江苏南京市第九中学2024-2025学年高二数学上第六周周测试卷【含答案】

这是一份江苏南京市第九中学2024-2025学年高二数学上第六周周测试卷【含答案】，共18页。试卷主要包含了已知直线l1，已知曲线C，以下四个命题表述正确的是，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线l1：2x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二．多选题（共4小题）
（多选）2．已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y+a﹣2＝0，则（ ）
A．若l1∥l2，则a＝1或﹣3
B．若l2在x轴和y轴上的截距相等，则a＝1
C．若l1⊥l2，则a＝0或2
D．若l1∥l2，则l1与l2间的距离为
（多选）3．已知曲线C：mx2+ny2＝1．则下列命题正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
（多选）4．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．圆x2+y2＝4上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1
C．曲线C1：x2+y2+2x＝0与曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝4
D．已知圆C：x2+y2＝1，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，AB为切点，则直线AB经过定点
（多选）5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，若，则下面有关结论正确的是（ ）
A．e＝B．e＝2C．b＝D．b＝
三．填空题（共3小题）
6．若函数的图象与直线x﹣2y+m＝0有公共点，则实数m的取值范围为 ．
7．已知椭圆C：的离心率是，一个顶点是B（0，1），则椭圆C的方程为 ，且P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ，则直线PQ过定点 ．
8．已知长方形ABCD的边长AB＝2，BC＝1，P，Q分别是线段BC，CD上的动点，∠PAQ＝45°，则•的最小值为 ．
四．解答题（共7小题）
9．如图，过点E（1，0）的直线与圆O：x2+y2＝4相交于A、B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D．
（1）求弦长AB的最小值；
（2）求四边形ACBD面积S的取值范围．
10．以两条坐标轴为对称轴的椭圆C过点和，直线l与椭圆C相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点M的坐标为，求直线l的方程；
11．已知△ABC的三个顶点是A（1，2），B（﹣1，4），C（4，5）．
（1）求BC边的高所在直线l1的方程；
（2）若直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程．
12．已知圆C1圆心为原点，且与直线3x+4y﹣10＝0相切，直线l过点M（1，2）．
（1）求圆C1的标准方程；
（2）若直线l被圆C1所截得的弦长为2，求直线l的方程．
13．已知椭圆M：＝1（b＞0）的一个焦点为（2，0），设椭圆N的焦点恰为椭圆M短轴上的顶点，且椭圆N过点（，）．
（1）求N的方程；
（2）若直线y＝x﹣2与椭圆N交于A，B两点，求|AB|．
14．已知两圆，，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程C；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹方程C恒有两个交点M、N，且满足OM⊥ON？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．
15．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，连结PF1，PF2并延长，分别交椭圆于点A，B．已知△APF2的周长为8，△F1PF2面积最大值为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当P不是椭圆的顶点时，试分析直线OP和直线AB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．【解答】解：a＝2时，直线l1：2x﹣2y+1＝0，l2：x﹣y+2＝0，可得两条直线的斜率相同，在y轴的截距不同，所以两条直线平行，
即此时“a＝2”是“l1∥l2”的充分条件；
l1∥l2时，则＝≠，整理可得，解得a＝2，此时a＝2”是“l1∥l2”的必要条件，
综上所述：“a＝2”是“l1∥l2”的充要条件．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
2．【解答】解：若l1∥l2，由1×（3﹣2a）＝a×a，解得a＝1或﹣3，
经检验当a＝1时，l1，l2重合，当a＝﹣3时，l1∥l2，
所以a＝﹣3，故A错误；
若l2在x轴和y轴上截距相等，则l2过原点或其斜率为﹣1，则a﹣2＝0或，则a＝2或a＝1，故B错误；
若l1⊥l2，则1×a+a×（3﹣2a）＝0，解得a＝0或2，故C正确；
当l1∥l2时，a＝﹣3，则l1：x﹣3y+3＝0，l2：﹣3x+9y﹣5＝0，
即l2：，则l1与l2间的距离为，故D正确．
故选：CD．
3．【解答】解：对于A，若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，因为方程化为：＝1，0＜，焦点坐标在y轴，所以A正确；
对于B，若m＝n＞0，则C是圆，其半径为：，不一定是，所以B不正确；
对于，C若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为mx2＝﹣ny2，化简可得y＝x，所以C不正确；
对于，D若m＝0，n＞0，方程化为ny2＝1，则C是两条直线．所以D正确；
故选：AD．
4．【解答】解：对于A选项．截距相等的直线还可以过原点，不能用方程表示，故A选项错误．
对于B，圆心（0，0）到直线l：x﹣y+＝0的距离等于1，半径为r＝2，
平行于l：x﹣y+＝0且距离为1的两条直线分别过圆心以及和圆相切，
所以圆x2+y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x﹣y+＝0的距离都等于1，
故选项B正确；
对于C，圆C1：x2+y2+2x＝0，可得（x+1）2+y2＝1，圆心C1（﹣1，0），半径r＝1，
曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0，可得（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20﹣m＞0，圆心C2（2，4），半径R＝，
由题意可得，两圆外切，
所以|C1C2|＝r+R，即＝5＝1+，解得m＝4，故C正确；
设点P的坐标为（m，n），∴+＝1，以OP为直径的圆的方程为x2+y2﹣mx﹣ny＝0，
两圆的方程作差得直线AB的方程为：mx+ny＝1，消去n得，m（x﹣）+2y﹣1＝0，
令x﹣＝0，2y﹣1＝0，解得x＝，y＝，故直线AB经过定点（，），故D正确．
故选：BCD．
5．【解答】解：∵|PF1|＝2|PF2|，
∴由双曲线定义可知：|PF1|﹣|PF2|＝|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，
由sin∠F1PF2＝，可得cs∠F1PF2＝±，
在△PF1F2中，由余弦定理可得：cs∠F1PF2＝，
即＝±，
解得：＝4或＝6，
∴e＝＝2或．
∴c＝2a或c＝a
又∵c2＝a2+b2，
∴b＝a或b＝a
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
6．【解答】解：由得：（x﹣1）2+y2＝4且y≤0，∴表示以（1，0）为圆心，2为半径的圆在x轴及其下方的部分，
函数的图象如图所示
由图象知：当直线过点A（﹣1，0）时，m＝1；
当直线与半圆相切时，圆心到直线距离，解得：或（舍）；
∵函数的图象与直线x﹣2y+m＝0有公共点，∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
7．【解答】解：由题意可得，解得：a2＝4，b2＝1，
所以椭圆的方程为：+y2＝1；
①当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为：y＝kx+t，t≠1，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，整理可得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，
可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，
则y1+y2＝k（x1+x2）+2t＝，y1y2＝k2x1x2+kt（x1+x2）+t2＝＝，
因为BP⊥BQ，所以＝0，
即：（x1，y1﹣1）（x2，y2﹣1）＝0，所以x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1＝0，
代入可得：+﹣+1＝0，
整理可得：5t2﹣2t﹣3＝0，解得：t＝﹣或1，
所以直线PQ的方程为：y＝kx﹣，恒过定点（0，﹣），
②当直线PQ的斜率不存在时，设直线PQ的方程为x＝t，
则可得y＝±，
设P（t，），Q（t，﹣），
因为BP⊥BQ，所以＝0，
所以（t，﹣1）（t，﹣﹣1）＝0，
即t2+1﹣（1﹣）＝0，解得：t＝0，
所以直线PQ也过（0，﹣），
故答案为：+y2＝1；（0，﹣）．
8．【解答】解：设A点为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立坐标系，如图，
不妨设DQ＝x，BP＝y（x＞0，y＞0），则Q（x，1），P（2，y），
•＝（2，y）•（x，1）＝2x+y，其中tan∠BAP＝，
因为∠PAQ＝45°，所以tan∠BAQ＝tan（∠BAP+∠PAQ），
即＝，整理得x＝＝﹣1+，
所以•＝y+2x＝y﹣2+＝y+2+﹣4≥4﹣4，
当且仅当2x＝y＝2﹣2时，等号成立，
则•的最小值为4﹣4．
故答案为：4﹣4．
四．解答题（共7小题）
9．【解答】解：（1）E（1，0）是圆O：x2+y2＝4内的点，
过点E（1，0）的直线与OE垂直时，AB取得最小值，
最小值为：2＝2．
（2）设直线AB的倾斜角为θ，则圆心O到直线AB的距离为|OE|sinθ＝sinθ，所以|AB|＝．
因为CD⊥AB，所以∠OCD＝或，则|CD|＝2|OC|cs∠OCD＝4sinθ．
因为CD⊥AB，所以S＝＝4，
因为sin2θ∈（0，1]，所以当sin2θ＝1时，S有最大值，为．
故S的取值范围是（0，4]．
10．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为mx2+ny2＝1（m，n＞0，m≠n），
由已知，可得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
两式作差，可得，所以．
又，所以﹣（x1﹣x2）+（y1﹣y2）＝0，
所以直线l的斜率，
所以直线的方程为，即x﹣y+1＝0．
11．【解答】解：（1）因为，所以BC边的高所在直线l1的斜率为﹣5，
所以BC边上高所在直线为y﹣2＝﹣5（x﹣1），
即5x+y﹣7＝0；
（2）因为点A，B到直线l2的距离相等，所以直线l2与AB平行或通过AB的中点，
①当直线l2与AB平行，
所以，所以l2：y﹣5＝﹣（x﹣4），即x+y﹣9＝0．
②当直线l2通过AB的中点D（0，3），
所以，所以，即x﹣2y+6＝0．
综上：直线l2的方程为x+y﹣9＝0或x﹣2y+6＝0．
12．【解答】解：（1）根据已知可得圆的半径为R＝＝2，圆心为（0，0），
所以圆C1的方程为x2+y2＝4；
（2）根据题意，圆C1：x2+y2＝4，其圆心C1（0，0），半径R＝2，
又直线l过点M（1，2），且与圆相交，
则可设直线l的方程为x﹣1＝m（y﹣2），即x﹣my﹣1+2m＝0，
直线l被圆C1所截得的弦长为2，
则圆心到直线的距离d＝＝＝1，
则有＝1，解可得m＝0或m＝，
则直线l的方程为x＝1或3x﹣4y+5＝0．
13．【解答】解：（1）由椭圆M：＝1（b＞0）的一个焦点为（2，0），得c＝2，且b2＝a2﹣c2＝9﹣4＝5，
∴椭圆N的焦点为（0，﹣），（0，）．
又椭圆N过点（，），
∴椭圆N的长轴长为＝．
∴椭圆N的半长轴长为，半焦距为，则短半轴长为1．
∴N的方程为；
（2）联立，得7x2﹣4x﹣2＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
∴|AB|＝＝．
14．【解答】解：（1）设圆M的半径为R，
则，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
则，2c＝4，
所以，c＝2，，
故动圆圆心M的轨迹方程C为；
（2）假设存在圆心在原点的圆x2+y2＝r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y＝kx+m，
由方程组，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，
则Δ＝（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＝8（8k2﹣m2+4）＞0，
所以8k2﹣m2+4＞0，
又，，
则，
因为OM⊥ON，
所以，
故x1x2+y1y2＝0，
所以，即3m2﹣8k2﹣8＝0，即3m2﹣8＝8k2，
所以3m2﹣8≥0且8k2﹣m2+4＞0，
故，解得或，
因为直线y＝kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，
则，
故，
所以所求圆的方程为，
此时圆的切线y＝kx+m都满足或，
当切线的斜率不存在时，切线方程为，
所以切线与椭圆的两个交点为，，满足．
综上所述，存在圆心在原点的圆满足条件．
15．【解答】解：（1）由题意得，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）设直线PA的方程为y＝kx+2，P（x0，y0），A（x1，y1），F1（0，2），
由得（k2+2）x2+4kx﹣4＝0，
∴，
即＝，
∴，∴，
∴，同理可得，
，
∴为定值．