2025年中考数学一轮复习《二次函数》单元检测卷（含答案）

这是一份2025年中考数学一轮复习《二次函数》单元检测卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
已知函数：①y＝ax2；②y＝3(x﹣1)2＋2；③y＝(x＋3)2﹣2x2；④y＝eq \f(1,x2)＋x.
其中，二次函数的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a+b+1的值是( )
A.﹣3 B.﹣1 C.2 D.3
如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是( )

A.y＝x2﹣x﹣2 B.y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(1,2)x＋2 C.y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(1,2)x＋1 D.y＝﹣x2＋x＋2
如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x的取值范围是( )
A.0＜x＜eq \f(1,2) B.0＜x＜1 C.eq \f(1,2)＜x＜1 D.－1＜x＜2
进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后价格为y元，原价为a元，则y关于x的二次函数表达式为( ).
A.y=2a(x-1) B.y=2a(1-x) C.y=a(1-x2) D.y=a(1-x)2
已知A(2，y1)，B(3，y2)，C(0，y3)在二次函数y＝ax2＋c(a＞0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是( )
A.y3＜y2＜y1 B.y1＜y2＜y3 C.y2＜y1＜y3 D. y3＜y1＜y2
抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到抛物线是( )
A.y=3(x﹣1)2﹣2 B.y=3(x+1)2﹣2 C.y=3(x+1)2+2 D.y=3(x﹣1)2+2
抛物线y＝x2＋2x﹣3的最小值是( )
A.3 B.﹣3 C.4 D.﹣4
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：
给出下列说法：
①抛物线与y轴的交点为(0，6)；
②抛物线的对称轴在y轴的左侧；
③抛物线一定经过(3，0)点；
④在对称轴左侧y随x的增大而增大.
从表中可知，其中正确的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)，a＞0，顶点坐标为(eq \f(1,2)，m)，给出下列结论：
①若点(n，y1)与(eq \f(3,2)﹣2n，y2)在该抛物线上，当n＜eq \f(1,2)时，则y1＜y2；
②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0无实数解，那么( )
A.①正确，②正确 B.①正确，②错误
C.①错误，②正确 D.①错误，②错误
将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x＋b的图象有公共点，则实数b的取值范围是( )
A.b＞8 B.b＞－8 C.b≥8 D.b≥－8
已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题
若y＝(a＋2)x2﹣3x＋2是二次函数，则a的取值范围是 .
已知A(﹣4，y1)，B (﹣3，y2)两点都在二次函数y＝﹣2(x＋2)2的图象上，则y1，y2的大小关系为 .
二次函数的图象如图所示，则其解析式为 .
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，如图所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是_______
在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：s=v0t﹣eq \f(1,2)gt2(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面 m.
如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(2，0)，若抛物线y=4x2＋k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 .
三、解答题
已知抛物线的顶点坐标是(﹣1，4)，且过点(1，0)，求该抛物线的解析式.
如图，抛物线y=－x2＋2x＋3与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求顶点D的坐标；
(2)求△OCD的面积.
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
(1)根据上表填空：
①这个抛物线的对称轴是 ,抛物线一定会经过点(﹣2, )；
②抛物线在对称轴右侧部分是 (填“上升”或“下降”)；
(2)如果将这个抛物线y＝ax2＋bx＋c向上平移使它经过点(0,5),求平移后的抛物线表达式.
商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元(用含x的代数式表示)；
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最大，最大利润是多少元？
我们称顶点相同的两条抛物线为同位抛物线，已知抛物线C1：y=2x2﹣4x+3.
(1)下列抛物线中，与C1是同位抛物线的是______.
A.y=2x2﹣4x+4 B.y=3x2﹣6x+4 C.y=﹣2x2﹣4x+3 D.y=2x2
(2)若抛物线C2：y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与C1是同位抛物线，则a与c需满足什么关系？
如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
如图，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E为x轴下方抛物线上的一点，坐标为(－2，－5)，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
\s 0 2025年中考数学一轮复习《二次函数》单元检测卷（含答案）答案解析
一、选择题
B
D
D
答案为：B.
D
D.
A
D.
B.
答案为：A.
解析：①∵顶点坐标为(eq \f(1,2)，m)，n＜eq \f(1,2)，
∴点(n，y1)关于抛物线的对称轴x=eq \f(1,2)的对称点为(1﹣n，y1)，
∴点(1﹣n，y1)与(eq \f(3,2)﹣2n，y2)在该抛物线上，
∵(1﹣n)﹣(eq \f(3,2)﹣2n)=n﹣eq \f(1,2)＜0，∴1﹣n＜eq \f(3,2)﹣2n，
∵a＞0，∴当x＞eq \f(1,2)时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故此小题结论正确；
②把(eq \f(1,2)，m)代入y=ax2+bx+c中，得m=eq \f(1,4)a+eq \f(1,2)b+c，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0中，
△=b2﹣4ac+4am﹣4a=b2﹣4ac+4a(eq \f(1,4)a+eq \f(1,2)b+c)﹣4a=(a+b)2﹣4a＜0，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0无实数解，故此小题正确；
答案为：D.
解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．
令一次函数y=﹣x+3中x=0，则y=3，∴点A的坐标为（0，3）；
令一次函数y=﹣x+3中y=0，则﹣x+3，解得：x=，
∴点B的坐标为（，0）．∴AB=2．
∵抛物线的对称轴为x=，∴点C的坐标为（2，3），
∴AC=2=AB=BC，∴△ABC为等边三角形．
令y=﹣（x﹣）2+4中y=0，则﹣（x﹣）2+4=0，
解得：x=﹣，或x=3．
∴点E的坐标为（﹣，0），点F的坐标为（3，0）．
△ABP为等腰三角形分三种情况：
①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；
②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；
③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；
∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．
故选A．
二、填空题
答案为：a≠﹣2.
答案为：y1＜y2.
答案为：y=－x2＋2x＋3.
答案为：x＜－2或x＞8.
答案为：7m.
答案为：﹣16＜k＜eq \f(1,16).
三、解答题
解：设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4，
把(1，0)代入得a(1+1)2+4=0，解得a=﹣1，
所以抛物线解析式为y=﹣(x+1)2+4.
解：(1)y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，
即顶点D的坐标为(1，4).
(2)把x=0代入y=－x2＋2x＋3，得y=3，即OC=3，
S△OCD=eq \f(1,2)×3×1=eq \f(3,2).
解：(1)①∵当x＝0和x＝2时,y值均为2,
∴抛物线的对称轴为x＝1,
∴当x＝﹣2和x＝4时,y值相同,
∴抛物线会经过点(﹣2,10).
②∵抛物线的对称轴为x＝1,且x＝2、3、4时的y的值逐渐增大,
∴抛物线在对称轴右侧部分是上升.
(2)将点(﹣1,5)、(0,2)、(2,2)代入y＝ax2＋bx＋c中,
,解得：,
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x＋2.
∵点(0,5)在点(0,2)上方3个单位长度处,
∴平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣2x＋5.
解：(1)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50﹣x)元，
故答案为：2x，50﹣x；
(2)设商场日盈利为y，
则y=(50﹣x)(40+2x)=﹣2x2+60x+2000=﹣2(x﹣15)2+2450，
∴当x=15时，y最大=2450，
答：每件商品降价15元时，商场日盈利最大，最大利润是2450元.
解：抛物线C1：y=2x2﹣4x+3.y=2(x2﹣2x+1﹣1)+3
y=2(x﹣1)2+1，顶点为(1，1)
A、y=2x2﹣4x+4=2(x﹣1)2+2，顶点为(1，2)，所以A不正确；
B、y=3x2﹣6x+4=3(x﹣1)2+1，顶点为(1，1)，所以B正确；
C、y=﹣2x2﹣4x+3=﹣2(x+1)2+5，顶点为(﹣1，5)，所以C不正确；
D、y=2x2，顶点为(0，0)，所以D不正确；故选B.
(2)抛物线C2：y=ax2﹣2ax+c
y=a(x2﹣2x+1﹣1)+c
y=a(x﹣1)2﹣a+c，顶点为(1，﹣a+c)
由抛物线C2：y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与C1是同位抛物线得：﹣a+c=1，c﹣a=1
∴a与c需满足的关系式为：c﹣a=1
解：(1)由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过(0，0.5)(0.8，3.5)，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣eq \f(25,16)t2+5t+eq \f(1,2)，
∴当t=eq \f(8,5)时，y最大=4.5；
(2)把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣eq \f(25,16)×2.82+5×2.8+eq \f(1,2)=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门.
解：(1)把A、B两点坐标代入解析式可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(25a－5b－5＝0，,9a＋3b－5＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(2,3)，))
∴抛物线解析式为y＝eq \f(1,3)x2＋eq \f(2,3)x－5
(2)假设存在满足条件的P点，其坐标为(m，eq \f(1,3) m2＋eq \f(2,3)m－5)，
如图，连结AP，CE，AE，过E作ED⊥AC于点D，过P作PQ⊥x轴于点Q，
则AQ＝AO＋OQ＝5＋m，PQ＝|eq \f(1,3)m2＋eq \f(2,3)m－5|，
在Rt△AOC中，OA＝OC＝5，则AC＝5eq \r(2)，∠ACO＝∠DCE＝45°，
由题可得EC＝2，在Rt△EDC中，可得DE＝DC＝eq \r(2)，
∴AD＝AC－DC＝5eq \r(2)－eq \r(2)＝4eq \r(2)，
当∠BAP＝∠CAE时，则△EDA∽△PQA，
∴eq \f(ED,AD)＝eq \f(PQ,AQ)，即eq \f(\r(2),4\r(2))＝eq \f(|\f(1,3)m2＋\f(2,3)m－5|,5＋m)，
∴eq \f(1,3)m2＋eq \f(2,3)m－5＝eq \f(1,4)(5＋m)或eq \f(1,3)m2＋eq \f(2,3)m－5＝－eq \f(1,4)(5＋m)，
当eq \f(1,3)m2＋eq \f(2,3)m－5＝eq \f(1,4)(5＋m)时，整理可得4m2－5m－75＝0，
解得m＝eq \f(15,4)或m＝－5(与A点重合，舍去)，
当eq \f(1,3)m2＋eq \f(2,3)m－5＝－eq \f(1,4)(5＋m)时，整理可得4m2＋11m－45＝0，
解得m＝eq \f(9,4)或m＝－5(与A点重合，舍去)，
∴存在满足条件的点P，其横坐标为eq \f(9,4)或eq \f(15,4).
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣6
0
4
6
6
…
x
…
﹣1
0
2
3
4
…
y
…
5
2
2
5
10
…