数学九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数综合训练题

这是一份数学九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数综合训练题，共55页。
【典例1】掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点A0,2处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为4,3.6，落在x轴上的点C处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某市男子实心球的得分标准如表：
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
（3）若抛物线经过Mm,y1，Nm+2,y2两点，抛物线在M，N之间的部分为图象H（包括M，N两点），图象H上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为15，求m的值．
【思路点拨】
（1）易得抛物线的顶点坐标为B4,3.6，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把A0,2的坐标代入可得二次函数的比例系数，于是可求出二次函数的解析式；
（2）取函数值为0，看球落地时x的值为多少，根据点C的位置，x取正值即为球抛出去的距离，根据所给表格可判断应得分数；
（3）根据题意得出y1=−0.1m2+0.8m+2，y2=−0.1m2+0.4m+3.2，进而根据m的范围，分四种情况讨论，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【解题过程】
（1）解：由题意可得，抛物线的顶点B的坐标为4,3.6，
设该抛物线的解析式为y=ax−42+3.6a≠0，
∵抛物线经过点A0,2，
∴a0−42+3.6=2，
∴a=−0.1，
∴该抛物线的解析式为：y=−0.1x−42+3.6=−0.1x2+0.8x+2；
（2）解：当y=0时，−0.1x−42+3.6=0，
解得：x1=10，x2=−2，
∵点C在x轴的正半轴，
∴x2=−2舍去，
∴x1=10，即小强在这次训练中的成绩为10米，
∵9.6t，
∴t−ℎ=−4，则ℎ=t+4，
∴y'=−116x−t−42+1.5
∵当球击在篮框上方0.2m及以内范围的篮板上时，球会打板进框，
∴当x=4时，4−3≤y'≤4−3+0.2，即1≤y'≤1.2，
若y'=1，则−1164−t−42+1.5=1，解得：t=±22，
此时距离蓝框的距离L=4−t=4−22或4+22，
若y'=1.2，则−1164−t−42+1.5=1.2，解得：t=±2305，
此时距离蓝框的距离L=4−t=4−2305或4+2305，
即：4−22≤L≤4−2305或4+22≤L≤4+2305
亦即：1.2≤L≤1.8或6.2≤L≤6.8．
14．（2024·贵州黔西·一模）如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以用一次函数y=12x表示，若小球到达的最高点的坐标为(4,8)，解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度（垂直于地面）；
（3）将小球的运动路线所在抛物线平移得到抛物线y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)，当平移后的抛物线与直线OA仅有一个交点，且交点在线段OA上时，ℎ的取值范围是 ．
【思路点拨】
本题主要考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
（1）依据题意，设抛物线的表达式为y=a(x−4)2+8，把(0,0)代入即可得到答案；
（2）依据题意，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）依据题意，由平移后的抛物线与直线OA仅有一个交点，从而平移后抛物线与直线OA相切，进而设将OA向上平移m个单位与二次函数y=−12(x−4)2+8相切，进而可得m=498，此时切点为72,638，反过来，将抛物线y=−12(x−4)2+8向下平移498个单位可与OA相切，即y=−12(x−4)2+158与OA相切，切点为72,74，又求出A(7,72)，结合切点在OA之间移动，即切点72,74由O(0,0)逐渐变化到A(7,72)，进而根据平移规律，最后可得顶点(4,158)应该是由12,18逐渐变化到152,298，进而可以得解．
【解题过程】
（1）解：由题意，∵小球到达的最高的点坐标为(4,8)，
∴设抛物线的表达式为y=a(x−4)2+8，
把(0,0)代入得，0=a(0−4)2+8，
解得：a=−12，
∴抛物线的表达式为y=−12(x−4)2+8；
（2）由题意，小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度ℎ=−12(x−4)2+8−12x=−12(x−72)2+498，
∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为498；
（3）由题意，
∵平移后的抛物线与直线OA仅有一个交点，
∴平移后抛物线与直线OA相切．
设将OA向上平移m个单位与二次函数y=−12(x−4)2+8相切，
∴ y=12x+my=−12(x−4)2+8得12x2−72x+m=0，Δ=494−2m=0．
∴m=498，此时切点为72,638．
∴反过来，将抛物线y=−12(x−4)2+8向下平移498个单位可与OA相切，
即y=−12(x−4)2+158与OA相切，切点为72,74．
又y=12xy=−12(x−4)2+8，
∴ x=0y=0或x=7y=72．
∴A(7,72)．
∵切点在OA之间移动，即切点72,74由O(0,0)逐渐变化到A(7,72)，
∴切点变化到O时，横坐标减去72，纵坐标减去74；切点变化到A时，横坐标加上72，纵坐标加上74．
∴顶点(4,158)也应该满足上述变化．
∴根据以上点的平移规律得，顶点(4,158)应该是由4−72,158−74，即12,18逐渐变化到4+72,158+74，即152,298．
∴ 12≤ℎ≤152．
故答案为：12≤ℎ≤152．
15．（2024·河南周口·模拟预测）如图，排球运动场的长为18m，球网在场地中央，高度为2.24m，排球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．小乐在场地左侧边界处（距球网7m）练习发球，某次发球，击球点的高度为2m，当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度2.5m．小乐同学建立了如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示1m）．
（1）求此抛物线的解析式（不写自变量的取值范围）．
（2）通过计算判断此球是否能够过网．若能过网，请进一步判断是否会出界．
（3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，要使球既能过网又不出界，请直接写出发球点距离球网的距离 d 的取值范围．（结果保留根号）
【思路点拨】
本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
（1）根据排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度2.5m，求出抛物线的顶点坐标为(−2,2.5)，再用待定系数法求解即可；
（2）计算当x=0时，y的值，与2.24比较；再根据右边界的坐标为(9,0)，令y=0，求出x值与9比较即可；
（3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，设击出的排球轨迹为y=−150(x+ℎ)2+52，求解出击出排球轨迹的临界点，即可得解．
【解题过程】
（1）解：∵当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度2.5m，7−5=2，
∴抛物线的顶点坐标为(−2,2.5)，
设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+52，
∵点(−7,2)在抛物线上，
∴2=a(−7+2)2+52，解得a=−150，
∴y=−150(x+2)2+52．
（2）解：当x=0时，y=−150×4+52=2.42>2.24，
∴此球能够过网；
根据题意得右边界的坐标为(9,0)
∴当y=0时，−150(x+2)2+52=0，
解得x1=55−2，x2=−55−2（舍去），
∵55−2>9，
∴不会落在界内，会出界．
（3）解：小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，
∴设击出的排球轨迹为y=−150(x+ℎ)2+52，
当该轨迹经过球网的顶端坐标(0,2.24)时，
−150ℎ2+52=2.24，解得ℎ=13，（ℎ=−13舍去）
∴y=−150(x+13)2+52，
此时当y=2时，解得：x=5−13（舍去）或x=−5−13．
∴d=5+13，
当该轨迹经过右边界的坐标(9,0)时，−150(9+ℎ)2+52=0，
解得ℎ=−9+55（不符合题意的根舍去），
∴y=−150(x+55−9)2+52，
此时当y=2时，x=4−55或x=14−55（舍去），
∴d=55−4，
经过分析，若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），55−4