江苏南京市第九中学2024-2025学年高一数学上第六周周测试卷【含答案】

这是一份江苏南京市第九中学2024-2025学年高一数学上第六周周测试卷【含答案】，共19页。试卷主要包含了已知命题p，已知实数a＞0，b＞0，且满足，下列说法中，不正确的有，已知a＞b＞0，则等内容，欢迎下载使用。
1．已知命题p：函数y＝x2+mx+1与x轴有两个交点；q：∀x∈R，4x2+4（m﹣2）x+1＞0恒成立．若p和￢q均为真命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．（2，3）B．（﹣∞，1]∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]
2．方程x2﹣ax+4＝0在区间[3，4]内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，5]B．C．（2，5）D．
3．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．0B．1C．D．3
4．若两个正实数x，y满足x+y＝3，且不等式＞m2﹣3m+5恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．{m|﹣4＜m＜1}B．{m|m＜﹣1或m＞4}
C．{m|﹣1＜m＜4}D．{m|m＜0或m＞3}
5．已知实数a＞0，b＞0，且满足（a﹣1）3+（b﹣1）3≥3（2﹣a﹣b）恒成立，则a2+b2的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．4
6．已知实数a＜b，关于x的不等式x2﹣（a+b）x+ab+1＜0的解集为（x1，x2），则实数a、b、x1、x2从小到大的排列是（ ）
A．a＜x1＜x2＜bB．x1＜a＜b＜x2C．a＜x1＜b＜x2D．x1＜a＜x2＜b
二．多选题（共5小题）
（多选）7．下列说法中，不正确的有（ ）
A．集合A＝{1，2，3，4}的非空真子集有14个
B．的最小值为4
C．不等式（x﹣1）2（x﹣3）≥0的解集为[3，+∞）
D．若3∈{m﹣1，3m，m2﹣1}，则实数m的可能取值集合为{﹣2，1，2，4}
（多选）8．若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
（多选）9．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（ ）
A．﹣5B．C．πD．5
（多选）10．已知a＞b＞0，则（ ）
A．＞B．a﹣＞b﹣
C．a3﹣b3＞2（a2b﹣ab2）D．﹣＞﹣
（多选）11．已知x，y＞0，x+2y+xy﹣6＝0，则（ ）
A．xy的最大值为
B．x+2y的最小值为4
C．x+y的最小值为4﹣3
D．（x+2）2+（y+1）2的最小值为16
三．填空题（共5小题）
12．已知不等式ax2+（2﹣a2）x﹣3b＞0（a，b∈R）的解集为（﹣2，1），则a+b＝ ．
13．已知A＝{x|ax2+bx+c≤0（a＜b）}中有且仅有一个元素，则的最小值为 ．
14．已知条件p：2k﹣1≤x≤3，q：﹣5≤x≤3，p是q的必要条件，则实数k的取值范围是 ．
15．已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是 ．
16．设，，则代数式的值为 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知二次函数y＝ax2+bx+2（a，b为实数）．
（1）若x＝1时，y＝1且对∀x∈（2，5），y＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若x＝1时，y＝1且对∀a∈[﹣2，﹣1]，y＞0恒成立，求实数x的取值范围．
18．已知不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3}．
（1）若a＞0，且不等式ax2+（b﹣3）x﹣c≤0有且仅有10个整数解，求a的取值范围？
（2）解关于x的不等式：ax2+（b﹣1）x+5＜0．
19．已知关于x的不等式x2+bx+c﹣3＜0的解集为（﹣1，2）．
（1）当x∈（0，3]时，求的最小值；
（2）∀x＞0，函数y＝x2+bx+c的图象恒在直线y＝mx的上方，求实数m的取值范围．
20．已知函数y＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．
（1）若不等式y＜0的解集为∅，求m的取值范围；
（2）当m＞﹣2时，解不等式y≥m．
21．已知a，b，c，d均为正实数．
（Ⅰ）求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；
（Ⅱ）若a+b＝1，求证：．
22．某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：．小明由此得到启发，在求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当x＝1时，取到最小值﹣2．
（1）请你模仿小明的解法，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；
（2）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：根据题意，对于命题p：函数y＝x2+mx+1与x轴有两个交点，
若y＝x2+mx+1与x轴有两个交点，所以Δ＝m2﹣4＞0，得到m＞2或m＜﹣2，故p为真命题时，有m＞2或m＜﹣2，
对于q，∀x∈R，4x2+4（m﹣2）x+1＞0恒成立，
则有Δ＝16（m﹣2）2﹣16＜0，整理得到m2﹣4m+3＜0，得到1＜m＜3，
所以¬q为真时，有m≤1或m≥3，
又因为p和¬q均为真命题，故或，解可得m＜﹣2或m≥3，
即m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[3，+∞）．
故选：C．
2．【解答】解：因为x∈[3，4]，
所以由，
设，当x∈[3，4]时，函数单调递增，
所以，
要想方程x2﹣ax+4＝0在区间[3，4]内有解，
只需．
故选：D．
3．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，
∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，
∴＝＝≤＝1（当且仅当x＝2y时取“＝”），
∴＝1，此时，x＝2y．
∴z＝x2﹣3xy+4y2＝（2y）2﹣3×2y×y+4y2＝2y2，
∴+﹣＝+﹣＝﹣+1≤1，当且仅当y＝1时取得“＝”，满足题意．
∴的最大值为1．
故选：B．
4．【解答】解：∵两个正实数x，y满足x+y＝3，∴x+1+y＝4，
∴＝（）（x+1+y）＝（20++）≥（20+2）＝9，
当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，∴（）min＝9，
∴若不等式＞m2﹣3m+5恒成立，则应9＞m2﹣3m+5，解得，﹣1＜m＜4，
故选：C．
5．【解答】解：依题意（a﹣1）3+（b﹣1）3≥3（2﹣a﹣b）＝3（1﹣a）+3（1﹣b），
即（a﹣1）3+3（a﹣1）≥﹣[（b﹣1）3+3（b﹣1）]＝（1﹣b）3+3（1﹣b），
设f（x）＝x3+3x，f（x）是奇函数且f（x）在R上递增，
所以f（a﹣1）≥f（1﹣b），即a﹣1≥1﹣b，a+b≥2，
由基本不等式得，当且仅当a＝b＝1时等号成立，
所以a2+b2的最小值为2．
故选：A．
6．【解答】解：不等式x2﹣（a+b）x+ab+1＜0可化为（x﹣a）（x﹣b）+1＜0，
设g（x）＝（x﹣a）（x﹣b），f（x）＝g（x）+1，
画出函数g（x）与函数f（x）的图像，如图所示，
由图像可知，a＜x1＜x2＜b，
故选：A．
二．多选题（共5小题）
7．【解答】解：A：因为集合A＝{1，2，3，4}的元素共有4，非空真子集有24﹣2＝14，正确；
B：，当且仅当时取等号，即a2+3＝2，显然该方程无实数根，因此不等式的等号不成立，
所以的最小值不是4，不正确；
C：当x﹣1＝0时，即x＝1时，不等式（x﹣1）2（x﹣3）≥0显然成立，
当x≠1时，由（x﹣1）2（x﹣3）≥0⇒x﹣3≥0⇒x≥3，
所以不等式（x﹣1）2（x﹣3）≥0的解集为[3，+∞）∪{1}，不正确；
D：因为3∈{m﹣1，3m，m2﹣1}，
所以有m﹣1＝3，或3m＝3，或m2﹣1＝3，
当m﹣1＝3时，m＝4，此时{m﹣1，3m，m2﹣1}＝{3，12，15}，
当3m＝3，m＝1，此时m﹣1＝m2﹣1＝0不符合集合元素互异性，
当m2﹣1＝3时，m＝2，或m＝﹣2，
当m＝2时，{m﹣1，3m，m2﹣1}＝{1，6，3}，
当m＝﹣2时，{m﹣1，3m，m2﹣1}＝{﹣3，﹣6，3}，
综上所述：实数m的可能取值集合为{﹣2，2，4}，不正确，
故选：BCD．
8．【解答】解：由题意，k＝0时，4x+4＝0，解得x＝﹣1，符合题意；
k≠0时，Δ＝42﹣4×4k＝0，解得k＝1；
即实数k的值为0或1．
故选：AB．
9．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得x＞4或x＜﹣2，
解方程2x2+（2k+7）x+7k＝0可得x＝﹣k或x＝﹣，
显然k，
若﹣k＜﹣即k＞时，不等式2x2+（2k+7）x+7k＜0的解集为（﹣k，），
由题意得﹣5≤﹣k＜﹣4，
解得4＜k≤5，
若﹣k＞﹣即k＜时，不等式2x2+（2k+7）x+7k＜0的解集为（，﹣k），
由题意得﹣3＜﹣k≤5，
解得﹣5≤k＜3，
综上，k的取值范围为[﹣5，3）∪（4，5]，
故选：ABD．
10．【解答】解：对于A，∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴＝＞0，即，故A正确，
对于B，∵a＞b，﹣，∴无法判断a﹣与b﹣的大小关系，故B错误，
对于C，（a3﹣b3）﹣2（a2b﹣ab2）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）﹣2ab（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2﹣2ab）＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）＝（a﹣b）[（a﹣b）2+ab]，
∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，ab＞0，
∴（a﹣b）[（a﹣b）2+ab]＞0，即a3﹣b3＞2（a2b﹣ab2），故C正确，
对于D，不等式＞等价于，等价于，
等价于，显然不等式不成立，
所以原不等式不成立，故D错误．
故选：AC．
11．【解答】解：由x+2y+xy﹣6＝0，得x+2y＝6﹣xy，
因为x，y＞0，所以x+2y＝6﹣xy＞0，所以0＜xy＜6，
由基本不等式可得：，当且仅当x＝2y时等号成立，此时，
解得：xy≥18或xy≤2，因为xy＜6，所以xy≥18舍去，
故xy的最大值为2，A错误；
由x+2y+xy﹣6＝0得xy＝6﹣（x+2y），
因为x，y＞0，所以6﹣（x+2y）＞0，所以0＜x+2y＜6，由基本不等式可得2xy，当且仅当x＝2y时等号成立，
即，解得x+2y≥4或x+2y≤﹣12，因为0＜x+2y＜6，所以x+2y≤﹣12舍去，
故x+2y的最小值为4，B正确；
由x+2y+xy﹣6＝0变形为x+y+y（1+x）＝6，则y（1+x）＝6﹣（x+y），
由基本不等式得：，当且仅当y＝1+x时等号成立，此时，
令x+y＝t（t＞0），则，解得：t或 （舍去），
所以x+y 的最小值为，C正确；
由x+2y+xy﹣6＝0可得（x+2）（y+1）＝8，从而（x+2）2+（y+1）2≥2（x+2）（y+1）＝2×8＝16，
当且仅当 x+2＝y+1 时，即， 等号成立，故（x+2）2+（y+1）2 最小值为16，D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共5小题）
12．【解答】解：因为不等式ax2+（2﹣a2）x﹣3b＞0（a，b∈R）的解集为（﹣2，1），
所以﹣2和1是方程ax2+（2﹣a2）x﹣3b＝0的两个根，且a＜0，
所以，解得，
所以．
故答案为：．
13．【解答】解：由于A＝{x|ax2+bx+c≤0（a＜b）}有且仅有一个元素，
所以b＞a＞0，Δ＝b2﹣4ac＝0．所以b＞a＞0，b2＝4ac，
所以，
设，∴，
所以．
当且仅当时等号成立．
所以M的最小值为．
故答案为：．
14．【解答】解：根据条件p：2k﹣1≤x≤3，q：﹣5≤x≤3，
设集合A＝{x|2k﹣1≤x≤3}，B＝{x|﹣5≤x≤3}，
因为p是q的必要条件，所以B⊆A．
可得2k﹣1≤﹣5，解得k≤﹣2，即k的取值范围是是（﹣∞，﹣2]．
故答案为：（﹣∞，﹣2]．
15．【解答】解：x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），解得a＜x＜3a，
则x1＝a，x2＝3a，
故＝＝4a+≥，当且仅当，即a＝时，等号成立，
故的最小值是．
故答案为：．
16．【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1）将x＝1，y＝1代入得a+b＝﹣1，∴b＝﹣a﹣1，
∴y＝ax2﹣（a+1）x+2＞0对∀x∈（2，5）恒成立，
即a（x2﹣x）＞x﹣2对∀x∈（2，5）恒成立，
当x∈（2，5）时，由于y＝x2﹣x在（2，5）上单调递增，故x2﹣x＞22﹣2＞0，
∴，
令t＝x﹣2∈（0，3），
则，
当且仅当，即时等号成立，
∴，实数a的取值范围为（3﹣2，+∞）；
（2）由题意b＝﹣（a+1），∴y＝ax2﹣（a+1）x+2，
变更主元：令a为主元，视x为参数，
令g（a）＝（x2﹣x）a+2﹣x，对∀a∈[﹣2，﹣1]，g（a）＝（x2﹣x）a+2﹣x＞0恒成立，
故只需，即，
解得，∴．
18．【解答】解：（1）因为a＞0，不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3}，
故ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3}且ax2+bx+c≥2的解集为R，
所以ax2+bx+c＝3的根为x＝2，x＝3，
故，即b＝﹣5a，c＝6a+3，
所以ax2+bx+c＝ax2﹣5ax+6a+3≥2的解集为R，
即ax2﹣5ax+6a+1≥0恒成立，
所以25a2﹣4a（6a+1）≤0，
解得0＜a≤4，
不等式ax2+（b﹣3）x﹣c≤0等价于ax2﹣（5a+3）x﹣（6a+3）≤0，即（x+1）（ax﹣6a﹣3）≤0，
所以﹣1≤x≤6+，
由题意得8＜9，
解得1＜a≤，
综上，a的取值范围为（1，]；
（2）若a＞0，
当0＜a＜时，不等式解集为（5，），
当a＝时，不等式解集为∅，
当4≥a＞时，不等式解集为（，5），
若a＜0，原不等式等价于ax2+bx+c≥2的解集为{x|2≤x≤3}且ax2+bx+c≤3的解集为R，
则2+3＝﹣，2×，
所以b＝﹣5a，c＝2+6a，
不等式ax2+bx+c＝ax2﹣5ax+6a+2≤3恒成立，
故25a2﹣4a（6a﹣1）≤0，
解得﹣4≤a＜0，
不等式ax2+（b﹣1）x+5＝（ax﹣1）（x﹣5）＜0，
解得x＜或x＞5，
当a＝0，b＞0时，2b+c＝2，3b+c＝3，
故b＝1，c＝0，
则不等式ax2+（b﹣1）x+5＝5＜0无解，
当a＝0，b＜0时，2b+c＝3，3b+c＝2，
故b＝﹣1，c＝5，
则不等式ax2+（b﹣1）x+5＝5﹣2x＜0，
解得x＞，
综上，﹣4≤a＜0，解集为{x|x＞5或x＜}；
当a＝0，b＞0时，不等式的解集∅；
当a＝0，b＜0时，不等式的解集为{x|x＞}；
当0＜a＜时，不等式解集为{x|5＜x＜}；
当a＝时，不等式的解集为∅；
当时，不等式的解集为{x|}．
19．【解答】解：（1）因为关于x的不等式x2+bx+c﹣3＜0的解集为（﹣1，2），
所以﹣1和2是方程x2+bx+c﹣3＝0的两根，
所以，解得，
当x∈（0，3]时，，当且仅当x＝1时，等号成立，
所以的最小值为1；
（2）结合（1）可得y＝x2+bx+c＝x2﹣x+1，
对于∀x＞0，函数y＝x2+bx+c的图象恒在函数y＝mx的图象的上方，
等价于x2﹣x+1＞mx在x∈（0，+∞）上恒成立，
即在x∈（0，+∞）上恒成立，
则即可，
结合（1）可得当x＝1时，取得最小值1，所以m＜1，
所以实数m的取值范围为（﹣∞，1）．
20．【解答】解：（1）函数y＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1，
当m+1＝0，即m＝﹣1时，不等式y＜0可化为x﹣2＜0，它的解集不是∅，不满足题意；
当m+1≠0，即m≠﹣1时，应满足，
即，
解得；
即m≥；
综上知，m的取值范围是[，+∞）．
（2）当m＞﹣2时，不等式y≥m化为[（m+1）x+1]（x﹣1）≥0；
当m+1＝0时，即m＝﹣1时，不等式为x﹣1≥0，解得x≥1；
当m+1＞0时，即m＞﹣1时，不等式化为（x+）（x﹣1）≥0，且﹣＜0＜1，解不等式得x≤﹣或x≥1；
当m+1＜0时，即﹣2＜m＜﹣1时，不等式化为（x+）（x﹣1）≤0，
因为﹣2＜m＜﹣1，所以﹣1＜m+1＜0，所以﹣＞1，解不等式得1≤x≤﹣；
综上知，m＝﹣1时，不等式的解集为[1，+∞）；
m＞﹣1时，不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）；
﹣2＜m＜﹣1时，不等式的解集为[1，﹣]．
21．【解答】证明：（Ⅰ）（a2+b2）（c2+d2）＝（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）≥（a2c2+2abcd+b2d2）＝（ac+bd）2，
（Ⅱ）≥a2+2ab+b2＝（a+b）2＝1
而（1+a）+（1+b）＝3，所以．
22．【解答】解：（1）由x≥0，知x4﹣4x＝x4+1+1+1﹣4x﹣3
≥
＝4x﹣4x﹣3＝﹣3，
当且仅当x＝1时，取到最小值﹣3；
（2）由a＞0，x≥0，知x3﹣ax＝＝
≥
＝；
当且仅当时，取到最小值．，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/24 16:27:27；用户：刘玉松；邮箱：abrahamhenry@sina.cm；学号：4631247