2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习5（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习5（含答案），共15页。

(1)求c和k的值(用含m的代数式表示)；
(2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点(M在N的左侧)，交y轴于点C．求的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段BD的中点，探究∠MEN与∠ABC的数量关系，并说明理由．
如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(1，0)，B(﹣3，0)．
(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
(2)设点D是x轴上一点，当tan(∠CAO+∠CDO)=4时，求点D的坐标；
(3)如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、C两点，点A在点C的右边，与y轴交于点B，点B的坐标为(0，﹣3)，且OB=OC，点D为该二次函数图象的顶点.
(1)求这个二次函数的解析式及顶点D的坐标；
(2)如图，若点P为该二次函数的对称轴上的一点，连接PC、PO，使得∠CPO=90°，请求出所有符合题意的点P的坐标；
(3)在对称轴上是否存在一点P，使得∠OPC为钝角，若存在，请直接写出点P的纵坐标为yp的取值范围，若没有，请说明理由.
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与直线AB相交于A(﹣1，0)，B(3，2)，与x轴交于另一点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA＋eq \f(\r(5),5)DB的最小值.
如图，已知抛物线与x轴交点坐标为A(1，0)，C(﹣3，0)，
(1)如图1，已知顶点坐标D为(﹣1，4)或B点(0，3)，选择适当方法求抛物线的解析式；
(2)如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；
(3)如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P(m，0)(﹣3＜m＜﹣1)，与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．
如图1，一次函数y＝eq \r(3)x﹣4eq \r(3)的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，二次函数y＝ax2﹣eq \r(3)x＋c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P是二次函数图象的一个动点，设点P的横坐标为m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；
(3)如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．点M是直线BC上一动点，在坐标平面内是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0．
(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P(a，y1)，Q(1，y2)是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；
(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点，求出定点坐标．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA．当∠PAB＝∠ACO时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离．
已知，在菱形OABC中，∠OAB=60°，OC=2．若以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第四象限内．将菱形OABC沿直线OA折叠后，点C落在点E处，点B落在点D出．
(1)求点D和E的坐标；
(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过C、D、E点，求抛物线的解析式；
(3)如备用图所示，已知在平面内存在点P到直线AC，CE，EA的距离相等，试求点P的坐标．
已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°．动点P从0点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．
(1)求直线AC的解析式；
(2)求经过0，A，B三点的抛物线的解析式；
(3)试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似？
(4)是否存在某一时刻，使△PAQ为等腰三角形？若能，请直接写出t的所有可能的值；若不能，请说明理由．
\s 0 答案
解：(1)∵抛物线y＝x2﹣4x＋c与直线I：y＝kx交于点G(1，m)，
∴m＝12﹣4×1＋c，m＝k×1，
∴c＝m＋3，k＝m；
(2)∵直线x＝m﹣1交直线l于点A，
∴y＝m(m﹣1)＝m2﹣m，
∴A(m﹣1，m2﹣m)，
∵直线x＝m﹣1交抛物线于点B，
∴y＝x2﹣4x＋m＋3＝(m﹣1)2﹣4(m﹣1)＋m＋3＝m2﹣5m＋8，
∴B(m﹣1，m2﹣5m＋8)，
∴AB＝﹣4m＋8，
∵过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点(M在N的左侧)，交y轴于点C，
∴C(0，m2﹣m)，点M的纵坐标与点A的纵坐标相等，
∴m2﹣m＝x2﹣4x＋m＋3，
解得：x1＝m＋1，x2＝﹣m＋3，
∴M(m＋1，m2﹣m)，N(﹣m＋3，m2﹣m)，
∴AM＝m＋1﹣(m﹣1)＝2，
∴＝＝﹣2m＋4，
∵﹣2＜0，且﹣1≤m＜0，
∴的值随着m的增大而减小，
当m＝﹣1时，＝﹣2×(﹣1)＋4＝6，
当m＝0时，＝﹣2×0＋4＝4，
∴4≤≤6；
(3)∠MEN＝2∠ABC．理由如下：
∵BD∥x轴，
∴点D的纵坐标与点B的纵坐标相等，
∴m2﹣5m＋8＝x2﹣4x＋m＋3，解得：x1＝m﹣1，x2＝﹣m＋5，
∴D(﹣m＋5，m2﹣5m＋8)，
∵点E是线段BD的中点，
∴E(2，m2﹣5m＋8)，
如图，设直线x＝2交直线MN于点F，则F(2，m2﹣m)，
∴MF＝NF＝﹣m＋1，EF＝m2﹣5m＋8﹣(m2﹣m)＝﹣4m＋8，
∵AC＝0﹣(m﹣1)＝﹣m＋1，AB＝﹣4m＋8，
∴tan∠ABC＝＝，
∵tan∠MEF＝＝，tan∠NEF＝＝，
∴∠MEF＝∠NEF＝∠ABC，
∴∠MEN＝2∠ABC．
解：(1)由题意把点(1，0)，(﹣3，0)代入y=﹣x2+bx+c，
得，，解得b=﹣2，c=3，
∴y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4，
∴此抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为(﹣1，4)；
(2)∵抛物线顶点C(﹣1，4)，∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，
设抛物线对称轴与x轴交于点H，则H(﹣1，0)，
在Rt△CHO中，CH=4，OH=1，∴tan∠COH==4，
∵∠COH=∠CAO+∠ACO，
∴当∠ACO=∠CDO时，tan(∠CAO+∠CDO)=tan∠COH=4，
如图1，当点D在对称轴左侧时，
∵∠ACO=∠CDO，∠CAO=∠CAO，∴△AOC∽△ACD，∴=，
∵AC==2，AO=1，∴=，∴AD=20，∴OD=19，
∴D(﹣19，0)；
当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x=1的对称点D'的坐标为(17，0)，
∴点D的坐标为(﹣19，0)或(17，0)；
(3)设P(a，﹣a2﹣2a+3)，将P(a，﹣a2﹣2a+3)，A(1，0)代入y=kx+b，
得，，解得，k=﹣a﹣3，b=a+3，∴yPA=(﹣a﹣3)x+a+3，
当x=0时，y=a+3，∴N(0，a+3)，如图2，
∵S△BPM=S△BPA﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN=S△EBO﹣S四边形BMNO，
∴S△BPM﹣S△EMN=S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON
=eq \f(1,2)×4×(﹣a2﹣2a+3)﹣eq \f(1,2)×3×3﹣eq \f(1,2)×1×(a+3)=﹣2a2﹣eq \f(9,2)a=﹣2(a+)2+，
由二次函数的性质知，当a=﹣时，S△BPM﹣S△EMN有最大值，
∵△BMP和△EMN的面积分别为m、n，∴m﹣n的最大值为．
解：(1)∵B(0，﹣3)，
∴OB=3，
∵OB=OC，
∴OC=3，
∴C(0，﹣3)，
∴，∴，
∴二次函数的解析式为y=x2＋2x﹣3=﹣(x﹣1)2﹣4，
∴D(﹣1，﹣4)；
(2)如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
设P(﹣1，p)，∵∠COP＋∠OPQ=90°，∠CPQ＋∠OPQ=90°，
∴∠COP=∠CPQ，
∴tan∠COP=tan∠CPQ，
在Rt△QOP中，tan∠COP=，
在Rt△CPQ中，tan∠CPQ=，
∴，
∴PQ2=CQ×OQ=2(此处可以用射影定理，也可以判断出△CPQ∽△POQ)，
∵PQ＞0，
∴PQ=eq \r(2)，∴p=eq \r(2)或p=﹣eq \r(2)，
∴P(﹣1，eq \r(2))或(﹣1，﹣eq \r(2))；
(3)存在这样的点P，
理由：如图，由(2)知，yP=±eq \r(2)时，∠OPC=90°，
∵yP=0时，∠OPC是平角，
∴当﹣eq \r(2)＜yP＜eq \r(2)且yP≠0时，∠OPC是钝角.
解：(1)把A(﹣1，0)、B(3，2)代入y＝ax2＋bx＋2，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝-eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2．
(2)存在．如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F(3，0)．
当y＝0时，由-eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2＝0，得x1＝1，x2＝4，
∴C(4，0)，
∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣(﹣1)＝4；
又∵BF＝2，
∴，
∵∠BFC＝∠AFB＝90°，
∴△BFC∽△AFB，
∴∠CBF＝∠BAF，
∴∠ABC＝∠CBF＋∠ABF＝∠BAF＋∠ABF＝90°，
∴BC∥AE，
∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，
∴△BCF≌△EAO(ASA)，
∴BC＝EA，
∴四边形ABCE是矩形；
∵OE＝FB＝2，
∴E(0，﹣2)．
(3)如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.
由(2)得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，
∴CF＝CD，CB＝eq \r(5)．
∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF(公共角)，
∴△FCL∽△BCF，
∴＝，∴＝，
∵∠DCL＝∠BCD(公共角)，
∴△DCL∽△BCD，
∴＝，
∴LD＝eq \f(\r(5),5)DB；
∵DA＋LD≥AL，
∴当DA＋LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA＋eq \f(\r(5),5)DB＝DA＋LD＝AL最小．
∵CL＝eq \f(\r(5),5)CF＝eq \f(\r(5),5)，∴BL＝eq \f(4\r(5),5)，∴BL2＝(eq \f(4\r(5),5))2＝eq \f(16,5)，
又∵AB2＝22＋42＝20，
∴AL＝＝＝，DA＋DB的最小值为．
解：(1)由抛物线的顶点D的坐标(﹣1，4)可设其解析式为y＝a(x＋1)2＋4，
将点C(﹣3，0)代入，得：4a＋4＝0，解得a＝﹣1，
则抛物线解析式为y＝﹣(x＋1)2＋4＝﹣x2﹣2x＋3；
(2)连接BC，交DH于点M，此时△ABM的周长最小，
当y＝0时，﹣(x＋1)2＋4＝0，解得x＝﹣3或x＝1，
则A(1，0)，C(﹣3，0)，
当x＝0时，y＝3，则B(0，3)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B(0，3)，C(﹣3，0)代入得
，解得：，
∴直线BC解析式为y＝x＋3，
当x＝﹣1时，y＝﹣1＋3＝2，
所以点M坐标为(﹣1，2)；
(3)由题意知E(m，﹣m2﹣2m＋3)，F(m，m＋3)，
则EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m＋3﹣(m＋3)＝﹣m2﹣3m＝﹣(m＋eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，
∴当m＝﹣eq \f(3,2)时，线段EF最长．
解：(1)对直线y＝eq \r(3)x﹣4eq \r(3)，当x＝0时，y＝﹣4eq \r(3)；当y＝0时，x＝4，
∴C(0，﹣4eq \r(3))，B(4，0)，
将点B、C代入y＝ax2﹣eq \r(3)x＋c得：
，∴，
∴抛物线的解析式为y＝eq \f(\r(3),2)x2﹣eq \r(3)x﹣4eq \r(3)；
(2)∵C(0，﹣4eq \r(3))，B(4，0)，
∴OC＝4eq \r(3)，OB＝4，
∴tan∠ABC＝eq \r(3)，
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC＝2∠ABP，
∴∠ABP＝30°，
如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵点P的横坐标为m，
∴BH＝4﹣m，PH＝|eq \f(\r(3),2)m2﹣eq \r(3)m﹣4eq \r(3)|，
∴tan∠ABP＝eq \f(\r(3),3)，
解得：m＝4(舍)或m＝﹣eq \f(8,3)或m＝﹣eq \f(4,3)，
∴m的值为﹣eq \f(8,3)或m＝﹣eq \f(4,3)；
(3)由y＝eq \f(\r(3),2)x2﹣eq \r(3)x﹣4eq \r(3)可知对称轴为直线x＝1，
∵C(0，﹣4eq \r(3))，
∴D(2，﹣4eq \r(3))，
∵以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形，设M(x，eq \r(3)x﹣4eq \r(3))，
①如图2，以CD为对角线时，MN垂直平分CD，
∴点M的横坐标为1，
当x＝1时，y＝eq \r(3)﹣4eq \r(3)＝﹣3eq \r(3)，
∴M1(1，﹣3eq \r(3))，
∴N1(1，﹣5eq \r(3))，
②以CM为对角线时，CD＝MD，
∵C(0，﹣4eq \r(3))，D(2，﹣4eq \r(3))，
∴22＝(x﹣2)2＋(eq \r(3)x)2，解得：x＝0(舍)或x＝1，
∴M2(1，﹣3eq \r(3))，
∴N2(﹣1，﹣3eq \r(3))，
③如备用图，以CN为对角线时，CM＝CD＝2，
∴22＝x2＋(eq \r(3)x)2，解得：x＝1或x＝﹣1，
∴M3(1，﹣3eq \r(3))或M4(﹣1，﹣5eq \r(3))，
∴N3(3，﹣3eq \r(3))，N4(1，﹣5eq \r(3))，
综上所述，存在，N1(1，﹣5eq \r(3))，N2(﹣1，﹣3eq \r(3))，N3(3，﹣3eq \r(3))．
解：(1)证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，
②当k≠0时，∵△=(2k+1)2﹣4k×2=(2k﹣1)2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
(2)解：令y=0，则kx2+(2k+1)x+2=0，解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣k﹣1，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k=1．
∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，

由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣3．
(3)依题意得kx2+(2k+1)x+2﹣y=0恒成立，即k(x2+2x)+x﹣y+2=0恒成立，
则，解得或．
所以该抛物线恒过定点(0，2)、(﹣2，0)．
解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，
∴，解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2＋4x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C(0，﹣3)；
(2)设P(t，﹣t2＋4t﹣3)，如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，连接AC、AP，
则∠ADP＝∠AOC＝90°，AD＝t﹣1，PD＝﹣(﹣t2＋4t﹣3)＝t2﹣4t＋3，
又OA＝1，OC＝3，
∵∠PAB＝∠ACO，
∴△APD∽△CAO，
∴＝，即＝，
∴3t2﹣13t＋10＝0，解得：t1＝1(舍去)，t2＝eq \f(10,3)，
当t＝eq \f(10,3)时，﹣t2＋4t﹣3＝﹣(eq \f(10,3))2＋4×eq \f(10,3)﹣3＝﹣eq \f(7,9)
∴P(eq \f(10,3)，﹣eq \f(7,9))；
(3)如图2，连接AQ、PQ，过点P作PE⊥PA交AQ于点E，过点E作EF⊥PQ于点F，
由(2)知：P(eq \f(10,3)，﹣eq \f(7,9))，∠PAC＝90°，
∴PD＝eq \f(7,9)，AD＝eq \f(10,3)﹣1＝eq \f(7,3)，∠ADP＝90°，
∵将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，
∴D、P、Q在同一条直线上，
∴∠APD＋∠EPF＝90°，
∵∠PFE＝90°＝∠ADP，
∴∠PEF＋∠EPF＝90°，
∴∠APD＝∠PEF，
∵AQ平分∠PAC，
∴∠PAE＝eq \f(1,2)∠PAC＝eq \f(1,2)×90°＝45°，
又PE⊥PA，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP＝PE，
∴△APD≌△PEF(AAS)，
∴PF＝AD＝eq \f(7,3)，EF＝PD＝eq \f(7,9)，
∴E(，﹣)，
设直线AE的解析式为y＝kx＋d，则
，解得：，
∴直线AE的解析式为y＝﹣2x＋2，
当x＝eq \f(10,3)时，y＝﹣2x＋2＝﹣2×eq \f(10,3)＋2＝﹣eq \f(14,3)，
∴Q(eq \f(10,3)，﹣eq \f(14,3))，
∵﹣eq \f(7,9)，﹣(﹣eq \f(14,3))＝，
∴抛物线y＝﹣x2＋4x﹣3向下平移了个单位．
解：(1)如图1中，连接OB，作EM⊥OD于M．
∵四边形ABCD是菱形，∴OA=AB=OC=BC=2，
∵∠OAB=60°，∴△OAB，△OBC是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOD=60°，
∵四边形AOED是由四边形OABC沿OA翻折得到，
∴点D在x轴上，OD=DE=EO=2，
在RT△EOM中，∵∠∠EMO=90°，∠MEO=30°，EO=2，
∴MO=1，EM=eq \r(3)，
∴点D坐标(﹣2，0)，点E坐标(﹣1，eq \r(3))．
(2)∵C(2，0)，D(﹣2，0)，∴C与D关于y轴对称，
∴抛物线的对称轴为y轴，即∴b=0，
把C(或D)与E的坐标代入y=ax2+c得
解得，，
∴抛物线的解析式为y=﹣eq \f(\r(3),3)x2+eq \f(4\r(3),3)．
(3)如图2中，P1(0，0)是△ACE的内心，P1，P2，P3是△ACE的外角平分线的交点．
则P1、P2、P3、P4到△ACE三边距离相等．
由(1)可知，△ACE是等边三角形，∠P3EC=∠P3CE=60°，
∴△P3EC是等边三角形，同理△P2AE，△P4AC都是等边三角形且边长都是2eq \r(3)，
∵P3P4⊥OC，∴P3(2，2eq \r(3))，P4(2，﹣2eq \r(3))，
∵OP2=4，∴P1(0，0)，P2(﹣4，0)．
综上所述满足条件的点P的坐标：
P1(0，0)，P2(﹣4，0)，P3(2，2eq \r(3))，P4(2，﹣2eq \r(3))．

解：(1)过C点作x轴的垂线，垂足为D点，在平行四边形OABC中，由OA=5，AB=4，
∠OCA=90°，得AC=3，由面积法，得CD×OA=OC×AC，解得CD==，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OD==，∴C(，)，
又∵A(5，0)，∴直线AC解析式为：y=﹣x+；
(2)∵C(，)，∴B(，)，
∵O(0，0)，A(5，0)，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，代入得
，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．
(3)当0≤t≤2.5时，P在OA上，∠OAQ≠90°，
故此时△OAC与△PAQ不可能相似．
当t＞2.5时，①若∠APQ=90°，则△AQP∽△OAC，
故==，∴=，∴t=，
∵t＞2.5，∴t=eq \f(25,6)符合条件．
②若∠AQP=90°，则△APQ∽△OAC，故==，
∴=，∴t=，∵t＞2.5，∴t=符合条件．
综上可知，当t=eq \f(25,6)或eq \f(20,3)时，△OAC与△APQ相似．
(4)有四种情况：
①点P在A左侧：AP=AQ时，t=eq \f(5,3)，
②点P在A右侧：AP=AQ时，t=5，
③点P在A右侧：QA=QP时，t=12.5，
④点P在A右侧：PA=PQ时，t=．