数学九年级上册22.1.1 二次函数达标测试

这是一份数学九年级上册22.1.1 二次函数达标测试，共73页。
【典例1】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A2m−1,0和点Bm+2,0，与y轴交于点C，对称轴轴为直线x=−1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC上一动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作⊙P，当⊙P与坐标轴相切时，求⊙P的半径；
（3）直线y=kx+3k+4k≠0与抛物线交于M，N两点，求△AMN面积的最小值．
【思路点拨】
（1）由题意及抛物线的对称性知：−1−(2m−1)=m+2−(−1)，即可求得m的值，从而用待定系数法可求得函数解析式；
（2）首先求出直线AC的解析式为y=−x−3，由PQ∥y轴及点Q在抛物线上，可得点Q的坐标，从而求得PQ的长度，分两种情况讨论：当⊙P与x轴相切时；当⊙P与y轴相切时；分别利用圆心到切线的距离等于半径得到方程，解方程即可求得半径；
（3）由y=kx+3k+4k≠0知，直线过点G(−3,4)，则得AG⊥x轴，且AG=4；联立直线与抛物线的解析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由S△AMN=S△AGM+S△AGN=2xM−xN，可得关于k的函数关系式，即可求得面积的最小值．
【解题过程】
（1）解：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A2m−1,0和点Bm+2,0，对称轴为直线x=−1
∴A、B关于对称轴对称，
∴−1−(2m−1)=m+2−(−1)，
解得：m=−1，
即A(−3,0)，B(1,0)，
把A、B两点坐标代入y=x2+bx+c中，得9−3b+c=01+b+c=0，
解得：b=2c=−3
则所求函数解析式为y=x2+2x−3；
（2）解：对于y=x2+2x−3，令x=0，得y=−3，
∴C(0,−3)，
设直线AC的解析式为y=ax+d，
则有−3a+d=0d=−3，
解得：a=−1d=−3，
所以直线AC的解析式为y=−x−3，
设点P(a,−a−3)，
∵PQ∥y轴，点Q在抛物线上，
∴Q的坐标为(a,a2+2a−3)，
∴PQ=a2+2a−3−(−a−3)=a2+3a；
当⊙P与x轴相切时；
∴a2+3a=−a−3，
即a2+3a=−a−3，或a2+3a=−(−a−3)，
解得：a=−1，a=−3或a=1，a=−3
显然a=−3时点P、Q与点A重合，不合题意，则a=−1及a=1，
当a=−1时，−a−3=−2；当a=1时，−a−3=−4，
此时⊙P的半径分别为2或4；
当⊙P与y轴相切时；
∴a2+3a=a，
即a2+3a=−a，或a2+3a=a，
解得：a=0，a=−4，或a=0，a=−2，
显然a=0时点P、Q与点C重合，不合题意，则a=−4及a=−2，
此时⊙P的半径分别为4或2；
综上，⊙P与坐标轴相切时，⊙P的半径分别为2或4；
（3）解：如图，
当x=−3时，y=k×(−3)+3k+4=4，
∴直线y=kx+3k+4过点G(−3,4)，
∵A(−3,0)，
∴AG⊥x轴，且AG=4；
联立直线与抛物线的解析式得：y=kx+3k+4y=x2+2x−3，
消去y得：x2+(2−k)x−3k−7=0，
∵Δ=(2−k)2−4×1×(−3k−7)=(k+4)2+16>0，
∴xN=−(2−k)+(k+4)2+162，xM=−(2−k)−(k+4)2+162，
∴xN−xM=(k+4)2+16，
∵S△AMN=S△AGM+S△AGN=12AG⋅(−3−xM)+12AG⋅(xN+3)=2xM−xN，
∴S△AMN=2(k+4)2+16，
当k=−4时，(k+4)2+16有最小值16，从而△AMN的面积有最小值2×4=8．
1．（22·23上·南京·阶段练习）已知抛物线y=ax−32+254过点C0,4，顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示，以AB为直径作圆，记作⊙D．
（1）试判断点C与⊙D的位置关系；
（2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（23·24上·长沙·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过0，0和a,116两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A0，2．

（1）求a，b，c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径；
（3）设⊙P与x轴相交于Mx1，0，Nx2，0x114m2，
∴点P在运动过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径；
（3）设Pn，14n2，
∵PA=116n4+4，
作PH⊥MN于H，
则PM=PN=116n4+4，
又∵PH=14n2，
则MH=NH=116n4+4−14n22=2，
故MN=4，
∴Mn−2，0，Nn+2，0，
又∵A0，2，
∴ AM=n−22+4,AN=n+22+4
当AN=MN时， n+22+4=4，
解得：n=−2±23，则14n2=4±23；
综上所述，P的纵坐标为：4+23或4−23．
3．（22·23上·广州·期末）如图，抛物线y=−14x2−32x+c与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点B的坐标为(2,0)，⊙M经过A,B,C三点，且圆心M在x轴上．
（1）求c的值．
（2）求⊙M的半径．
（3）过点C作直线CD，交x轴于点D，当直线CD与抛物线只有一个交点时直线CD是否与⊙M相切？若相切，请证明；若不相切，请求出直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标．
【思路点拨】
（1）将点B(2,0)代入抛物线解析式，利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）令y=0，可得−14x2−32x+4=0，求解即可确定A点坐标，然后确定⊙M的半径即可；
（3）直线CD与抛物线只有一个交点，则方程y=−14x2−32x+4=kx+4有两个相等的实数根，由Δ=(4k+6)2−4×1×0=0可求出k的值，进而求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵抛物线y=−14x2−32x+c经过点B(2,0)，
∴−14×22−32×2+c=0，
解得c=4，
∴c的值为4；
（2）在y=−14x2−32x+4中，
令y=0，可得−14x2−32x+4=0，
解得：x1=−8,x2=2，
∴A(−8,0)，
∴AB=2−(−8)=10，
∴⊙M的半径为102=5；
（3）直线CD与⊙M相交．
在y=−14x2−32x+4中，令x=0，得y=4，
∴C(0,4)，
设直线CD解析式为y=kx+b，将点C(0,4)代入，可得b=4，
∴直线CD解析式为y=kx+4，
∵直线CD与抛物线只有一个交点，
∴方程y=−14x2−32x+4=kx+4有两个相等的实数根，
整理，得x2+(4k+6)x=0，
∴Δ=(4k+6)2−4×1×0=0，
解得k=−32，
∴直线CD解析式为y=−32x+4，
设直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标为(x,−32x+4)，
∵M(−3,0)，⊙M的半径为5，
则x+32+−32x+42=52，
解得 x=0（舍去）或x=2413，
将x=2413代入到y=−32x+4，可得y=−32×2413+4=1613，
∴直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标为2413,1613．
4．（22·23上·广州·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A−1,0、B3,0与y轴交于点C，顶点为D．以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．
（1）试用含a的代数式表示c；
（2）若IQ⊥PD恒成立，求出此时该抛物线解析式；
（3）在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．
【思路点拨】
（1）根据点点A−1,0、B3,0可得该函数的解析式为y=ax+1x−3，展开括号即可进行解答；
（2）根据点Q为PD的中点，且IQ⊥PD，可得点D在⊙I上，进而得出点D的坐标，即可求解；
（3）根据题意得∠IQD=90°，则点Q在以DI为直径的圆上运动，求出点P与点A和点B重合时点Q的坐标，进而得出Q1Q2∥x轴，Q1Q2=2，则点Q在以DI中点为圆心的半圆上运动，再根据圆的周长公式求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A−1,0、B3,0，
∴该函数的解析式为y=ax+1x−3=ax2−2ax−3a，
∴c=−3a．
（2）解：连接DI，
∵P是半圆上一点，点Q为PD的中点，且IQ⊥PD，
∴点D在⊙I上，
∴DI=12AB=12×3−−1=2，
∵该抛物线的对称轴为直线x=−1+32=1，
∴D1,−2，
把D1,−2代入y=ax2−2ax−3a得：−2=a−2a−3a，
解得：a=12，
∴该抛物线解析式为：y=12x2−x−32；
（3）解：∵IQ⊥PD，
∴∠IQD=90°，
∴点Q在以DI为直径的圆上运动，
∵A−1,0、B3,0，D1,−2，
∴当点P与点B重合时，Q11+32,−22，即Q12,−1，
当点P与点A重合时，Q21−12,−22，即Q20,−1，
∴Q1Q2∥x轴，Q1Q2=2，
∴点Q在以DI中点为圆心的半圆上运动，
点Q的路径长为：12×2π=π．
5．（21·22·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，以点P23,−3为圆心的圆与x轴相交于A、B两点，与y轴相切于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C，顶点为D．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为y轴上一点，连接DM，MP，是否存在点M使得△DMP的周长最小？若存在，求出点M的坐标及△DMP的周长最小值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）如图①，连接PA，PB，PC，设抛物线对称轴交x轴于点G，先求出A(3,0)，B(33,0)，C(0,−3)，把这三点代入y=ax2+bx+c求解即可；
（2）如图②，作点P关于y轴的对称点P'，连接P'D与y轴交于点M，连接PM，此时△DMP的周长为PM+MD+DP=P'M+MD+DP=P'D+DP，即当点D，M，P'三点共线时，ΔDMP的周长取得最小值，最小值为P'D+DP的长，先求出△DMP的周长最小值，然后求出直线DP'的解析式，即可求出点M．
【解题过程】
（1）如图①，连接PA，PB，PC，设抛物线对称轴交x轴于点G，

由题意得PA=PB=PC=23，PG=3．
∴AG=BG=(23)2−32=3．
∴A(3,0)，B(33,0)，C(0,−3)．
把点A(3,0)，B(33,0)，C(0,−3)代入y=ax2+bx+c中，得{3a+3b+c=0,27a+33b+c=0,c=−3解得{a=−13,b=433,c=−3.
∴抛物线的解析式为y=−13x2+433x−3；
（2）存在．如图②，作点P关于y轴的对称点P'，连接P'D与y轴交于点M，连接PM，此时△DMP的周长为PM+MD+DP=P'M+MD+DP=P'D+DP，即当点D，M，P'三点共线时，ΔDMP的周长取得最小值，最小值为P'D+DP的长，

∵点P(23,−3)与点P'关于y轴对称，
∴点P'的坐标为(−23,−3)，PP'=43，
易得D(23,1)，
∴DP=4．
∴P'D=PP'2+DP2=8，
∴P'D+DP=12．
∴△DMP的周长最小值为12；
设直线DP'的解析式为y=kx+b1，
将P'(−23,−3)、D(23,1)代入，
得{−23k+b1=−3,23k+b1=1.
解得{k=33b1=−1，
∴直线DP'的解析式为y=33x−1，
令x=0，则y=−1，
∴M(0,−1)．
6．（21·22下·长沙·期中）如图1，抛物线y=14x2−2x与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．
（1）求∠AOB的度数；
（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，
①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；
②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．
【思路点拨】
（1）将函数解析式化为顶点式，得到点B的坐标，作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4，即可得到∠AOB的度数；
（2）①先求出A点坐标．作OB的垂直平分线交⊙A于M1、M2两点，由AH＝4=OH＝BH，得到M1坐标为（4，0）．连接AM2，由∠M2HA=∠OHC=45°，AH=AM2=4，得到M2坐标为（8，4）；
②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8），连接MD，根据三角形中位线的性质得到BN=12MD，当MD过点A时，MD长度达到最大值，当点M在点E处时，MD有最小值，由此解决问题．
【解题过程】
（1）∵y=14x2−2x=14x−42−4，点B为抛物线顶点，
∴点B的坐标为（4，－4）．
作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4，
∴∠AOB＝45°．
（2）①14x2−2x=0，解得x1=0，x2=8，
∴ A点坐标为（8，0）．
作OB的垂直平分线交⊙A于M1、M2两点，
∵⊙A半径为4，AH＝4，
∴点H在⊙A上，此时OH＝BH，
∴点H与点M1重合，
∴M1坐标为（4，0）．
连接AM2，
∵∠M2HA=∠OHC=45°，AH=AM2=4，
∴∠HAM2=90°，则M2坐标为（8，4），
综上，点M的坐标为（4，0）或（8，4）．
②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8），
连接MD，
∵点N为OM中点，
∴ BN=12MD．
如图，当MD过点A时，MD长度达到最大值，
当点M在点E处时，MD有最小值，
∵点A、D横坐标相同，
∴此时MD⊥x轴，
∴MD＝8＋4＝12，DE＝8－4＝4，
∴4≤MD≤12，
∴2≤BN≤6．
7．（21·22上·长沙·阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标．
【思路点拨】
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线的解析式求出点D的坐标，取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P，得到直线EP为y＝x﹣1，联立方程组求解即可；
（3）作BD⊥OA于D，得到OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，证明EF是△AEO的外接圆的直径，得到△EOF是等腰直角三角形，当OE最小时，△EOF的面积最小，计算即可；
【解题过程】
（1）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：
9a+3b+3＝014a+4b+3＝1，解得：a=12b=−52，
故函数解析式为y=12x2−52x+3；
（2）∵抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，
∴12x2−52x+3=0，解得：x1＝3，x2＝2，
∴点D的坐标为（2，0），取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P，

∵ED＝AD＝1，∴此时△PAB的面积是△DAB的面积的两倍，
∵直线AB解析式为y＝x﹣3，
∴直线EP为y＝x﹣1，
由y=x−1y=12x2−52x+3解得x=7−172y=5−172或x=7+172y=5+172，
∴点P坐标（7−172，5−172）或（7+172，5+172）．
（3）如图2中，作BD⊥OA于D．
∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，
∴∠OAC＝∠BAD＝45°，
∵∠OAF＝∠BAD＝45°，
∴∠EAF＝90°，
∴EF是△AEO的外接圆的直径，
∴∠EOF＝90°，
∴∠EFO＝∠EAO＝45°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴当OE最小时，△EOF的面积最小，
∵OE⊥AC时，OE最小，OC＝OA，
∴CE＝AE，OE＝12AC＝322，
∴E（32，32），S△EOF＝12×322×322=94．
∴当△OEF的面积取得最小值时，面积的最小值为94，E点坐标（32，32）．
8．（20·21下·扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为3,0顶点P的坐标为1,−4，以AB为直径作圆，圆心为D，过P向右侧作⊙D的切线，切点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请通过计算判断抛物线是否经过点C；
（3）设M，N分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M，N两点的坐标．
【思路点拨】
（1）可设顶点式，将顶点为A1,−4，点B3,0代入求出抛物线的解析式；
（2）首先求出D点坐标，再利用CD等于圆O半径为12AB=2，由cs∠PDC=CDPD=24=12，得出C点坐标即可，进而判断抛物线是否经过点C即可；
（3）作C关于x轴对称点C'，P关于y轴对称点P'，连接P'C'，与x轴，y轴交于M、N点，此时四边形PNMC周长最小，求出直线P'C'的解析式，求出图象与坐标轴交点坐标即可．
【解题过程】
（1）解:设抛物线的解析式为y=ax−ℎ2+k把ℎ=1，k=−4，代入得；y=ax−12−4，
把x=3，y=0代入y=ax−12−4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为：y=x−12−4，即：y=x2−2x−3；
（2）解:如图,
作抛物线的对称轴，
把y=0代入y=x2−2x−3解得x1=−1，x2=3，
∴A点坐标为−1,0，
∴AB=3−−1=4，
∴OD=2−1=1，
∴D点坐标为1,0，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点D在直线x=1上，
过点C作CE⊥PD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，连接DC，
∵PC是⊙D的切线，
∴PC⊥DC，在Rt△PCD中
∵cs∠PDC=CPPD=24=12，
∴∠PDC=60°，
解直角三角形CDE，可得DE=1，CE=3，
∴C点坐标为3+1,−1，
把x=3+1代入y=x2−2x−3得：y=−1，
∴点C在抛物线上；
（3）解：如图2，作点C关于x轴的对称点C'，点P关于y轴的对称点P'，连接P'C'，分别交x轴，y轴于M，N两点，
此时四边形PNMC的周长最小，
∵C点坐标为3+1,−1，
∴C'点坐标为3+1,1，
∵P的坐标为1,−4，
∴P'的坐标为−1,−4，
代入y=kx+b中，3+1k+b=1−k+b=−4，
解得：k=−53+10b=−53+6，
则直线P'C'的解析式为：y=−53+10x−53+6，
当x=0，y=−53+6，
故N点坐标为：0,−53+6，
当y=0，则0=−53+10x−53+6，
解得：x=3+435，
故M点坐标为：3+435,0．
9．（21·22上·宜昌·期末）如图所示，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0,−2)，点P在抛物线对称轴上并且位于x轴的下方，以点P为圆心作过A、B两点的圆，恰好使得弧AB的长为⊙P周长的13．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求⊙P的半径和圆心P的坐标，并判断抛物线的顶点C与⊙P的位置关系；
（3）在抛物线上是否存在一点M，使得S△ABM=33？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据二次函数的图像及性质，根据对称轴为x=1，得−b2a=−b2×1=1，求出b=−2， 把D(0,−2)代入y=x2+bx+c，求得c=−2，即可求出抛物线的解析式．
（2）根据二次函数的解析式推出A(1−3,0)，B(1+3,0)．从而得到OB=3+1．根据对称轴为x=1，得到OE=1． BE=3．连接PA、PB．由勾股定理可得PE=1，PB=2，求出⊙P的半径为2，P的坐标为(1,−1)．根据抛物线y=x2−2x−2=(x−1)2−3，求出抛物线y=x2−2x−2的顶点坐标为(1,−3)．得到PC=2．所以推出点C在⊙P上
（3）设点M的坐标为a,a2−2a−2，根据三角形的面积公式推出12×23×a2−2a−2=33，得到a2−2a−2=3，①当a2−2a−2=3时，②当a2−2a−2=−3时， 求出a的值，即可求得M点的坐标．
【解题过程】
（1）解： ∵对称轴为x=1，
∴ −b2a=−b2×1=1
∴ b=−2．
把D(0,−2)代入y=x2+bx+c，得c=−2．
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−2．
（2）把y=0代入y=x2−2x−2，得x2−2x−2=0，解得x1=1−3，x2=1+3．
∴ A(1−3,0)，B(1+3,0)．
∴ OB=3+1．
∵对称轴为x=1，
∴ OE=1．
∴ BE=3．
连接PA、PB．
∵ AB的长为⊙P周长的13，
∴ ∠APB=120°．
∵ PA=PB，
∴ ∠PBE=30°．
由勾股定理可得PE=1，PB=2，
∴ ⊙P的半径为2，P的坐标为(1,−1)．
∵ y=x2−2x−2=(x−1)2−3，
∴抛物线y=x2−2x−2的顶点坐标为(1,−3)．
∴ PC=2．
∴点C在⊙P上
（3）存在
设点M的坐标为a,a2−2a−2．
∵ S△ABM=33
∴ 12×23×a2−2a−2=33
∴ a2−2a−2=3．
①当a2−2a−2=3时，
解得a1=1−6，a2=1+6，
∴ M1(1−6,3)，M2(1+6,3)．
②当a2−2a−2=−3时，解得a3=a4=1，
∴ M3(1,−3)
综上，符合条件的点M的坐标有(1−6,3)，(1+6,3)，(1,−3)．
10．（21·22·全国·专题练习）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
（1）已知点P（2，2），以P为圆心，5为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
（2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
（3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
【思路点拨】
（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，5为半径的圆上，即可作出判断．
（2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．
（3）连接CD，PA，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得PA=PC=2m，CE=3m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．
【解题过程】
（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，
∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），
∵点P（2，2），
∴PA＝PB＝PC＝5，
∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．
（2）如图1，连接PH，
∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，
∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），
∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，
∴△POA周长的最小值为6．
（3）如图2，连接CD，PA，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，
由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，
∵AB＝16−16aa=41−aa，
∴AF＝BF＝21−aa，
∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），
∴∠PCD＝∠PDC＝30°，
设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝3m，PF＝4﹣m，
∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l为x=2a，
∴3m=2a，即a=23m，
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，
∴4m2=(4−m)2+(21−aa)2，
即4m2=(4−m)2+4(1−23m)43m2，
化简，得(8+23)m=16，解得m=84+3，
∴a=23m=43+312．
11．（22·23上·嘉兴·期中）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，已知A、C两点的坐标为A−1,0，C0,3．点P是抛物线上第一象限内一个动点，
（1）求抛物线的解析式，并求出B的坐标；
（2）如图1，y轴上有一点D0,1，连接DP交BC于点H，若H恰好平分DP， 求点P的坐标；
（3）如图2，连接AP交BC于点M，以AM为直径作圆交AB、BC于点E、F，若E，F 关于直线AP轴对称，求点E的坐标．
【思路点拨】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）过点P作PG∥y轴交BC于G．设Pm,−m2+2m+3，则Gm,3−m，利用全等三角形的性质证明PG=CD=2，构建方程求出即可．
（3）连接AF，ME．想办法证明AF=AE=FB=22AB=22，再证明FM=ME=BE，求出OE即可解决问题．
【解题过程】
（1）∵抛物线y=−x2+bx+c经过A−1,0，C0,3，
∴c=3−1−b+c=0，
解得b=2c=3，
∴y=−x2+2x+3，
令y=0，得到−x2+2x+3=0，
解得x=−1或3，
∴B3,0；
（2）如下图，过点P作PG∥y轴交BC于G．设Pm,−m2+2m+3，则Gm,3−m，
∵D0,1，
∴OD=1，
∵OC=3，
∴CD=2，
∵PG∥CD，
∴∠HCD=∠HGP，
在△CHD和△GHP中，
∠CHD=∠GHP∠HCD=∠HGPDH=PH，
∴△CHD≌△GHPAAS，
∴PG=CD=2，
∴PG=−m2+2m+3−3−m=2，
解得m=1或2，
∴P1,4或2,3．
（3）如下图，连接AF，ME．
∵AM是直径，
∴∠AFM=∠AEM=90°，
∴AF⊥CM，ME⊥AE，
∵E，F关于直线AP轴对称，
∴ME=MF，AF=AE，
∵OB=OC=3，∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
∵∠BEM=90°，∠AFB=90°，
∴∠EMB=∠EBM=45°，AF=FB=AE=22AB=22，
∴BE=ME=FM=AB−AE=4−22，
∴OE=3−4−22=22−1，
∴E22−1,0．
12．（21·22上·鄂尔多斯·阶段练习）如图，抛物线y=ax2−2x+c经过直线y=x−3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APB=S△ABC的点P的坐标；
（3）⊙M是过A、B、C三点的圆，连接MC、MB、BC，求劣弧CB的长．
【思路点拨】
（1）先根据y=x−3求出点A、点B的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出点C的坐标，然后求出S△ABC=6，设点Pa,a2−2a−3，再分两种情况讨论，根据S△APB=S△ABC列方程求解即可；
（3）先求出BC=10，∠BMC=90°，然后求出BM=5，最后根据弧长公式进行计算即可．
【解题过程】
（1）解：把x=0代入y=x−3得：y=−3，
∴B(0,−3)，
把y=0代入y=x−3得：x−3=0，
解得：x=3，
∴A3,0，
将点A与点B的坐标代入抛物线y=ax2−2x+c，
得c=−39a−6+c=0，
解得a=1c=−3，
∴抛物线的解析式是y=x2−2x−3；
（2）解：把y=0代入y=x2−2x−3得：x2−2x−3=0，
解得：x1=3，x2=−1，
∴点C−1,0，
S△ABC=12AC×OB=12×3−−1×3=6，
∵P为抛物线上的一个动点，
∴设点Pa,a2−2a−3，
当点P在AB下方时，过点P作PH∥y轴，交AB于点H，如图所示：
点Ha,a−3，
则PH=a−3−a2−2a−3=−a2+3a，
S△PAB=12×3×−a2+3a=−32a2+92a，
∴−32a2+92a=6，
即−32a2+92a−6=0，
∵△=922−4×−32×−6=−63422−1，
∴BN的最小值为22−1．
14．（22·23上·济宁·期末）如图1，已知抛物线y=−x2+bx+c经过点A1，0，B−5,0两点，且与y轴交于点C．

（1）求b，c的值．
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值． 若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．
【思路点拨】
（1）将A、B两点坐标代入y=−x2+bx+c即可求出b=−4,c=5；
（2）由（1）得到抛物线的解析式为y=−x2−4x+5，求出点C0,5，设点Pm,−m2−4m+5，−5