江苏南京市第九中学2024-2025学年高二数学上阶段性练习【含答案】

这是一份江苏南京市第九中学2024-2025学年高二数学上阶段性练习【含答案】，共14页。试卷主要包含了若，且，，则cs，若曲线y＝与直线y＝k，已知A，点P，已知⊙M，已知圆C1等内容，欢迎下载使用。
1．若，且，，则cs（α﹣β）＝（ ）
A．B．C．D．
2．设圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的圆心为C，直线l过点（0，3），且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为（ ）
A．3x+4y﹣12＝0
B．3x+4y﹣12＝0或4x+2y+1＝0
C．x＝0
D．x＝0或3x+4y﹣12＝0
3．若曲线y＝与直线y＝k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．（1，+∞）D．（1，3]
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA＝（b+c）sinB，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若直线mx+4y﹣2＝0与2x﹣5y+n＝0互相垂直，垂足为（1，t），则m﹣n+t的值为（ ）
A．20B．﹣4C．12D．4
6．已知A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．k≤﹣4或D．以上都不对
7．点P（﹣2，﹣1）到直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ∈R）的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．；x+y﹣2＝0B．；3x+y﹣4＝0
C．；2x﹣3y+1＝0D．；2x﹣3y+1＝0
8．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0
二．多选题（共1小题）
（多选）9．已知圆C1：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝11与圆C2：x2+y2+2x﹣2my+m2﹣3＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆C2与x轴相切，则m＝2
B．若m＝﹣3，则圆C1与圆C2相离
C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x+（6﹣2m）y+m2+2＝0
D．直线kx﹣y﹣2k+1＝0与圆C1始终有两个交点
三．填空题（共3小题）
10．已知圆C的圆心为原点O，且与直线相切．动点P在直线x＝8上，过P引圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点的坐标为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，以OA为始边，角α与β的终边分别与单位圆相交于E，F两点，且，，若直线EF的斜率为，则sin（α+β）＝ ．
12．已知直线l过点P（1，4）且与点A（﹣2，2），B（4，﹣2）等距离，则直线l的方程为 ．
四．解答题（共3小题）
13．已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1与直线m：3x﹣y+6＝0，动直线l过定点A（0，1）．
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
14．已知在平面直角坐标系中，点A（a，0）、点B（0，b）（其中a、b为常数，且ab≠0），点O为坐标原点．
（1）设点P为线段AB靠近点A的三等分点，＝+（1﹣λ）（λ∈R），求λ的值；
（2）如图，设点P1，P2，⋯，Pk，⋯，Pn﹣1是线段AB的n等分点，＝+（1﹣μ），其中1≤k≤n﹣1，n，k∈N*，n≥2，求μ（用含n和k的式子表示），并且当n＝2020时，求|+++⋯⋯++|的值（用含a、b的式子表示）；
（3）若a＝b＝1，t∈[0，1]，求|t﹣|+|+（1﹣t）|的最小值．
15．已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，且圆C过点（3，1），（6，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（1，1）的直线l与圆C相交于A，B两点，当时，求直线l的方程．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：因为，则，则，
所以，
而，则，
所以．
故选：C．
2．【解答】解：化圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，则圆心C的坐标为（1，1），半径为2．
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，代入圆的方程得y2﹣2y﹣2＝0，解得，，
此时，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+3．
由，得圆心C到直线l的距离为，
即，解得，故此时直线l的方程为，即3x+4y﹣12＝0．
综上可得，直线l的方程为x＝0或3x+4y﹣12＝0．
故选：D．
3．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得：曲线y＝图象为以（0，0）为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A（2，4），
由图当直线l与半圆相切，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得：k＝；
当直线l过B点时，直线l的斜率k＝＝1，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围（，1]．
故选：A．
4．【解答】解：由asinA＝（b+c）sinB，根据正弦定理得a2＝（b+c）b，
结合余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，可得b2+c2﹣2bccsA＝（b+c）b，整理得c﹣b＝2bcsA，
由正弦定理得sinC﹣sinB＝2sinBcsA，
结合sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，可得sinAcsB+csAsinB﹣sinB＝2sinBcsA，
整理得sinB＝sinAcsB﹣sinBcsA＝sin（A﹣B），
因为A、B∈（0，π），可知A﹣B∈（﹣π，π），
所以B＝A﹣B或B+（A﹣B）＝π，可得A＝2B或A＝π（不符合题意，舍去）．
所以C＝π﹣A﹣B＝π﹣3B，结合解得，即．
所以＝
＝，
即的取值范围是．
故选：A．
5．【解答】解：∵直线mx+4y﹣2＝0与2x﹣5y+n＝0互相垂直，
∴2m+4×（﹣5）＝0，
∴m＝10，
直线mx+4y﹣2＝0，即5x+2y﹣1＝0，垂足（1，t）代入得，5+2t﹣1＝0，∴t＝﹣2．
把P（1，﹣2）代入2x﹣5y+n＝0，可得 n＝﹣12，
∴m﹣n+t＝20．
故选：A．
6．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA，
即 k≥＝，或 k≤＝﹣4，
∴k≥，或k≤﹣4，
故选：C．
7．【解答】解：直线l的方程可整理为：λ（3x+y﹣4）+x+y﹣2＝0，
令，解得，
所以直线l恒过点A（1，1），
由题意得当PA垂直直线l时，点P到直线l的距离最大，
，，
所以直线PA：，整理得2x﹣3y+1＝0．
故选：C．
8．【解答】解：化圆M为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
圆心M（1，1），半径r＝2．
∵＝2S△PAM＝|PA|•|AM|＝2|PA|＝．
∴要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．
由直线l：2x+y+2＝0，可得直线PM的斜率为，
直线PM的方程为y﹣1＝（x﹣1），即y＝，
联立，解得P（﹣1，0）．
则以PM为直径的圆的方程为．
联立，相减可得直线AB的方程为2x+y+1＝0．
故选：D．
二．多选题（共1小题）
9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，圆C2：x2+y2+2x﹣2my+m2﹣3＝0，即（x+1）2+（y﹣m）2＝4，若圆C2与x轴相切，则m＝±2，A错误；
对于B，若m＝﹣3，圆C2为（x+1）2+（y+3）2＝4，其圆心为（﹣1，﹣3），半径r＝2，圆C1：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝11，其圆心为（1，3），半径R＝，
圆心距d＝|C1C2|＝＝2＞R+r，两圆外离，B正确；
对于C，若圆C1与圆C2有公共弦，联立两个圆的方程可得4x+（6﹣2m）y+m2﹣2＝0，即公共弦所在的直线方程为4x+（6﹣2m）y+m2﹣2＝0，C错误；
对于D，直线kx﹣y﹣2k+1＝0，即y﹣1＝k（x﹣2），恒过定点（2，1），
又由（2﹣1）2+（1﹣3）2＝5＜11，则点（2，1）在圆C1内部，故直线kx﹣y﹣2k+1＝0与圆C1始终有两个交点，D正确；
故选：BD．
三．填空题（共3小题）
10．【解答】解：由题意知圆C的半径，且圆心为原点O，∴圆C的方程为x2+y2＝16．
∵PA，PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，可得点A，B在以OP为直径的圆上．
由题意设点P的坐标为（8，b），b∈R，则线段OP的中点坐标为，
∴以OP为直径的圆的方程为，b∈R，化简得x2+y2﹣8x﹣by＝0，b∈R．
∵AB为两圆的公共弦，∴直线AB的方程为8x+by＝16，b∈R，即8（x﹣2）+by＝0．
由，可得，∴直线AB恒过定点（2，0）．
故答案为：（2，0）．
11．【解答】解：由题意得∠AOE＝α，∠AOF＝β，OE＝OF，
则直线EF所对的倾斜角为α﹣＝，tan（）＝，
即，则，
则，
∵，，
∴，
又∵tan（α+β）＞0，
∴，
则，
结合sin2（α+β）+cs2（α+β）＝1，解得．
故答案为：﹣．
12．【解答】解：直线l过点P且与点A、B等距离，则l有两种情形：①l∥AB，②l过AB中点；
①当l∥AB时，，又直线l过点P（1，4），则，化简可得，2x+3y﹣14＝0；
②当l过AB中点时，设AB中点为Q，则Q（1，0），PQ方程为：x＝1．
故答案为：2x+3y﹣14＝0或x＝1．
四．解答题（共3小题）
13．【解答】解：（1）1°当直线l的斜率不存在时，
l的方程为x＝0，与圆C不相切；
2°当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0，
∴，解得k＝0或，
∴直线l的方程为y＝1或；
（2）由（1）可知，l的斜率存在，
设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0），
由消去y得，（1+k2）x2﹣（6﹣2k）x+9＝0，
∴，
∴，∴，
由得，，
∴，∴，
∴，
∴为定值．
14．【解答】解：（1）因为＝﹣＝（λ﹣1）+（1﹣λ）＝（λ﹣1）（）＝（λ﹣1），
点P为线段AB上靠近A点的三等分点，所以，
所以，即；
（2）由题意得，，
∴，
事实上，对任意的正整数m，n，且m+n＝2020，
有，，
∴，
所以||＝|＝|
＝；
（3）a＝b＝1时，线段AB上存在一点M，使得t＝，（1﹣t）＝，且存在点N（0，），＝，
则，t﹣＝﹣＝，
，
所以|t|+||＝||+||，
即线段AB上一点M，到点O和点N的距离之和，作点O关于线段AB的对称点O′（1，1），
则最小值为|O'N|＝．
15．【解答】解：（1）点（3，1），（6，4）中点坐标为：，两点连线斜率为．
则两点连线中垂线斜率为﹣1，故这两点中垂线方程为：．
将中垂线方程与2x﹣y﹣2＝0联立，，
即圆心坐标为（3，4），则半径，
故圆的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9．
（2）设直线l到圆心距离为d，由垂径定理，．则．
当直线l斜率不存在时，方程为x＝1，到圆心（3，4）距离为2，满足题意；
当直线斜率存在时，设y＝k（x﹣1）+1，由其到圆心距离为2，结合点到直线距离公式，
可得．
则此时，直线方程为．
故直线方程为：x＝1或5x﹣12y+7＝0．
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