初中数学人教版（2024）九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数练习

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数练习，共57页。
【典例1】根据下列素材，探索完成任务．
【思路点拨】
本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的建立坐标系求解函数解析式是解本题的关键；
任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，，建立直角坐标系，如图：再利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
任务二：如图，6名同学，以直线x=52为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，再求解对应的函数值与身高比较即可；
任务三：如图，设置战队方式如下：由高往左右两侧对称排列，再计算当x=2.25或x=2.75时， 当x=1.75或x=3.25时， 当x=1.25或x=3.75时，得到站队方式符合要求，再求解左边第一个的横坐标是取值范围即可．
【解题过程】
解：任务一：
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：

由已知可得，(0,1)，(5,1)在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为2.5,2，
设抛物线解析式为y=ax−522+2，
∴254a+2=1，
解得a=−425，
∴抛物线的函数解析式为y=−425x−522+2；
任务二：
∵y=−425x−522+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=52，
如图，6名同学，以直线x=52为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，
对称轴两侧的2位男同学所在位置横坐标分布是2，3，
∴有1个1.65米的女生的横坐标为1或4，
当x=2时或x=3时，y=−425x−522+2=4925=1.96>1.70，
当x=1.5或x=3.5时，y=−425x−522+2=4625=1.84>1.70
当x=1或x=4时，y=−425x−522+2=4125=1.641.80，
当x=1.75或x=3.25时，y=−425x−522+2=1.91>1.80，
当x=1.25或x=3.75时，y=−425x−522+2=1.75>1.65，
∴站队方式符合要求，
当y=1.65时，则−425x−522+2=1.65，
∴x1=10+354，x2=10−354，
∴左边第一个队员的横坐标的范围为：10−3540）个单位长度，使得平移后的函数图象在9≤x≤10之间，且y随x的增大而减小，请直接写出m的取值范围．
16．（2024·贵州毕节·三模）如图①，是一间学校体育场的遮阳蓬截面图，某校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳蓬截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与横梁AB相互垂直，且CO=5，AB=10．
（1）建立如图②平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
（2）若为了使遮阳蓬更加牢固，在遮阳蓬内部设计了一个矩形框架（如图②所示），且DE:EF=4:3，求EF的长；
（3）根据（1）中求解得到的函数表达式，若当p≤x≤p+1时，函数的最大值与最小值的差为1，求p的值．
17．（2024·山东青岛·二模）某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图1所示，其中支架DE=BC=3米，OF=DF=BD=2米，两种支架各用了200根．
为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线型，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预算为40000元．
（1）分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的顶部抛物线的函数解析式；
②求出改造前大棚的最大高度；
（2）只考虑经费情况下，求出CC'的最大值．
18．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）有一座横截面由矩形和抛物线构成的拱桥，抛物线上方是路面，抛物线下方是水面，如图所示，并建立平面直角坐标系，已如水面宽OA是16m；当水面上升158m时，水面宽减少了2m ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一艘横截面为矩形的货船，最宽处为10m ，露出水面的高度为3.5m ，该货船能否正常通过这座拱桥？请说明理由；
（3）现需要在拱桥的抛物线上点B处安装一个矩形BCDE灯带来美化桥面，点C在抛物线上且BC与水面平行，D，E在路面上，路面到水面的垂直距离为10米．为了美观，点B距离水面不能低于7.5m，求矩形BCDE灯带的周长l范围．
19．（2024·贵州·模拟预测）如图①是位于安顺的坝陵河大桥．某兴趣小组受到该桥的启示，设计了一座桥的模型， 它的两桥塔AD，BC 之间的悬索DPC 是抛物线型(如图②所示)，悬索上设置有若干条 垂直于水平线AB的吊索，图中， AD=BC=10cm，AB=32cm，悬索上最低点P 到AB的垂直距离PO=2cm． (悬索 DPC与 AB在同一平面内)
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
（2）根据设计要求，从抛物线的顶点P 开始，每相隔2cm 有一条吊索，当吊索高度 大于或等于4cm时，需加固．求此条抛物线有多少条吊索需要加固；
（3）若抛物线经过两点E(m,y1)，F(m+2,y2)，抛物线在E，F之间的部分为图象G(包括 E，F 两点)，图象G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，当t=1 时，求m 的值．
20．（2024·辽宁大连·一模）【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m．
如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为320，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中．
【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系?
【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题．
【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）．
（1）请直接写出以下问题的答案：
①右侧悬索最高点B的坐标；
②y与x的函数解析式；
③最长的吊杆的长度；
（2）某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟；
（3）如图3，灯光秀中一个射灯光源C（−70，−21），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上?
如何设计跳绳的方案
素材1
参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2人，共计8人，他们在同一平面内站成一路纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线．摇绳的两名队员水平间距AB为5米，他们的手到地面的高度AC=BD=1米，绳子最高点距离地面2米．

素材2
某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男生身高均在1.70－1.80米，女生身高一人为1.7米高，两人都为1.65米，为保证安全，跳绳队员之间的距离至少0.5米．
问题解决
任务1
确定长绳在最高点时的形状
在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究站队的方式
若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳能否顺利甩过所有队员的头顶？
任务3
设计位置方案
为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位队员横坐标的取值范围．
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？
素材1
图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示．
某时测得水面宽20m，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
素材2
为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
任务1
确定桥拱形状
根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2
拟定设计方案
求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3
探究救生绳长度
当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
专题22.4 拱桥问题——二次函数的应用
典例分析

【典例1】根据下列素材，探索完成任务．
【思路点拨】
本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的建立坐标系求解函数解析式是解本题的关键；
任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，，建立直角坐标系，如图：再利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
任务二：如图，6名同学，以直线x=52为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，再求解对应的函数值与身高比较即可；
任务三：如图，设置战队方式如下：由高往左右两侧对称排列，再计算当x=2.25或x=2.75时， 当x=1.75或x=3.25时， 当x=1.25或x=3.75时，得到站队方式符合要求，再求解左边第一个的横坐标是取值范围即可．
【解题过程】
解：任务一：
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：

由已知可得，(0,1)，(5,1)在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为2.5,2，
设抛物线解析式为y=ax−522+2，
∴254a+2=1，
解得a=−425，
∴抛物线的函数解析式为y=−425x−522+2；
任务二：
∵y=−425x−522+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=52，
如图，6名同学，以直线x=52为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，
对称轴两侧的2位男同学所在位置横坐标分布是2，3，
∴有1个1.65米的女生的横坐标为1或4，
当x=2时或x=3时，y=−425x−522+2=4925=1.96>1.70，
当x=1.5或x=3.5时，y=−425x−522+2=4625=1.84>1.70
当x=1或x=4时，y=−425x−522+2=4125=1.641.80，
当x=1.75或x=3.25时，y=−425x−522+2=1.91>1.80，
当x=1.25或x=3.75时，y=−425x−522+2=1.75>1.65，
∴站队方式符合要求，
当y=1.65时，则−425x−522+2=1.65，
∴x1=10+354，x2=10−354，
∴左边第一个队员的横坐标的范围为：10−3540，则−2=−12t2+2，
解得t=22，
∴水面宽度为42，
∴水面宽度增加了(42−4)m，③正确．
故选D．
5．（2023·吉林长春·二模）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5m（即 NC=4.5m，建立如图所示的平面直角坐标系．当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF= m．
【思路点拨】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．
【解题过程】
解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为0,6，A点坐标为−10,0，B点坐标为10,0，
设中间大抛物线的函数式为y=ax2+bx+c，
代入三点的坐标得到c=6100a−10b+c=0100a+10b+c=0，
解得a=−350b=0c=6．
∴函数式为y=−350x2+6．
∵NC=4.5米，
∴令y=4.5米，代入解析式得4.5=−350x2+6
解得：x1=5，x2=−5，
∴可得EF=x1−x2=5−−5=10(米)．
故答案为：10．
6．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A、B两点，桥拱最高点C到AB的距离为10m，AB=40m，D、E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为10m，则DE的长为 m．
【思路点拨】
本题主要考查二次函数综合应用的知识点，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，此题难度较大．首先建立平面直角坐标系，设AB与y轴交于点H，求出OC的长，然后设该抛物线的解析式为：y=ax2+k，根据题干条件求出a和k的值，再令y=0，求出x的值，即可求出D和E点的坐标，即可求解．
【解题过程】
解：建立平面直角坐标系如图：
设AB与y轴交于点H，
∵AB=40m,
∴AH=BH=20m,
由题可知：OH=10m,CH=10m,
∴OC=10+10=20m,
设该抛物线的解析式为：y=ax2+k，
∵顶点坐标C(0,20)，
∴y=ax2+20,
代入点(20,10),
∴10=400a+20,
∴400a=−10,
∴a=−140,
∴抛物线∶y=−140x2+20，
当y=0时，0=−140x2+20，
∴x2=800,
∴x=±202,
∴E(202,0),D(−202,0),
∴OE=OD=202m
∴DE=OD+OE=202+202=402m,
故答案为： 402．
7．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱AD和BC高均为0.75米，门宽AB为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面AB的最大高度为4.8米，工人师傅站在倾斜木板AM上，木板点M一端恰好落在门拱上且到点A的水平距离AN为7.5米，工人师傅能刷到的最大垂直高度为2.4米，则在MA上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为 米．
【思路点拨】
本题主要考查的是二次函数的实际应用，同时考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识．先根据题意建立如图所示坐标系，然后利用待定系数法即可求出函数解析式，然后求出点M坐标，再求出直线OM的解析式，设工人能够刷到的最大高度点为E，过E作x轴的垂线交直线OM于点F，设点E的坐标为m,−0.2(m−4.5)2+4.8，则F(m,0.4m)，求出EF，再根据EF=2.4，解出m的值，从而得出结论．
【解题过程】
解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意知，抛物线顶点的坐标为(4.5,4.8)，
设抛物线的解析式为y=a(x−4.5)2+4.8，
∵AD=0.75，
∴D(0,0.75)
∴将点D代入抛物线解析式得，0.75=4.52a+4.8，
解得a=−0.2，
∴抛物线对应的函数的解析式为y=−0.2(x−4.5)2+4.8，
将x=7.5代入y=−0.2(x−4.5)2+4.8中，得y=3，
∴点M坐标为(7.5,3)，
∴设直线OM的解析式为y=kx(k≠0)，
将点M(7.5,3)代入y=kx得，7.5k=3，
∴k=0.4，
∴直线OM的解析式为y=0.4x，
设工人能够刷到的最大高度点为E，过E作x轴的垂线交直线OM于点F，
∵设点E的坐标为m,−0.2(m−4.5)2+4.8，则F(m,0.4m)，
∴EF=−0.2(m−4.5)2+4.8−0.4m=−0.2m2+1.4m+0.75=−0.2(m−3.5)2+3.2，
∵师傅能刷到的最大垂直高度是2.4米，
∴当EF=2.4时，即−0.2(m−3.5)2+3.2=2.4，
解得m1=1.5，m2=5.5，
∵5.5−1.5=4米，
∴工人师傅刷不到的最大水平宽度为4米，
故答案为：4．
8．（2024·河南南阳·三模）如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点M为顶点，其高为9米，宽OE为18米，以点O为原点，OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系．矩形ABCD是安装的一个“光带”，且点A，D在抛物线上，点B，C在OE上．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）求所需的三根“光带” AB，AD，DC的长度之和的最大值，并写出此时OB的长．
【思路点拨】
本题考查了二次函数的应用，
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）设点A的坐标为(m,−19m2+2m)，用m的值表示出AB，AD，DC的长度，得到关于m的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
正确记忆相关知识点是解题关键．
【解题过程】
（1）解：由题意知，顶点M(9,9)，E(18,0)，
可设该抛物线的函数表达式为y=a(x−9)2+9，
∵抛物线过原点O(0,0)，
∴a(0−9)2+9=0，
解得a=−19，
∴该抛物线的函数表达式为y=−19(x−9)2+9=−19x2+2x；
（2）设点A的坐标为(m,−19m2+2m)，则OB=m，AB=DC=−19m2+2m，
根据抛物线的轴对称性质，可得OB=CE=m，
故BC=AD=18−2m，
∴ AB+AD+DC=−19m2+2m+18−2m−19m2 +2m=−29m2+2m+18=−29(m−92)2+452，
∵−2910，则该轮船能正常通过这座拱桥．
（3）将y=7.5代入y=−18x2+2x中，得：7.5=−18x2+2x， 求出点B的坐标为(6,7.5)，点C的坐标为(10,7.5)，则EB的长为10−7.5=2.5 米，BC的长为10−6=4米，则矩形BCDE的周长l=(2.5+4)×2=6.5×2=13（米），故此时矩形BCDE 的周长小于13米，再求出抛物线的顶点坐标为(8,8)，则线段BE的长为10−8=2m，故矩形BCDE的周长大于4米，所以矩形灯带周长l的范围为：4m10，
所以货船能正常通过拱桥；
（3）当点B距水面7.5m时，
如图，作直线y=7.5，与抛物线交于B、C 两点．
将y=7.5代入y=−18x2+2x中，
得：7.5=−18x2+2x，60=−x2+16x，x2−16x+60=0，
(x−6)(x−10)=0，
解得x1=6，x2=10，
即点B的坐标为(6,7.5)，
点C的坐标为(10,7.5)，
此时EB的长为10−7.5=2.5 米，
BC的长为10−6=4米，
则矩形BCDE的周长l=(2.5+4)×2=6.5×2=13（米)．
点B距水面高于7.5m时：此时点B位于抛物线上BC部分，显然这时的矩形要比点B距水面7.5m时的矩形小，故此时矩形BCDE 的周长小于13米．
当点B位于抛物线顶点位置时：此时不存在矩形ABCD，仅有线段BE，由(6,.7.5)和(10,7.5)可知y=−18x2+2x 的对称轴为直线x=(6+10)÷2=8，
将x=8代入y=−18x2+2x，得y=−18×64+2×8=−8+16=8，
所以抛物线的顶点坐标为(8,8)，
因此当B在抛物线的顶点处时，线段BE的长为10−8=2m，故矩形BCDE的周长大于4米，
综上，矩形BCDE灯带的周长l的范围为：4