江苏南京市第九中学2024-2025学年高三数学上第六周周测试卷【含答案】

这是一份江苏南京市第九中学2024-2025学年高三数学上第六周周测试卷【含答案】，共27页。试卷主要包含了双曲线﹣＝1，已知函数f，记函数f，设a＝20.7，b＝，已知双曲线﹣＝1等内容，欢迎下载使用。
1．双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣＝1B．﹣＝1
C．﹣＝1D．﹣＝1
2．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间（，）单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图像的两条对称轴，则f（﹣）＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
3．已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则•的最大值为（ ）
A．B．C．1+D．2+
4、已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与
圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cs∠F1PF2＝，则|PO|＝（ ）
A．B．C．D．
6．记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（ ）
A．1B．C．D．3
7．设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b
8．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．0D．1
9．设a＝20.7，b＝（）0.7，c＝lg2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．c＜b＜a
10．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝4x的准线l经过F1，且l与双曲线的一条渐近线交于点A．若∠F1F2A＝，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣＝1B．﹣＝1
C．﹣y2＝1D．x2﹣＝1
11．关于函数f（x）＝sin2x，给出下列结论：
①f（x）的最小正周期为2π；
②f（x）在[﹣，]上单调递增；
③当x∈[，]时，f（x）的取值范围为[﹣，]；
④f（x）的图象可由g（x）＝sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．多选题（共5小题）
（多选）12．已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（ ）
A．f（x）有两个极值点
B．f（x）有三个零点
C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线
（多选）13．已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切
C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2
（多选）14．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（ ）
A．f（x）在区间（0，）单调递减
B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴
D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线
（多选）15．已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（ ）
A．直线AB的斜率为2B．|OB|＝|OF|
C．|AB|＞4|OF|D．∠OAM+∠OBM＜180°
（多选）16．若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（ ）
A．x+y≤1B．x+y≥﹣2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1
三．填空题（共8小题）
17．已知过原点O的直线l与圆（x+2）2+y2＝3相切，且l与抛物线y2＝2px（p＞0）交于O，A两点．若|OA|＝8，则p＝ ．
18．设a∈R，函数f（x）＝ax2﹣2x﹣|x2﹣ax+1|．若f（x）恰有两个零点，则a的取值范围为 ．
19．设a∈（0，1），若函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是 ．
20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 ．
21．曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
设点A（﹣2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与
圆（x+3）2+（y+2）2＝1有公共点，则a的取值范围是 ．
23．已知直线l与椭圆+＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为 ．
24．设a∈R．对任意实数x，用f（x）表示|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5中的较小者．若函数f（x）至少有3个零点，则a的取值范围为 ．
四．解答题（共3小题）
25．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，A、C分别为E的上、下顶点，B、D分别为E的左、右顶点，|AC|＝4．
（1）求E的方程；
（2）点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝﹣2交于点N．求证：MN∥CD．
26．设抛物线C：y2＝2px（p＞0），直线x﹣2y+1＝0与C交于A，B两点，且|AB|＝4．
（1）求p的值；
（2）F为y2＝2px的焦点，M，N为抛物线上的两点，且•＝0，求△MNF面积的最小值．
27．椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点F、右顶点A和上顶点B满足＝．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若|OM|＝|ON|，且△MON的面积为，求椭圆的方程．
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．【解答】解：因为过F2（c，0）作一条渐近线y＝的垂线，垂足为P，
则|PF2|＝＝b＝2，
所以b＝2①，
联立，可得x＝，y＝，即P（，），
因为直线PF1的斜率＝，
整理得（a2+c2）＝4ab②，
①②联立得，a＝，b＝2，
故双曲线方程为＝1．
故选：D．
2．【解答】解：根据题意可知＝，
∴T＝π，取ω＞0，∴ω＝＝2，
又根据“五点法”可得，k∈Z，
∴φ＝，k∈Z，
∴f（x）＝sin（2x）＝sin（2x﹣），
∴f（﹣）＝sin（﹣）＝sin（﹣）＝sin＝．
故选：D．
3．【解答】解：如图，设∠OPC＝α，则，
根据题意可得：∠APO＝45°，
∴
＝
＝cs2α﹣sinαcsα
＝
＝，又，
∴当，α＝，cs（）＝1时，
取得最大值．
故选：A．
4．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，
可得c＝a，所以b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，
一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，
圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，
所以|AB|＝2＝．
故选：D．
5．【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c＝，
O为原点，P为椭圆上一点，，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，
可得m+n＝6，4c2＝m2+n2﹣2mncs∠F1PF2，即12＝m2+n2﹣mn，可得mn＝，m2+n2＝21，
＝（），
可得|PO|2＝
＝（m2+n2+2mncs∠F1PF2）
＝（m2+n2+mn）
＝（21+）＝．
可得|PO|＝．
故选：B．
6．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，
则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，
∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，
且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．
∴，k∈Z，取k＝4，可得．
∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．
故选：A．
7．【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，
则f'（x）＝，x＞0，
当f'（x）＝0时，x＝1，
0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，
∴，（x＞0且x≠1），
∴ln0.9＞1﹣＝﹣，∴﹣ln0.9＜，∴c＜b；
∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴，
∴0.1e0.1＜，∴a＜b；
设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0≤x＜1），
则＝，
令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），
当0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
当时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，h（x）＜0，
当0＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，
∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，
∴c＜a＜b．
故选：C．
8．【解答】解：令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），
∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），
∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
∴f（x）的周期为6，
令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，
又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），
∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，
f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，
f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，
f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，
∴，
∴＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣3．
故选：A．
9．【解答】解：因为y＝2x是定义域R上的单调增函数，所以20.7＞20＝1，即a＝20.7＞1；
因为y＝是定义域R上的单调减函数，所以＜＝1，且b＝（）0.7，所以0＜b＜1；
因为y＝lg2x是定义域（0，+∞）上的单调增函数，所以lg2＜lg21＝0，即c＝lg2＜0；
所以c＜b＜a．
故选：D．
10．【解答】解：由题意可得抛物线的准线为x＝，又抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，
∴c＝，联立，可得|yA|＝，又∠F1F2A＝，
∴|yA|＝|F1F2|，
∴，∴b＝2a，∴b2＝4a2，
又c2＝a2+b2，
∴5＝a2+4a2，
∴a2＝1，b2＝4，
∴双曲线的标准方程为．
故选：D．
11．【解答】解：对于f（x）＝sin2x，它的最小正周期为＝π，故①错误；
在[﹣，]，2x∈[﹣，]，函数f（x）单调递增，故②正确；
当x∈[，]时，2x∈[﹣，]，f（x）的取值范围为[﹣，]，故③错误；
f（x）的图象可由g（x）＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到，故④错误，
故选：A．
二．多选题（共5小题）
12．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得，
∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，且，
∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；
又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，则f（x）关于点（0，1）对称，故选项C正确；
假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），则，解得或，
显然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲线y＝f（x）上，故选项D错误．
故选：AC．
13．【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，
∴2p＝1，解得，
∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为，选项A错误；
由于A（1，1），B（0，﹣1），则，直线AB的方程为y＝2x﹣1，
联立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；
根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，则x1+x2＝k，x1x2＝1，，
，由于等号在x1＝x2＝y1＝y2＝1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；
＝，选项D正确．
故选：BCD．
14．【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，
所以+φ＝kπ，k∈Z，
所以φ＝kπ﹣，
因为0＜φ＜π，
所以φ＝，
故f（x）＝sin（2x+），
令2x+，解得﹣＜x＜，
故f（x）在（0，）单调递减，A正确；
x∈（﹣，），2x+∈（，），
根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣，）只有一个极值点，故B错误；
令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C显然错误；
f（x）＝sin（2x+），
求导可得，f'（x）＝，
令f'（x）＝﹣1，即，解得x＝kπ或（k∈Z），
故函数y＝f（x）在点（0，）处的切线斜率为k＝，
故切线方程为y﹣，即y＝，故D正确．
故选：AD．
15．【解答】解：如图，
∵F（，0），M（p，0），且|AF|＝|AM|，∴A（，），
由抛物线焦点弦的性质可得，则，则B（，﹣），
∴，故A正确；
，|OF|＝，|OB|≠|OF|，故B错误；
|AB|＝＞2p＝4|OF|，故C正确；
，，，，|OM|＝p，
∵|OA|2+|AM|2＞|OM|2，|OB|2+|BM|2＞|OM|2，
∴∠OAM，∠OBM均为锐角，可得∠OAM+∠OBM＜180°，故D正确．
故选：ACD．
16．【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1，
令，则，
∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对，
∵x2+y2＝＝＝∈[，2]，
故C对，D错，
方法二：对于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，即，
∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对，
对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy，
∴x2+y2≤2，故C对；
∵﹣xy≤，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2+＝，
∴，故D错误．
故选：BC．
三．填空题（共8小题）
17．【解答】解：如图，
由题意，不妨设直线方程为y＝kx（k＞0），即kx﹣y＝0，
由圆C：（x+2）2+y2＝3的圆心C（﹣2，0）到kx﹣y＝0的距离为，
得，解得k＝（k＞0），
则直线方程为y＝，
联立，得或，即A（）．
可得|OA|＝，解得p＝6．
故答案为：6．
18．【解答】解：①当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣|x2+1|＝﹣2x﹣x2﹣1，不满足题意；
②当方程x2﹣ax+1＝0满足a≠0且△≤0时，
有a2﹣4≤0即a∈[﹣2，0）∪（0，2]，
此时，f（x）＝（a﹣1）x2+（a﹣2）x﹣1
，当a＝1时，不满足，
当a≠1时，Δ＝（a﹣2）2+4（a﹣1）＝a2＞0，满足；
③Δ＞0时，a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
记x2﹣ax+1的两根为m，n，不妨设m＜n，
则f（x）＝，
当a＞2时，x1＝，x2＝﹣1且x∈（﹣∞，m]∪[n，+∞），
但此时﹣ax1+1＝＜0，舍去x1，
x3＝，x4＝1，且x∈（m，n），
但此时﹣ax3+1＝＞0，舍去x3，
故仅有1与﹣1两个解，即f（x）有且仅有两个零点，
当a＜﹣2时，有﹣ax2+1＝a+2＜0，舍去x2，＝2﹣a＞0，舍去x4，
故仅有和两个解，即f（x）有且仅有两个零点，
综上，a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．
19．【解答】解：∵函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＝axlna+（1+a）xln（1+a）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即（1+a）xln（1+a）≥﹣axlna，化简可得在（0，+∞）上恒成立，
而在（0，+∞）上＞1，
故有，由a∈（0，1），化简可得ln（1+a）≥ln，
即1+a，a2+a﹣1≥0，
解答，
故a的取值范围是[，1）．
故答案为：[，1）．
20．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，
∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，
∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，
∴△AF1F2为等边三角形，
∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，
∴，
由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，
设直线DE方程为y＝，D（x1，y1），E（x2，y2），
将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，
由韦达定理可得，，，
|DE|＝＝＝＝，解得c＝，
△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a＝8c＝．
故答案为：13．
21．【解答】解：当x＞0时，y＝lnx，设切点坐标为（x0，lnx0），
∵y'＝，∴切线的斜率k＝，
∴切线方程为y﹣lnx0＝（x﹣x0），
又∵切线过原点，∴﹣lnx0＝﹣1，
∴x0＝e，
∴切线方程为y﹣1＝，即x﹣ey＝0，
当x＜0时，y＝ln（﹣x），与y＝lnx的图像关于y轴对称，
∴切线方程也关于y轴对称，
∴切线方程为x+ey＝0，
综上所述，曲线y＝ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为x﹣ey＝0，x+ey＝0，
故答案为：x﹣ey＝0，x+ey＝0．
22．【解答】解：点A（﹣2，3），B（0，a），kAB＝，所以直线AB关于y＝a对称的直线的斜率为：，所以对称直线方程为：y﹣a＝，即：（3﹣a）x﹣2y+2a＝0，
（x+3）2+（y+2）2＝1的圆心（﹣3，﹣2），半径为1，
所以，得12a2﹣22a+6≤0，解得a∈[，]．
故答案为：[，]．
23．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为E，
由+＝1，+＝1，
相减可得：＝﹣，
则kOE•kAB＝•＝＝﹣，
设直线l的方程为：y＝kx+m，k＜0，m＞0，M（﹣，0），N（0，m），
∴E（﹣，），∴kOE＝﹣k，
∴﹣k•k＝﹣，解得k＝﹣，
∵|MN|＝2，∴＝2，化为：+m2＝12．
∴3m2＝12，m＞0，解得m＝2．
∴l的方程为y＝﹣x+2，即x+y﹣2＝0，
故答案为：x+y﹣2＝0．
24．【解答】解：设g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，由|x|﹣2＝0可得x＝±2．
要使得函数f（x）至少有3个零点，则函数g（x）至少有一个零点，
则Δ＝a2﹣4（3a﹣5）≥0，
解得a≤2或a≥10．
①当a＝2时，g（x）＝x2﹣2x+1，作出函数g（x）、h（x）的图象如图所示：
此时函数f（x）只有两个零点，不满足题意；
②当a＜2时，设函数g（x）的两个零点分别为x1、x2（x1＜x2），
要使得函数f（x）至少有3个零点，则x2≤﹣2，
所以，，解得a∈∅；
③当a＝10时，g（x）＝x2﹣10x+25，作出函数g（x）、h（x）的图象如图所示：
由图可知，函数f（x）的零点个数为3，满足题意；
④当a＞10时，设函数g（x）的两个零点分别为x3、x4（x3＜x4），
要使得函数f（x）至少有3个零点，则x3≥2，
可得，解得a＞4，此时a＞10．
综上所述，实数a的取值范围是[10，+∞）．
故答案为：[10，+∞）．
四．解答题（共3小题）
25．【解答】解：（1）由题意可得：2b＝4，e＝＝，a2＝b2+c2，
解得b＝2，a2＝9，
∴椭圆E的方程为+＝1．
（2）证明：A（0，2），B（﹣3，0），C（0，﹣2），D（3，0），
直线BC的方程为+＝1，化为2x+3y+6＝0．
设直线AP的方程为：y＝kx+2，（k＜0），∴N（，﹣2）．
联立，化为：（4+9k2）x2+36kx＝0，
解得x＝0或﹣，
∴P（﹣，）．
直线PD方程为：y＝（x﹣3），即y＝（x﹣3），
与2x+3y+6＝0联立，解得x＝，y＝．
∴M（，）．
∴kMN＝＝，
kCD＝，
∴MN∥CD．
26．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，
消去x得：y2﹣4py+2p＝0，
∴y1+y2＝4p，y1y2＝2p，Δ＝16p2﹣8p＞0，
∴p（2p﹣1）＞0，∴p＞，
|AB|＝|y1﹣y2|＝＝4，
∴16p2﹣8p＝48，∴2p2﹣p﹣6＝0，∴（2p+3）（p﹣2）＝0，
∴p＝2；
（2）由（1）知y2＝4x，所以F（1，0），显然直线MN的斜率不可能为零，
设直线MN：x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），
由，可得y2﹣4my﹣4n＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
Δ＝16m2+16n＞0→m2+n＞0，
因为，所以（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝0，
即（my1+n﹣1）（my2+n﹣1）+y1y2＝0，即 ，
将y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，代入得4m2＝n2﹣6n+1，
∴4（m2+n）＝（n﹣1）2＞0，所以n≠1，且n2﹣6n+1≥0，解得n≥3+2或n≤3﹣2．
设点F到直线MN的距离为d，所以d＝，
|MN|＝|y1﹣y2|＝＝
＝＝2|n﹣1|，
所以△MNF的面积S＝|MN|×d＝××2|n﹣1|，
又或，所以当n＝3﹣2时，△MNF的面积Smin＝（2﹣2）2＝12﹣8，
当直线MN的斜率可不存在时，
由题意设M点坐标为（a+1，a），a＞0，
则a2＝4（a+1），解得a＝2+2，
此时△MNF的面积S＝|MN|×d＝＝12+8．
综上，△MNF面积的最小值为12﹣8．
27．【解答】解：（1）∵＝＝，∴，
∴a2＝3b2，
∴a2＝3（a2﹣c2），∴2a2＝3c2，
∴e＝＝；
（2）由（1）可知椭圆为，
即x2+3y2＝a2，
设直线l：y＝kx+m，联立x2+3y2＝a2，消去y可得：
（3k2+1）x2+6kmx+（3m2﹣a2）＝0，又直线l与椭圆只有一个公共点，
∴Δ＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣a2）＝0，∴3m2＝a2（3k2+1），
又，∴，
又|OM|＝|ON|，∴，
解得，∴k＝±，
又△OMN的面积为＝＝，
∴，∴m2＝4，
又k＝，3m2＝a2（3k2+1），∴a2＝6，b2＝2，
∴椭圆的标准方程为．
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