江苏南京市第九中学2024-2025学年高三数学上第一次月考模拟训练【含答案】

这是一份江苏南京市第九中学2024-2025学年高三数学上第一次月考模拟训练【含答案】，共18页。试卷主要包含了已知函数为f，设函数f，已知函数，设椭圆C1，已知sin，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．[0，+∞）
2．当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
3．设函数f（x）＝（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，则a2+b2的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
4．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．则函数在的最小值是（ ）
A．﹣B．﹣C．0D．
5．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．设函数f（x）＝sinωx（ω＞0）．已知f（x1）＝﹣1，f（x2）＝1，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．设椭圆C1：+y2＝1（a＞1），C2：+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝e1，则a＝（ ）
A．B．C．D．
8．已知sin（α﹣β）＝，csαsinβ＝，则cs（2α+2β）＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
9．已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（ ）
A．B．C．D．
10．已知α为锐角，csα＝，则sin＝（ ）
A．B．C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（ ）
A．x＝3是f（x）的极小值点
B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0
D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）
（多选）12．抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A：x2+（y﹣4）2＝1的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
（多选）13．已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），则（ ）
A．f（0）＝0
B．f（1）＝0
C．f（x）是偶函数
D．x＝0为f（x）的极小值点
（多选）14．若函数f（x）＝alnx++（a≠0）既有极大值也有极小值，则（ ）
A．bc＞0B．ab＞0C．b2+8ac＞0D．ac＜0
三．填空题（共6小题）
15．设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 ．
16．若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝ ．
17．（x﹣1）2+y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F重合，两曲线与第一象限交于点P，则原点到直线PF的距离为 ．
18．若直线y＝k（x﹣3）与双曲线只有一个公共点，则k的一个取值为 ．
19．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝﹣，则C的离心率为 ．
20．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|＝，则f（π）＝ ．
四．解答题（共1小题）
21．已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：函数为f（x）＝在R上单调递增，
可知：，
可得a∈[﹣1，0]．
故选：B．
2．【解答】解：在同一坐标系中，作出函数y＝sinx与y＝2sin（3x﹣）在[0，2π]上的图象如下，
由图象可知，当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为6个．
故选：C．
3．【解答】解：f（x）的定义域为（﹣b，+∞），
令x+a＝0，得x＝﹣a，令ln（x+b）＝0，得x＝1﹣b，
因为f（x）≥0，
当﹣b＜x＜1﹣b时，ln（x+b）＜0，所以x+a≤0，则1﹣b+a≤0，
当x＞1﹣b时，ln（x+b）＞0，所以x+a≥0，则1﹣b+a≥0，
故1﹣b+a＝0，即b﹣a＝1，
所以，当且仅当，时等号成立．
故选：C．
4．【解答】解：∵函数＝sin（3ωx+π），（ω＞0）
T＝＝π，ω＝，
可得f（x）＝sin（2x+π）＝﹣sin2x，x∈，2x∈[﹣，]，
所以f（x）在2x∈[﹣，]上单调递减，
﹣sin＝﹣，
故函数取最小值是﹣．
故选：A．
5．【解答】解：根据题意，画出图形，如下图：
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m﹣n＝2a，
因为△PF1F2是面积为8的直角三角形，
所以m2+n2＝（2c）2＝4c2，＝8，
因为直线PF2的斜率为2，所以tan∠F1F2P＝＝2，
所以m＝2n，
联立，解得，
所以2a＝m﹣n＝2，即a＝，
所以4c2＝m2+n2＝40，即c2＝10，
所以b2＝c2﹣a2＝10﹣2＝8，
所以双曲线的方程为＝1．
故选：C．
6．【解答】解：因为f（x）＝sinωx，
则f（x1）＝﹣1为函数的最小值，f（x2）＝1为函数的最大值，
又＝，
所以T＝π，ω＝2．
故选：B．
7．【解答】解：由椭圆C2：+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2＝＝，
∴椭圆C2的离心率为e2＝，
∵e2＝e1，∴e1＝，∴＝，
∴＝4＝4（﹣）＝4（﹣1），
即3＝4，
解得a1＝（负的舍去），
即a＝．
故选：A．
8．【解答】解：因为sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣sinβcsα＝，csαsinβ＝，
所以sinαcsβ＝，
所以sin（α+β）＝sinαcsβ+sinβcsα＝＝，
则cs（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×＝．
故选：B．
9．【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），
椭圆C：的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），
由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，
∴|﹣﹣xM|＝2|﹣xM|，解得xM＝或xM＝3，
∴﹣m＝或﹣m＝3，∴m＝﹣或m＝﹣3，
联立可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，
∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，
∴m＝﹣3不符合题意，
故m＝．
故选：C．
10．【解答】解：csα＝，
则csα＝，
故＝1﹣csα＝，即＝＝，
∵α为锐角，
∴，
∴sin＝．
故选：D．
二．多选题（共4小题）
11．【解答】解：对于A，f′（x）＝2（x﹣1）（x﹣4）+（x﹣1）2＝3（x﹣1）（x﹣3），
易知当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（1，3）上单调递减，
当x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（﹣∞，1），（3，+∞）上单调递增，
故x＝3是函数f（x）的极小值点，选项A正确；
对于B，当0＜x＜1时，0＜x2＜1，且x2＜x，
又f（x）在（0，1）上单调递增，
则f（x2）＜f（x），选项B错误；
对于C，由于1＜x＜2，
一方面，f（2x﹣1）＝（2x﹣2）2（2x﹣5）＝4（x﹣1）2（2x﹣5）＜0，
另一方面，f（2x﹣1）+4＝4（x﹣1）2（2x﹣5）+4＝4[（x﹣1）2（2x﹣5）+1]＝4（x﹣2）2（2x﹣1）＞0，
则﹣4＜f（2x﹣1）＜0，选项C正确；
对于D，由于﹣1＜x＜0，
则f（2﹣x）﹣f（x）＝（x﹣1）2（﹣2﹣x）﹣（x﹣1）2（x﹣4）＝（x﹣1）2（2﹣2x）＝﹣2（x﹣1）3＞0，
即f（2﹣x）＞f（x），选项D正确．
故选：ACD．
12．【解答】解：对于A，抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，是x2+（y﹣4）2＝1的一条切线，选项A正确；
对于B，⊙A的圆心为A（0，4），当P、A、B三点共线时，P（4，4），所以，选项B正确；
对于C，当PB＝2时，P（1，2）或P（1，﹣2），对应的B（﹣1，2）或（﹣1，﹣2），
当P（1，2）时，AB＝PA＝，PB＝2，PA与AB不垂直，
当P（1，﹣2）时，AB＝PA＝，PB＝2，PA与AB不垂直，选项C错误；
对于D，焦点F（1，0），由抛物线的定义知PB＝PF，则PA＝PB等价于P在AF的中垂线上，
该直线的方程为，它与抛物线有两交点，选项D正确．
故选：ABD．
13．【解答】解：由f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），
取x＝y＝0，可得f（0）＝0，故A正确；
取x＝y＝1，可得f（1）＝2f（1），即f（1）＝0，故B正确；
取x＝y＝﹣1，得f（1）＝2f（﹣1），即f（﹣1）＝f（1）＝0，
取y＝﹣1，得f（﹣x）＝f（x），可得f（x）是偶函数，故C正确；
由上可知，f（﹣1）＝f（0）＝f（1）＝0，而函数解析式不确定，
不妨取f（x）＝0，满足f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），
常数函数f（x）＝0无极值，故D错误．
故选：ABC．
14．【解答】解：函数定义域为（0，+∞），
且f′（x）＝﹣﹣＝，
由题意，方程f′（x）＝0即ax2﹣bx﹣2c＝0有两个正根，设为x1，x2，
则有x1+x2＝＞0，x1x2＝＞0，Δ＝b2+8ac＞0，
∴ab＞0，ac＜0，
∴ab•ac＝a2bc＜0，即bc＜0．
故选：BCD．
三．填空题（共6小题）
15．【解答】解：由题意知，|F1A|＝13，|F2A|＝|AB|＝5，
所以|F1A|﹣|F2A|＝2a＝8，解得a＝4；
又x＝c时，y＝，即|F2A|＝＝5，
所以b2＝5a＝20，
所以c2＝a2+b2＝16+20＝36，所以c＝6，
所以双曲线C的离心率为e＝＝．
故答案为：．
16．【解答】解：曲线y＝ex+x，可得y′＝ex+1，
在点（0，1）处切线的斜率为：e0+1＝2，
切线方程为：y﹣1＝2x，即y＝2x+1．
曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，
设y＝ln（x+1）+a的切点的横坐标为x，可得切线的斜率为：＝2，可得x＝，
x＝代入y＝2x+1，可得切点坐标为：（﹣，0），
切点在曲线y＝ln（x+1）+a上，所以0＝ln（﹣+1）+a，解得a＝ln2．
故答案为：ln2．
17．【解答】解：∵（x﹣1）2+y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F重合，
∴F（1，0），∴p＝2，
∴y2＝4x，
联立，得或，
∵两曲线与第一象限交于点P，∴P（4，4），
∴直线PF的方程为＝＝，即4x﹣3y﹣4＝0，
∴原点到直线PF的距离为d＝＝．
故答案为：．
18．【解答】解：联立，化简可得（1﹣4k2）x2+24k2x﹣36k2﹣4＝0，
因为直线y＝k（x﹣3）与双曲线只有一个公共点，
故1﹣4k2＝0，或Δ＝（24k2）2+4（1﹣4k2）（36k2+4）＝0，
解得k＝或k无解，
当k＝时，符合题意．
故答案为：（或﹣）．
19．【解答】解：（法一）如图，设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n），
设A（x，y），则，
又，则，可得，
又⊥，且，
则，化简得n2＝4c2．
又点A在C上，
则，整理可得，
代n2＝4c2，可得，即，
解得或（舍去），
故．
（法二）由，得，
设，由对称性可得，
则，
设∠F1AF2＝θ，则，
所以，解得t＝a，
所以，
在△AF1F2 中，由余弦定理可得，
即5c2＝9a2，则．
故答案为：．
20．【解答】解：由题意：设A（x1，），B（x1+，），
由y＝sin（ωx+φ）的图象可知：
f（x1）＝sin（ωx1+φ）＝，故，
f（x2）＝sin[+φ]＝，则，
两式相减得：，
由图可知：T＜，即，解得ω∈（3，6），
∵ω＝4+12（k2﹣k1），k2﹣k1∈Z
∴ω＝4，∴f（x）＝sin（4x+φ），
又f（）＝sin（+φ）＝0，∴+φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝﹣+kπ，k∈Z，∵f（0）＝sinφ＜0，
∴当k＝2时，φ＝﹣满足条件，
∴
∴f（π）＝sin（4π﹣）＝﹣．
故答案为：﹣．
四．解答题（共1小题）
21．【解答】解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为，
则，解得，
故双曲线C的方程为；
（2）证明：过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，
则可设直线MN的方程为x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2），
记C的左，右顶点分别为A1，A2，
则A1（﹣2，0），A2（2，0），
联立，化简整理可得，（4m2﹣1）y2﹣32my+48＝0，
故Δ＝（﹣32m）2﹣4×48×（4m2﹣1）＝256m2+192＞0且4m2﹣1≠0，
，，
直线MA1的方程为，直线NA2方程y＝，
故＝＝
＝
＝
＝，
故，解得x＝﹣1，
所以xP＝﹣1，
故点P在定直线x＝﹣1上运动．著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/29 6:52:50；用户：刘玉松；邮箱：abrahamhenry@sina.cm；学号：4631247