江苏南京市金陵中学2024-2025学年高二上数学第18周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏南京市金陵中学2024-2025学年高二上数学第18周阶段性训练模拟练习【含答案】，共22页。试卷主要包含了已知直线l，已知点P，已知点O，抛物线C，已知点F为椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1．若方程x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+a﹣1＝0表示圆，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
2．圆（x﹣2）2+y2＝4与直线相交所得弦长为（ ）
A．1B．C．D．
3．已知直线l：x+my﹣2m﹣1＝0，则点P（2，﹣1）到直线l距离的最大值为（ ）
A．B．C．5D．10
4．已知点P（t，t），t∈R，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（ ）
A．B．C．2D．1
5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线右支上的一点，若M在以|F1F2|为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，若∠PBA＝2∠PAB，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知点O（0，0），A（3，0），若圆x2+y2+tx﹣3＝0上任意一点P都满足|PA|＝2|PO|，则实数t＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
8．抛物线C：x2＝4y的准线为l，M为C上的动点，则点M到l与到直线2x﹣y﹣5＝0的距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二．多选题（共5小题）
（多选）9．已知点P为等轴双曲线＝1上的一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．m＝
B．双曲线的实轴长为3
C．双曲线的焦点到渐近线的距离为
D．若∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积为
（多选）10．已知点F为椭圆C：，（a＞b＞0）的左焦点，过原点O的直线l交椭圆于P，Q两点，点M是椭圆上异于P，Q的一点，直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，椭圆的离心率为e，若|PF|＝2|QF|，，则（ ）
A．B．
C．D．
（多选）11．对于曲线C：+＝1，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
（多选）12．已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．△PF1F2的周长为5
C．∠F1PF2＜90°D．1≤|PF1|≤3
（多选）13．已知椭圆，直线y＝mx与C交于A，B两点，点P为C上异于A，B的动点，则（ ）
A．当时，
B．
C．存在点P，使得
D．
三．填空题（共4小题）
14．已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线E的左支交于A，B两点，若，则△AF1F2的周长为 ．
15．若直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦AB的长为 ．
16．已知点P（5，4），点F为抛物线C：y2＝8x的焦点，若以点P，F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为 ．
17．历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线经过左焦点F1．已知图（2）中，双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F1（﹣4，0），F2（4，0），直线l平分∠F1PF2，过点F2作l的垂线，垂足为H，且|OH|＝2．则当反射光线n经过点M（8，5）时，|F2P|+|PM|＝ ．
四．解答题（共7小题）
18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（6，y0）在抛物线C上，且|AF|＝10．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知直线l交抛物线C于M，N两点，且点（4，2）为线段MN的中点，求直线l的方程．
19．已知点（﹣2，0）在椭圆C：上，设点A，B为C的短轴的上、下顶点，点T是椭圆上任意一点，且TA，TB的斜率之积为﹣．
（1）求C的方程；
（2）过C的两焦点F1、F2作两条相互平行的直线l1，l2交C于M，N和P，Q，求四边形PQNM面积的取值范围．
20．已知点A（1，2），B（﹣1，﹣2），点P满足．
（1）求点P的轨迹Γ的方程；
（2）过点Q（﹣2，0）分别作直线MN，RS，交曲线Γ于M，N，R，S四点，且MN⊥RS，求四边形MRNS面积的最大值与最小值．
21．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（2，0），离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设动圆C1：x2+y2＝与椭圆E交于A，B，C，D四点，动圆C2：x2+y2＝（≠）与椭圆E交于A'，B'，C'，D'四点．若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，证明：+为定值．
22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）和抛物线E：y2＝2px（p＞0）从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，，，P4（9，3）．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）设m为实数，已知点T（﹣3，0），直线x＝my+3与抛物线E交于A，B两点．记直线TA，TB的斜率分别为k1，k2，判断+m2是否为定值，并说明理由．
23．设a为实数，点（2，3）在双曲线C：＝1上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（，1）作斜率为k的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足．
（i）求斜率k的取值范围；
（ii）证明：点H恒在一条定直线上．
24．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，|AB|＝，离心率为．
（1）求E的方程；
（2）直线l平行于直线AB，且与E交于M，N两点，
①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于，求l的方程；
②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为k1，k2，证明：k1•k2为定值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：因为x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+a﹣1＝0表示圆，
则（﹣2a）2+（2a）2﹣4（2a2+a﹣1）＞0，解得a＜1，
所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：A．
2．【解答】解：由圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心坐标为（2，0），半径r＝2，
圆心（2，0）到直线的距离，
所以弦长为：2＝2＝2．
故选：C．
3．【解答】解：直线l：x+my﹣2m﹣1＝0，即x﹣1+m（y﹣2）＝0，
由，得到x＝1，y＝2，所以直线过定点A（1，2），
当直线l垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为．
故选：B．
4．【解答】解：如图：
圆的圆心E（0，1），圆的圆心 F（2，0），这两个圆的半径都是．
要使|PN||﹣|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，由图可得，|PN|最大值为|PF|+，PM|的最小值为|PE|﹣，
故|PN||﹣|PM|最大值是 （|PF|+ ）﹣（|PE|﹣ ）＝|PF|﹣|PE|+1，
点P（t，t）在直线 y＝x上，E（0，1）关于y＝x的对称点E′（1，0），直线FE′与y＝x的交点为原点O，
则|PF|﹣|PE|＝|PF|﹣|PE′|≤|E′F|＝1，故|PF|﹣|PE|+1的最大值为1+1＝2，
故选：C．
5．【解答】解：由题意可得，F1M⊥F2M，
设∠MF2F1＝θ，则|MF1|＝2csinθ，|MF2|＝2ccsθ，
根据双曲线的定义|MF1|﹣|MF2|＝2a，
所以2csinθ﹣2ccsθ＝2a，
所以＝＝，θ∈[，]，
所以θ﹣∈[，]，
所以∈[，+1]，
故选：D．
6．【解答】解：A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，若∠PBA＝2∠PAB，
由题意知A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0），
直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则，
又∵，即，
∴，即，
由正弦定理得，
又，则，
联立解得，即，
所以，即．
故选：C．
7．【解答】解：设圆x2+y2+tx﹣3＝0上任意一点P（x，y），
因为点O（0，0），A（3，0），且|PA|＝2|PO|，
所以（x﹣3）2+y2＝4（x2+y2），整理得x2+y2+2x﹣3＝0，
又因为圆x2+y2+tx﹣3＝0上任意一点P都满足|PA|＝2|PO|，
故方程x2+y2+2x﹣3＝0与x2+y2+tx﹣3＝0相同，
可得t＝2．
故选：C．
8．【解答】解：由题可得抛物线的焦点为F（0，1），
根据抛物线的定义可得，点M到l的距离等于|MF|，
所以点M到l与到直线2x﹣y﹣5＝0的距离之和即为|MF|与到直线2x﹣y﹣5＝0的距离之和，
由图可知，MF|与到直线2x﹣y﹣5＝0的距离之和的最小值即为M到2x﹣y﹣5＝0的距离：d＝＝．
即点M到l与到直线2x﹣y﹣5＝0的距离之和的最小值为．
故选：D．
二．多选题（共5小题）
9．【解答】解：∵双曲线＝1为等轴双曲线，∴m+m﹣3＝0，∴m＝，故A正确；
∴双曲线的方程为﹣＝1，所以双曲线的实半轴长为，所以实轴长为，故B错误；
易知双曲线右焦点为F2（，0），渐近线方程为y＝±x，所以双曲线的焦点到渐近线的距离为＝，故C正确；
根据双曲线的对称性不妨设点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|＝2a＝，
因为∠F1PF2＝，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，∴|PF1|2+|PF2|2＝|12，
∴|PF1|•|PF2|＝3，∴S＝|PF1|•|PF2|＝，故D正确．
故选：ACD．
10．【解答】解：设右焦点为F′，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF′为平行四边形，
则|PF′|＝|QF|，∠FPF′＝180°﹣∠PFQ＝180°﹣120°＝60°，
|PF|＝2|QF|＝2|PF′|，
而|PF|+|PF′|＝2a，
所以|PF′|＝a，
所以|PF|＝a，
在△PFF′中，cs∠FPF′＝＝＝，
∴﹣e2＝，解得e＝，
设P（x1，y1），Q（﹣x1，﹣y1），M（x0，y0），
所以+＝1，+＝1，
两式相减得+＝0，
所以＝﹣，
所以＝﹣，
即k1k2＝﹣，
所以k1k2＝﹣＝﹣（1﹣e2）＝﹣，
故选：BD．
11．【解答】解：对于A，当，即k∈（1，）∪（，4）时，曲线C表示椭圆，∴A不正确；
对于B，k∈（1，）∪（，4）时，曲线C表示椭圆，∴B不正确；
对于C，若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则0＜4﹣k＜k﹣1，解得＜k＜4，∴C正确；
对于D，当k∈（1，）时，4﹣k＞k﹣1，此时曲线表示焦点在x轴上的椭圆，∴D正确．
故选：CD．
12．【解答】解：已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
则，，
对于选项A：离心率，
故选项A错误；
对于选项B：由椭圆的定义|PF1|+|PF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2，
则△PF1F2的周长为4+2＝6，
故选项B错误；
对于选项C：当点P为椭圆短轴顶点时，∠F1PF2取到最大值，
此时，
又因为，
则，
即∠F1PF2＝60°，
所以∠F1PF2＜90°，
故选项C正确；
对于选项D：由椭圆的几何性质可知a﹣c≤|PF1|≤a+c，
可得1≤|PF1|≤3，
故选项D正确．
故选：AB．
13．【解答】解：对于A，已知椭圆，直线y＝mx与C交于A，B两点，点P为C上异于A，B的动点，
由椭圆的对称轴可得点A，B关于原点对称，
设P（s，w），A（k，t），则B（﹣k，﹣t），
所以，
又因为点A在椭圆上，可得，则k2＝4﹣，
所以|AB|＝2＝2，
当时，，即有，
解得，所以|AB|＝2＝，所以A对；
对于B，因为O为AB的中点，所以+＝2，
所以|+|＝2||，
因为点在椭圆上，即w2≤3，所以，所以B对；
对于C，，所以C错；
对于D，当m＝0时，则A，B分别为长轴上的两个顶点，且P为短轴上的顶点时，△ABP的面积最大，且此时最大面积为×4×＝2，故D对．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题）
14．【解答】解：已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，
则，b＝1，c＝2，
又过点F1的直线与双曲线E的左支交于A，B两点，若，
即，
即AF1⊥AF2，
由勾股定理可得：，①
由双曲线的定义可得：，②
由2×①﹣②2可得：＝20，
即|AF1|+|AF2|＝，
即△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|＝．
故答案为：．
15．【解答】解：因为抛物线为y2＝4x，
所以p＝2．
设A、B两点横坐标分别为x1，x2，
因为线段AB中点的横坐标为2，
则，即x1+x2＝4，
故|AB|＝x1+x2+p＝4+2＝6．
故答案为：6．
16．【解答】解：由抛物线C：y2＝8x，得焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2，
又点P（5，4），以点P，F为焦点的椭圆，则2c＝|PF|＝5，
在抛物线上取点H，过H作HG垂直直线x＝﹣2，交直线x＝﹣2于点G，
过P作PM垂直直线x＝﹣2，交直线x＝﹣2于点M，
由椭圆和抛物线定义得2a＝|HF|+|HP|＝|HG|+|HP|≥|PM|＝5﹣（﹣2）＝7，
故椭圆离心率．
故答案为：．
17．【解答】解：延长F2H交F1M于点Q，
由题可知，在△PF2Q中，PH⊥F2Q，∠F2PH＝∠QPH，
故|PF2|＝|PQ|且H为F2Q的中点，
则在△F1F2Q中，（|PF1|﹣|PF2|）＝2，
故|PF1|﹣|PF2|＝4＝2a，
所以a＝2，
又由题意知，右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线经过左焦点F1，
故|PF2|+|PM|＝|F1P|﹣2a+|PM|＝|F1M|﹣2a，
因为F1（﹣4，0），M（8，5），
则，
则|F2P|+|PM|＝ 13﹣4＝9．
故答案为：9．
四．解答题（共7小题）
18．【解答】解：（1）点A（6，y0）在抛物线C上，
由抛物线定义可得，解得p＝8，
故抛物线C的标准方程为y2＝16x；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），如下图所示：
则，两式相减可得，
即（y1﹣y2）（y1+y2）＝16（x1﹣x2），
又线段MN的中点为（4，2），可得y1+y2＝4，
则，故直线l的斜率为4，
所以直线l的方程为y﹣2＝4（x﹣4），
即直线l的方程为4x﹣y﹣14＝0．
19．【解答】解：（1）由题意得a＝2，设A（0，b），B（0，﹣b），T（m，n），m≠0，
则＝1，即m2＝，
所以kTA•kTB＝＝＝＝﹣＝﹣，
所以b2＝3，
故椭圆方程为＝1；
（2）由（1）得c＝1，F1（﹣1，0），F2（1，0），
当l1，l2 的斜率不存在时，四边形PQNM为矩形，边长分别为2c＝2，＝3，即面积为2×3＝6，
当l1，l2的斜率存在时，可设两直线MN及PQ的方程分别为y＝k（x+1），y＝k（x﹣1），（k≠0），则四边形PQNM为平行四边形，
联立，整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，Δ＝36（1+k2）＞0显然成立，
所以|MN|＝＝＝，
又PQ到MN的距离d＝，
故四边形PQNM的面积S＝|MN|•d＝＝，
令3+4k2＝t，则k2＝，t≥3，
则S＝＝＝6，
当t≥3时，0，
根据二次函数的性质可知0≤＜1，
故0＜S≤6，即四边形PQNM面积的取值范围为（0，6]．
20．【解答】解：（1）设P（x，y），又A（1，2），B（﹣1，﹣2），
∴，，
∴＝x2﹣1+y2﹣4＝4，∴x2+y2＝9，
∴P的轨迹方程为x2+y2＝9；
（2）设点O到MN的距离为m，点O到RS的距离为n，
则根据题意可得，
∵MN⊥RS，∴m2+n2＝|OP|2＝4，
∴，
又0≤m2≤4，∴﹣2≤m2﹣2≤2，∴0≤（m2﹣2）2≤4，
∴，
∴四边形MNRS面积的最大值14，最小值．
21．【解答】（1）解：已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（2，0），
则椭圆的焦点坐标为（2，0），
则c2＝a2﹣b2＝4，
又椭圆离心率，
可得，
解得a2＝9，b2＝5，
所以椭圆方程为；
（2）证明：设A′（x3，y3），矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，
由对称性可得4|x1||y1|＝4|x3||y3|，
即，
又因为A，A′均在椭圆上，
则，
所以，
即，，
故，
即+为定值．
22．【解答】解：（1）将四个点代入抛物线方程解得，，，，
则，P4（9，3）在抛物线上，
故抛物线E方程为y2＝x，
故，为椭圆上的点，
所以，
解得，
所以椭圆C方程；
（2）已知点T（﹣3，0），直线x＝my+3与抛物线E交于A，B两点，
联立，
则y2﹣my﹣3＝0，
设A（x1，x2），B（x2，y2），
所以，
则，
即+m2为定值．
23．【解答】解：（1）由于点（2，3）在双曲线C上，因此，化简得a4+7a2﹣8＝0，
所以（a2﹣1）（a2+8）＝0，解得a2＝1，所以双曲线C的方程为；
（2）（ⅰ）由题意可知直线l的方程为，所以，
联立直线和双曲线可得，整理得，
令N（x2，y2），M（x1，y1），
因为双曲线与直线l的右支有两个不同的交点N，M，
因此关于x的方程有两个不同的正数根x1，x2，
可得，
解得，所以斜率k的取值范围为；
（ⅱ）证明：设H（x0，y0），
根据（ⅰ）可得，，
由于，，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，
又因为P，M，N，H在同一直线l上，因此，，
根据得，所以（2x1﹣1）（x2﹣x0）＝（2x2﹣1）（x0﹣x1），
化简得2（（x1+x2）﹣1）x0＝4x1x2﹣（x1+x2），因此，
化简得，解得，所以
又因为H（x0，y0）在直线上，因此
所以，化简得3x0﹣2y0﹣6＝0，因此点H恒在定直线3x﹣2y﹣6＝0上．
24．【解答】解：（1）由题意得，，解得a2＝2，b2＝c2＝1，
所以椭圆E的方程为：；
（2）①由（1）知，B（0，1），
所以，又P，Q是直线AB上的两点，四边形MNPQ为矩形，
所以，
设直线l的方程：，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去y整理得：，
则Δ＝2m2﹣4（m2﹣1）＞0，解得：，
所以，
因为MN∥AB，所以矩形MNPQ中|NP|即为两平行线间的距离d，
因为直线，即，直线，
所以，
又，
所以，即，
而，
所以，
解得：m＝0或，
所以直线l的方程为：或；
②证明：因为，所以，
因为M（x1，y1）在直线l上，所以，
又点M（x1，y1）在椭圆上，则，
所以，
所以，
进而，
此时有，M（x1，y1），，
所以，．