江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高二（上）数学第8周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高二（上）数学第8周阶段性训练模拟练习【含答案】，共20页。试卷主要包含了已知直线l，下列说法正确的是，设椭圆E等内容，欢迎下载使用。
1．若直线kx+y+k＝0与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知F1，F2是椭圆+＝1的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．已知直线l：kx+y﹣k+1＝0，直线l关于直线x+y﹣2＝0对称的直线为l′，则l′必过点（ ）
A．（3，1）B．（1，3）C．（2，2）D．（4，4）
4．已知点P在椭圆上，F1与F2分别为左、右焦点，若，则△F1PF2的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋•新吴区校级期中）已知椭圆C1：，其短轴长为2且离心率为，在椭圆C1上任取一点P，过点P作圆的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则•的最小值为（ ）
A．﹣1B．C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为120°
B．经过点P（2，1），且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为x﹣y﹣1＝0
C．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2）
D．直线l1：ax+2ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣4＝0，l1⊥l2，则a＝﹣3或0
（多选）7．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆C的离心率为B．
C．D．∠F1PF2的最大值为
（多选）8．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为0
C．x2+y2的最大值为
D．x+y的最大值为
（多选）9．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．BD⊥平面ACC1
C．向量与的夹角是60°
D．直线BD1与AC所成角的余弦值为
三．填空题（共5小题）
10．设椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是 ．
11．已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1、F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：＝1上任意一点，则|MN|﹣|MF1|的取值范围为 ．
12．已知直线l过点（1，2），且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程是 ．
13．在平面直角坐标系中，记d为点P（2csθ，sinθ）到直线x﹣my﹣3＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为 ．
14．已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝2，则的取值范围为 ．
四．解答题（共6小题）
15．已知一个动点M在圆x2+y2＝16上运动，它与定点Q（8，0）所连线段的中点为P．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若点P的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程．
16．已知椭圆焦距为，过点，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A、B．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若k＝1，|AB|的最大值．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，，PA＝4，E为棱BC上的点，且．
（1）求证：DE⊥平面PAC；
（2）求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值；
（3）若点Q在棱CP上（不与点C，P重合），直线QE能与平面PCD垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
18．已知M（1，）为椭圆+＝1（a＞b＞0）上一点，上下顶点分别为A、B，右顶点为C，且a2+b2＝5．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P为椭圆C上异于顶点的一动点，直线AC与BP交于点Q，直线CP交y轴于点R．求证：直线RQ过定点．
19．圆O1的方程为x2+（y+1）2＝4，圆O2的圆心O2（2，1）．
（1）若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝2．求圆O2的方程．
20．设圆x2+y2﹣2x﹣15＝0的圆心为M，直线l过点N（﹣1，0）且与x轴不重合，l交圆M于A，B两点，过点N作AM的平行线交BM于点C．
（1）证明|CM|+|CN|为定值，并写出点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹为曲线E，直线l1：y＝kx与曲线E交于P，Q两点，点R为椭圆C上一点，若△PQR是以PQ为底边的等腰三角形，求△PQR面积的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：曲线y＝1+，即x2+（y﹣1）2﹣2x＝0（y≥1），
即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（y≥1），
表示M（1，1）为圆心，r＝1为半径的圆的上半部分，
直线kx+y+k＝0恒过定点（﹣1，0），
考查临界情况：
当直线过点（0，1）时，直线的斜率k＝﹣1，此时直线与半圆有两个交点，
当直线过点（2，1）时，直线的斜率k＝﹣，此时直线与半圆有1个交点，
当直线与半圆相切时，圆心M（1，1）到直线kx﹣y+k＝0的距离为1，且k＜0，
即＝1，解得：k＝﹣，（k＝0舍去）．
据此可得，实数k的取值范围是（﹣1，﹣]∪{﹣}．
故选：D．
2．【解答】解：因为P是焦点为F1，F2的椭圆上的一点，PQ为∠F1PF2的外角平分线，QF1⊥PQ，
设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，所以|PM|＝|PF1|，
∵|PF1|+|PF2|＝2a＝10，∴|MF2|＝|PF1|+|PF2|，
所以由题意得OQ是△F1F2M的中位线，所以|OQ|＝a＝5，
所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时，
Q与短轴端点取最近距离d＝5﹣4＝1．
故选：A．
3．【解答】解：直线l：kx+y﹣k+1＝0，整理得k（x﹣1）+（y+1）＝0，故，解得，即直线l恒过点（1，﹣1）；
设点（1，﹣1）关于直线x+y﹣2＝0的对称点的坐标为（a，b），
故，解得，即直线l′必过点（3，1）．
故选：A．
4．【解答】解：由椭圆，可得a＝＝2，c＝＝，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由题意可得：cs＝＝﹣，m+n＝2×2，
解得mn＝8，
∴△F1PF2的面积为×8×sin＝2．
故选：A．
5．【解答】解：由题意可得，可得b＝1，a＝，所以椭圆的方程为：+y2＝1，
由圆C2可知半径为1，圆心C2（0，3），
设∠MC2N＝2θ，csθ＝，
则•＝||||cs∠MPN＝||2（1﹣2cs2θ）＝（﹣1）（1﹣2•）＝﹣1﹣2+2•+，
设t＝，则t∈[4，16]，
所以y＝t+2•在t∈[4，16]上单调递增，所以t＝4时，y最小，且最小值为4+2＝，
所以•的最小值为﹣3+＝．
故选：D．
二．多选题（共4小题）
6．【解答】解：对于A，直线的斜率k＝﹣，∴该直线的倾斜角为120°，故A正确；
对于B，当直线的横截距a＝0时，该直线过点（2，1）和（0，0），
直线方程为，即x﹣2y＝0；
当a≠0时，纵截距为﹣a，直线方程为＝1，
把P（2，1）代入得：＝1，解得a＝1，
∴直线方程为x﹣y﹣1＝0，
综上，经过点P（2，1），且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为x﹣2y＝0或x﹣y﹣1＝0，故B错误；
对于C，直线l：mx+y+2﹣m＝0转化为（x﹣1）m+（y+2）＝0，
由，解得x＝1，y＝﹣2，
∴直线l恒过定点（1，﹣2），故C正确；
对于D，直线l1：ax+2ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣4＝0，l1⊥l2，
∴a（a﹣1）+2a（﹣a﹣1）＝0，解得a＝﹣3或0，
当a＝0时，直线l1：ax+2ay+1＝0没有意义，故a＝﹣3，故D错误．
故选：AC．
7．【解答】解：由题意，可得，b＝5，c＝5，
则，椭圆C的离心率为，故A正确，B错误；
∵a﹣c≤|PF1|≤a+c，∴，C正确；
当点P位于短轴的端点时，∠F1PF2取得最大值，
此时，|F1F2|＝2c＝10，
故PF1⊥PF2，即∠F1PF2的最大值为，D正确．
故选：ACD．
8．【解答】解：将x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0整理可得：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，
设圆心C（2，1），半径r＝1，
对于ABD，令y＝kx，即＝4，x+y＝a，
则两条直线都与圆有公共点，
所以，，
解得，0，
故x+y的最大值为3+，的最大值为，故ABD正确；
对于C，原点到圆心的距离为d＝，
则圆上的点到原点的距离为[|OC|﹣r，|OC|+r]，
而|OC|＝＝，
即[]，
所以，
可得，
故x2+y2的最大值为6+2，故C错误．
故选：ABD．
9．【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以：，
故：＝+2＝36+36+36+3×2×6×6×cs60°＝216；
整理得：，故A错误；
对于B：由于底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
由于，
所以AC1⊥BD，故BD⊥平面ACC1，故B正确；
对于C：由于，△AA1D为等边三角形，
所以和的夹角为120°，故向量与的夹角是120°，故C错误；
对于D：，，
利用：，解得：，
，
由于，
所以，故D正确．
故选：AC．
三．填空题（共5小题）
10．【解答】解：如图，设AC中点为M，连接OM，
则OM为△ABC的中位线，
于是△OFM∽△AFB，且＝＝，
即＝可得e＝＝．
故答案为：．
11．【解答】解：由椭圆方程可得：a2＝4，b2＝2，所以a＝2，c＝，则，
又由椭圆的定义可得：|MF1|+|MF2|＝2a＝4，
所以|MF1|＝4﹣|MF2|，
由圆E的方程可得圆心E（3），半径R＝1，
则|MN|﹣|MF1|＝|MN|﹣（4﹣|MF2|）＝|MN|+|MF2|﹣4≥|EF2|﹣R﹣4＝﹣1﹣4＝﹣1，
即当F2，M，N，E四点共线时取得最小值为﹣1，
|MN|﹣|MF1|≤|ME|﹣|MF1|+1≤|EF1|+1＝2+1，
当F1，M，N，E四点共线时取得最大值为2+1，
故|MN|﹣|MF1|的取值范围为[﹣1，2+1]，
故答案为：[﹣1，2+1]．
12．【解答】解：若直线l经过原点，满足条件，可得直线l的方程为y＝2x．
若直线l不经过原点，可设直线l的方程为+＝1，
把点（1，2）代入可得+＝1，解得a＝2．
∴直线l的方程为+＝1，即2x+y﹣4＝0．
综上可得直线l的方程为y＝2x或2x+y﹣4＝0．
故答案为：y＝2x或2x+y﹣4＝0．
13．【解答】解：根据题意，对于点P（2csθ，sinθ），令x＝2csθ，y＝sinθ，则点P在椭圆+y2＝1上，
直线x﹣my﹣3＝0，即my＝x﹣3，恒过定点（3，0），设M（3，0），
d为椭圆+y2＝1上任意一点到过定点M（3，0）的直线x﹣my﹣3＝0的距离，
则当m＝0，即直线x﹣my﹣3＝0与x轴垂直，且点P的坐标为（﹣2，0）时，d取得最大值，其最大值为5．
如图：
故答案为：5．
14．【解答】解：如图，
在△OPA中，OA⊥PA，PO＝2，OA＝1，
则PA＝，∠OPA＝，在△OPD中，OD⊥PD，PO＝2，
设∠OPD＝α，α∈（﹣，），则PD＝2csα，
所以＝||||cs∠APD＝2csαcs（）
＝3cs2α﹣csαsinα＝3×﹣sin2α
＝cs（2α+）+，
因为α∈（﹣，），所以2α+∈（﹣，），
当2α+＝0，即α＝﹣时，有最大值，最大值为+，
当α＝时，•＝，的取值范围为（，+]．
故答案为：（，+]．
四．解答题（共6小题）
15．【解答】解：（1）设P（x，y），M（x0，y0），Q（8，0），
根据动点M在圆x2+y2＝16上运动，它与定点Q（8，0）所连线段的中点为P，
解得，
由，得（2x﹣8）2+（2y）2＝16，
∴点P的轨迹方程是（x﹣4）2+y2＝4．
（2）当切线在两坐标轴上截距均为0时，
设切线y＝kx，由相切得，
∴，
所以切线方程为：，
当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线x+y＝a（a≠0）
由相切有，∴，切线方程为，
综上：切线方程为或．
16．【解答】解：（1）由已知可得，则，
∴椭圆M的两个焦点分别为、，
由椭圆的定义可得，
则，
∴，
因此，椭圆M的方程为．
（2）设直线AB的方程为y＝x+m，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立，
可得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，
Δ＝36m2﹣4×4×3（m2﹣1）＝48﹣12m2＞0，解得﹣2＜m＜2，
由韦达定理可得，，
∴
，
当且仅当m＝0时，等号成立，故|AB|的最大值为．
17．【解答】证明：（1）解：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又AB⊥AD，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0），E（2，1，0），D（0，2，0），C（2，4，0），P（0，0，4），
所以，
所以，
所以DE⊥AP，DE⊥AC，且AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，
所以DE⊥平面PAC；
（2）解：由（1）知＝（2，﹣1，0）是平面PAC的一个法向量，，
设平面PCD的一个法向量为，
所以，即，
令z＝﹣1，则x＝2，y＝﹣2，
所以，
所以，
又由图可知二面角A﹣PC﹣D的平面角为锐角，
所以二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为；
（3）解：由（1）得．
设，则，
可得Q（2﹣2λ，4﹣4λ，4λ），所以，
由（2）知是平面PCD的一个法向量．
若QE⊥平面PCD，可得，
则，该方程无解，
所以直线QE不能与平面PCD垂直．
18．【解答】（1）解：由题意可得，
可得a2＝4，b2＝1，
所以椭圆的方程为：+y2＝1；
（2）证明：由（1）可得A（0，1），B（0，﹣1），C（2，0），
可得直线AC的方程为y＝﹣x+1，
即x+2y﹣2＝0，
设P（x0，y0），（x0≠0 且x0≠±2），
则+＝1，
可得直线BP的方程为y＝x﹣1，
联立，
可得，
即Q（，），
设R（0，t），
则，
即t＝，
即R（），
则＝，
则直线RQ方程为，
即，
令x＝2，则y＝﹣1，
则直线RQ过定点（2，﹣1）．
19．【解答】解：（1）圆O1的方程为x2+（y+1）2＝4，圆心坐标（0，﹣1），半径为：2，
圆O2的圆心O2（2，1）．
圆心距为：＝2，圆O2与圆O1外切，
所求圆的半径为：2，
圆O2的方程（x﹣2）2+（y﹣1）2＝12﹣8，
（2）圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝2．
所以圆O1到AB的距离为：＝，
当圆O2到AB的距离为：，
圆O2的半径为：＝2．
圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．
当圆O2到AB的距离为：3，
圆O2的半径为：＝．
圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝20．
综上：圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4或（x﹣2）2+（y﹣1）2＝20．
20．【解答】解：（1）∵圆x2+y2﹣2x﹣15＝0可化为（x﹣1）2+y2＝16
所以圆心M（1，0），半径|MB|＝4，
又因为过点N作AM的平行线交BM于点C所以AM∥NC，
又因为|MA|＝|MB|所以∠BNC＝∠BAM＝∠NBC所以|CN|＝|CB|，
所以|CM|+|CN|＝|CM|+|CB|＝|MB|＝4＞|MN|＝2，
所以点C的轨迹为椭圆，由椭圆定义可得点C的轨迹方程为（y≠0）；
（2）由（1）可知点C的轨迹方程为：（y≠0），
直线l1：y＝kx与曲线C交于P，Q两点，可知k≠0，设P（x1，y1）
联立消y得（3+4k2）x2＝12解得 ，
，
∵△PQR是以PQ为底的等腰三角形∴RO⊥PQ∴kRO•kPQ＝﹣1则
同理：，
∴＝＝，
，
当且仅当3+4k2＝4+3k2，即k＝±1时取等号，
∴．
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