据题意列出不等式并解答．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
22.【答案】解：连接对角线AC，BD交于点O，
过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线，
过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线，
四条平行线依次交于M，N，G，H四点，
则可得四边形AODH，AOBM，BOCN，OCGD均为平行四边形．
在▱AODH中，，，，
≌
，
，▱MNGH即为所示．
故能设计出所要求的平行四边形．
【解析】把地扩大成平行四边形，而且面积要为原来的一倍．就可连接对角线AC，BD交于点O，过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线，过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线，四条平行线依次交于M，N，G，H四点，则可得四边形AODH，AOBM，BOCN，OCGD均为平行四边形．由全等形就可证明扩大后的是原来的一倍．
本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的性质和判定定理，对边平行且相等的四边形是平行四边形．
23.【答案】
【解析】解：点P，N是BC，CD的中点，
，，
点P，M是CD，DE的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
是等腰直角三角形．
理由：如图2，连接CE，BD，
由旋转知，，
，，
≌，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同的方法得，，
，
同的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
若，，
在中，，，
，
同理：，
由知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
当点D在BA的延长线上，BD最大，即PM最大
，
，
利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论；
先判断出≌，得出，同的方法得出，，即可得出，同的方法即可得出结论；
先判断出BD最大时，的面积最大，而BD最大是，即可得出结论．
本题属于几何变换综合题，考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用；解的关键是判断出，，解的关键是判断出≌，解的关键是判断出MN最大时，的面积最大．