2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习（五）（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习（五）（含答案），共18页。试卷主要包含了B两点，与y轴交于点C．等内容，欢迎下载使用。

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标；
(3)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
(3)在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．
例如：y＝(x﹣h)2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣(x﹣h)2＋k．
(1)请写出抛物线y＝(x﹣2)2﹣4的顶点坐标 ，及其“镜像抛物线”y＝﹣(x﹣2)2＋4的顶点坐标 ．写出抛物线y=﹣eq \f(1,2)(x﹣1)2＋eq \f(3,2)的“镜像抛物线”为 ．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax＋1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'．
①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．
②求正方形BB'C'C所含(包括边界)整点个数．(说明：整点是横、纵坐标均为整数的点)
如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于A(﹣1，0)，B(m，0)两点，与y轴相交于点C(0，﹣3)，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．
(3)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．
①求线段PM长度的最大值．
②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH＋HF＋eq \f(\r(2),2)CF的最小值．
如图，抛物线与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)，交y轴于C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；
(3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．
如图，平行四边形ABCD中，D点在抛物线y=eq \f(1,8)x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB=eq \f(3,4)，M是抛物线与y轴的交点．
(1)求直线AC和抛物线的解析式；
(2)动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动．问：当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？
(3)在(2)中当P运动到某处时，四边形PDCQ的面积最小，求此时△CMQ的面积．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，选择一种情况加以说明；若不存在，说明理由．
在平面直角坐标系中，二次函数y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝eq \f(15,2)，求点P的坐标；
(3)如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．
如图，已知抛物线y=x2﹣(m＋3)x＋9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x＋3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴分别交于D、E两点．
(1)求m的值；
(2)求A、B两点的坐标；
(3)当﹣3＜x＜1时，在抛物线上是否存在一点P，使得△PAB的面积是△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝ax2＋eq \f(3,2)x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A(1，0)，C(0，﹣2)，连接AC，BC．
(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
(2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．
\s 0 答案
解：(1)在y=﹣eq \f(1,2)x+2中，令y=0，得x=4，令x=0，得y=2
∴A(4，0)，B(0，2)把A(4，0)，B(0，2)，代入y=eq \f(1,2)x2+bx+c，
得，解得
∴抛物线得解析式为y=eq \f(1,2)x2+eq \f(3,2)x+2.
(2)如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F
∵BE∥x轴，∴∠BAC=∠ABE
∵∠ABD=2∠BAC，∴∠ABD=2∠ABE即∠DBE+∠ABE=2∠ABE
∴∠DBE=∠ABE∴∠DBE=∠BAC
设D点的坐标为(x，eq \f(1,2)x2+eq \f(3,2)x+2)，则BF=x，DF=eq \f(1,2)x2+eq \f(3,2)x
∵tan∠DBE=，tan∠BAC=∴=，解得x1=0(舍去)，x2=2
当x=2时，eq \f(1,2)x2+eq \f(3,2)x+2=3∴点D的坐标为(2，3)
(3)当BO为边时，OB∥EF，OB=EF，设E(m，﹣eq \f(1,2)m+2)，F(m，eq \f(1,2)m2+eq \f(3,2)m+2)
EF=|(﹣eq \f(1,2)m+2)﹣(eq \f(1,2)m2+eq \f(3,2)m+2)|=2解得m1=2，m2=2﹣2eq \r(2)，m3=2+2eq \r(2)
当BO为对角线时，OB与EF互相平分，过点O作OF∥AB，
直线OFy=eq \f(1,2)x交抛物线于点F(2+2eq \r(2)，﹣1﹣eq \r(2))和((2﹣2eq \r(2)，﹣1+eq \r(2)))
求得直线EF解析式为y=﹣eq \f(\r(2),2)x+1或y=eq \f(\r(2),2)x+1.
直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为﹣2eq \r(2)﹣2或2eq \r(2)﹣2.
∴E点的坐标为(2，1)或(2﹣2eq \r(2)，1+eq \r(2))或(2+2eq \r(2)，1﹣eq \r(2))
或(﹣2eq \r(2)﹣2，3+eq \r(2))或(﹣2eq \r(2)+2，3﹣eq \r(2)).
解：(1)将点A(﹣2，0)、B(6，0)、C(0，﹣3)代入y＝ax2＋bx＋c，
得，解得，
∴y＝eq \f(1,4)x2﹣x﹣3；
(2)如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF∥AE，
∴＝，
设直线BC的解析式为y＝kx＋d，
∴，∴，
∴y＝eq \f(1,2)x﹣3，
设P(t，eq \f(1,4)t2﹣t﹣3)，则F(t，eq \f(1,2)t﹣3)，
∴PF＝eq \f(1,2)t﹣3﹣eq \f(1,4)t2＋t＋3＝﹣eq \f(1,4)t2＋eq \f(3,2)t，
∵A(﹣2，0)，
∴E(﹣2，﹣4)，
∴AE＝4，
∴＝＝＝﹣t2＋t＝﹣(t﹣3)2＋，
∴当t＝3时，有最大值，
∴P(3，﹣eq \f(15,4))；
(3)∵P(3，﹣eq \f(15,4))，D点在l上，
如图2，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，
∴∠DBG＋∠GDB＝90°，∠DBG＋∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，
∴△DBG∽△BCH，
∴＝，即＝，
∴BG＝6，
∴D(3，6)；
如图3，当∠BCD＝90°时，
过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD＋∠OCB＝90°，∠KCD＋∠CDK＝90°，
∴∠CDK＝∠OCB，
∴△OBC∽△KCD，
∴＝，即＝，
∴KC＝6，
∴D(3，﹣9)；
如图4，当∠BDC＝90°时，
线段BC的中点T(3，﹣eq \f(3,2))，BC＝3eq \r(5)，设D(3，m)，
∵DT＝eq \f(1,2)BC，∴|m＋eq \f(3,2)|＝eq \f(3,2)eq \r(5)，
∴m＝eq \f(3,2)eq \r(5)﹣eq \f(3,2)或m＝﹣eq \f(3,2)eq \r(5)﹣eq \f(3,2)，
∴D(3，eq \f(3,2)eq \r(5)﹣eq \f(3,2))或D(3，﹣eq \f(3,2)eq \r(5)﹣eq \f(3,2))；
综上所述：△BCD是直角三角形时，
D点坐标为(3，6)或(3，﹣9)或(3，﹣eq \f(3,2)eq \r(5)﹣eq \f(3,2))或(3，eq \f(3,2)eq \r(5)﹣eq \f(3,2))．
解：(1)y＝(x﹣2)2﹣4的顶点坐标为(2，﹣4)，y＝﹣(x﹣2)2＋4的顶点坐标为(2，4)，
y=﹣eq \f(1,2)(x﹣1)2＋eq \f(3,2)的“镜像抛物线”为y=﹣eq \f(1,2)(x﹣1)2＋eq \f(3,2)，
故答案为：(2，﹣4)，(2，4)，y=﹣eq \f(1,2)(x﹣1)2＋eq \f(3,2)；
(2)①∵y＝ax2﹣4ax＋1＝a(x﹣2)2＋1﹣4a，
∴抛物线L的“镜像抛物线”为y＝﹣a(x﹣2)2﹣1＋4a，
∵点B的横坐标为1，
∴B(1，1﹣3a)，C(1，3a﹣1)，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴B'(3，1﹣3a)，C'(3，3a﹣1)，
∴BB'＝2，BC＝6a﹣2，
∵四边形BB'C'C为正方形，
∴2＝6a﹣2，
∴a＝eq \f(2,3)；
②∵a＝eq \f(2,3)，
∴B(1，﹣1)，C(1，1)，B'(3，﹣1)，C'(3，1)，
∴正方形BB'C'C所含(包括边界)整点有(1，﹣1)，(1，1)，(3，﹣1)，(3，1)，(1，0)，(3，0)，(2，﹣1)，(2，0)，(2，1)共9个．
解：(1)把A(﹣1，0)，点C(0，﹣3)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
(2)∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4
∴顶点D(1，﹣4)，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
(x﹣3)(x＋1)＝0，
x＝3或﹣1，
∴B(3，0)；
如图1，连接BD，
设BD所在直线的解析式为：y＝k(x﹣3)，将D点坐标代入函数解析式，得﹣2k＝﹣4，
解得k＝2，
故BD所在直线的解析式为：y＝2x﹣6，
∵∠ECB＝∠CBD，
∴CE∥BD，
设CE所在直线的解析式为：y＝2x＋b，将C点坐标代入函数解析式，得b＝﹣3，
故CE所在直线的解析式为：y＝2x﹣3，
当y＝0时，x＝eq \f(3,2)．
当点E在点B的右侧时，直线CE经过BD的中点(2，2)，
此时CE的解析式为y＝eq \f(1,2)x﹣3，
∴点E的坐标是(6，0)．
∴综上所述，点E的坐标是(eq \f(3,2)，0)或(6，0)；
(3)①如图2，
∵B(3，0)，C(0，﹣3)，设BC的解析式为：y＝kx＋b，
则，解得：，
BC的解析式为：y＝x﹣3，
设P(x，x2﹣2x﹣3)，则M(x，x﹣3)，
∴PM＝(x﹣3)﹣(x2﹣2x﹣3)＝﹣x2＋3x＝﹣(x﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，
当x＝eq \f(3,2)时，PM有最大值为eq \f(9,4)；
②当PM有最大值，P(eq \f(3,2)，﹣eq \f(15,4))，
在x轴的负半轴了取一点K，使∠OCK＝45°，过F作FN⊥CK于N，
∴FN＝eq \f(\r(2),2)CF，
当N、F、H三点共线时，PH＋NH最小，即PH＋HF＋eq \f(\r(2),2)CF的值最小，
Rt△OCK中，OC＝3，
∴OK＝3，
∵OH＝eq \f(3,2)，
∴KH＝eq \f(3,2)＋3＝eq \f(9,2)，
Rt△KNH中，∠KHN＝45°，
∴KN＝eq \f(\r(2),2)KH＝eq \f(9,4)eq \r(2)，
∴NH＝KN＝eq \f(9,4)eq \r(2)，
∴PH＋HF＋eq \f(\r(2),2)CF的最小值是PH＋NH＝eq \f(9,4)eq \r(2)＋eq \f(15,4)．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，
∴，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，PH⊥BC于点H，连接PB、PC，‘
∵B(3，0)、C(0，3)，
∴OB＝OC＝3，BC＝3eq \r(2)，
设直线BC解析式为y＝kx＋n，
则，解得 ，
∴直线BC解析式为y＝﹣x＋3，
∵点P的横坐标为t，且在抛物线y＝﹣x2＋2x＋3上，
∴P(t，﹣t2＋2t＋3)，
又∵PD⊥x轴于点D，交BC于点E，
∴D(t，0)，E(t，﹣t＋3)，
∴PE＝(﹣t2＋2t＋3)﹣(﹣t＋3)＝﹣t2＋3t，
∴S△PBC＝eq \f(1,2)PE( xB﹣xC )＝eq \f(1,2)(﹣t2＋3t)×3＝﹣eq \f(3,2)t2＋eq \f(9,2)t，
又∵S△PBC＝eq \f(1,2)BCPH＝eq \f(1,2)×3 eq \r(2)h＝eq \f(3\r(2),2)h，
∴eq \f(3\r(2),2)h＝﹣eq \f(3,2)t2＋eq \f(9,2)t，
∴h与t的函数关系式为：h＝﹣eq \f(\r(2),2)t2＋eq \f(3\r(2),2)t(0＜t＜3)，
∵，
∴当t＝eq \f(3,2)时，h有最大值为eq \f(9,8)eq \r(2)；
(3)存在．①若AM为菱形对角线，如图2，
则AM与CN互相垂直平分，∴N(0，﹣3)；
②若CM为菱形对角线，如图3和图4，
则CN＝AM＝AC＝，∴N(﹣，3)或N(，3)；
③若AC为菱形对角线，如图5，
则CN＝AM＝CM，设M(m，0)，
由CM2＝AM2，得m2＋32＝(m＋1)2，解得m＝4，
∴CN＝AM＝CM＝5，
∴N(﹣5，3)．
综上可知存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个：(0，﹣3)或(﹣eq \r(10)，3)或(eq \r(10)，3)或(﹣5，3)．
解：(1)如图1，∵tan∠ACB=eq \f(3,4)，∴OA:OC=eq \f(3,4)，
∴设AO=3x，CO=4x，∵OB=OC，
∴BO=4x，∴AB2=AO2+BO2，则25=25x2，解得：x=1(负数舍去)，
∴AO=3，BO=CO=4，
∴A(0，3)，B(﹣4，0)，C(4，0)，
∴设直线AC的解析式为：y=kx+d，
则d=3,4k+d=0，解得：d=3,k=﹣eq \f(3,4)，
故直线AC的解析式为：y=﹣eq \f(3,4)x+3；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8，∴D(8，3)，
∵B，D点都在抛物线y=eq \f(1,8)x2+bx+c上，
∴解得：b=﹣eq \f(1,4),c=﹣3，
故此抛物线解析式为：y=eq \f(1,8)x2﹣eq \f(1,4)x﹣3；
(2)①如图2，∵OA=3，OB=4，∴AC=5．
设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，
∵PQ⊥AC，∴∠AQP=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO，∴△APQ∽△CAO，
∴AP:AC=AQ:OC，即得：t=25/9．
②如图3，设点P运动了t秒时，
当QP⊥AD，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，
∵QP⊥AD，∴∠APQ=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO，∴△AQP∽△CAO，
∴AQ:AC=AP:OC得：t=20/9．
即当点P运动到距离A点25/9或20/9个单位长度处，△APQ是直角三角形；
(3)如图4，∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=eq \f(1,2)×8×3=12，
∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，
当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，
设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，
由△AQH∽△CAO可得：得：h=eq \f(3,5)(5﹣t)，
∴S△APQ=eq \f(1,2)t×eq \f(3,5)(5﹣t)=eq \f(3,10)(﹣t2+5t)=﹣eq \f(3,10)(t﹣eq \f(5,2))2+eq \f(15,8)，
∴当t=eq \f(5,2)时，S△APQ达到最大值eq \f(15,8)，此时S四边形PDCQ=12﹣eq \f(15,8)=10eq \f(1,8)，
故当点P运动到距离点A，eq \f(5,2)个单位处时，四边形PDCQ面积最小，则AQ=QC=eq \f(5,2)，
故△CMQ的面积为：eq \f(1,2)S△AMC=eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×4×6=6．

解：(1)由题意可知；A(0，2)、B(﹣1，0)、C(4，0)．
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．
则，解得：．
所以抛物线的解析式为y=﹣eq \f(1,2)x2+eq \f(3,2)x+2．
(2)如图1所示：
∵四边形ABNM为菱形，∴OA=ON．∴点N的坐标为(0，﹣2)．
如图2所示：由勾股定理可知：AB=eq \r(5)．
∵四边形ABMN为菱形，∴NA∥BM，AN=AB，
∴点N的坐标为(﹣eq \r(5)，2)．如图3所示；
∵四边形ABMN为菱形，
∴NA∥BM，AN=AB．
∴点N的坐标为(eq \r(5)，2)．如图4所示：
∵四边形ABMN为菱形，
∴NA∥BM，AN=NB．
设点N的坐标为(x，2)．由两点间的距离公式可知：
(x+1)2+22=x2．解得：x=﹣2.5．
∴点N的坐标为(﹣2.5，2)．
∴点N的坐标为(0，﹣2)，(eq \r(5)，2)，(﹣eq \r(5)，2)，(﹣2.5，2)．
(3)如图5所示：使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的
坐标为Q1(eq \f(7,2)，eq \f(3,2))，Q2(﹣eq \f(1,2)，﹣eq \f(3,2))，Q3(2，eq \f(7,2))，Q4(﹣2，eq \f(1,2))．
说明Q1：过点Q1作Q1M⊥x轴，垂足为M．
∵x=﹣=，∴P(eq \f(3,2)，0)．∴OP=eq \f(3,2)．
由题意得；∠APQ1=90°，PA=PQ1．∴∠OPA+∠CPQ1=90°．
∵∠APO+∠OAP=90°，∴∠OAP=∠MPQ1．
在△AOP和△PMQ1中，
，∴△AOP≌△PMQ1．
∴Q1M=0P=eq \f(3,2)，PM=OA=2∴OM=OP+PM=eq \f(3,2)+2=eq \f(7,2)．
∴点Q1的坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(7,2))．
解：(1)∵二次函数y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，
∴二次函数的解析式为y＝eq \f(1,2)(x＋2)(x﹣4)，即y＝eq \f(1,2)x2﹣x﹣4．
(2)如图甲中，连接OP．设P(m，eq \f(1,2)m2﹣m﹣4)．
由题意，A(﹣2，0)，C(0，﹣4)，
∵S△PAC＝S△AOC＋S△OPC﹣S△AOP，
∴eq \f(15,2)＝eq \f(1,2)×2×4＋eq \f(1,2)×4×m﹣eq \f(1,2)×2×(﹣eq \f(1,2)m2＋m＋4)，
整理得，m2＋2m﹣15＝0，解得m＝3或﹣5(舍弃)，
∴P(3，﹣eq \f(5,2))．
(3)结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．
理由：如图乙中，连接AM，PM，EM，设M(1，t)，P[m，eq \f(1,2)(m＋2)(m﹣4)]，E(m，n)．
由题意A(﹣2，0)，AM＝PM，
∴32＋t2＝(m﹣1)2＋[eq \f(1,2)(m＋2)(m﹣4)﹣t]2，解得t＝1＋eq \f(1,4)(m＋2)(m﹣4)，
∵ME＝PM，PE⊥AB，∴t＝，
∴n＝2t﹣eq \f(1,2)(m＋2)(m﹣4)＝2[1＋eq \f(1,4)(m＋2)(m﹣4)]﹣eq \f(1,2)(m＋2)(m﹣4)＝2，
∴DE＝2，
另解：∵PDDE＝ADDB，∴DE＝＝2，为定值．
∴点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．
解：(1)∵抛物线的顶点在x轴上，
∴它与x轴只有一个交点，
∴(m＋3)2﹣4×9=0，解得m=3或m=﹣9，
又∵抛物线对称轴大于0
∴﹣＞0，即m＞﹣3，
∴m=3；
(2)由(1)可得抛物的解析式为y=x2﹣6x＋9，
解方程组，得或，
∴点A的坐标为(1，4)，点B的坐标为(6，9)；
(3)存在，设点P(a，b)，如图，作PT⊥x轴交BD于点E，AR⊥x轴，BS⊥x轴，
∵A(1，4)，B(6，9)，C(3，0)，P(a，b)
∴AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3，RS=6﹣1=5，PT=b，RT=1﹣a，ST=6﹣a，
∴S△ABC=S梯形ARSB﹣S△ARC﹣S△BCS=eq \f(1,2)×(4＋9)×5﹣eq \f(1,2)×2×4﹣eq \f(1,2)×3×9=15，
S△PAB=S梯形PBST﹣S梯形ABSR﹣S梯形ARTP
=eq \f(1,2)×(9＋b)(6﹣a)﹣eq \f(1,2)×(4＋9)×5﹣eq \f(1,2)×(b＋4)(1﹣a)=eq \f(1,2)(5b﹣5a﹣15)，
又∵S△PAB=2S△ABC，∴eq \f(1,2)(5b﹣5a﹣15)=30，∴b﹣a=15，b=15＋a，
∵点P在抛物线上∴b=a2﹣6a＋9，
∴15＋a=a2﹣6a＋9，∴a2﹣7a﹣6=0，解得：a=，
∵﹣3＜a＜1，∴a=，∴b=15＋a=，
∴P(，)．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋eq \f(3,2)x＋c过点A(1，0)，C(0，﹣2)，
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为y＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x﹣2．
设直线AC的表达式为y＝kx＋b，则
，解得：．
∴直线AC的表达式为y＝2x﹣2．
(2)点D不在抛物线的对称轴上，理由是：
∵抛物线的表达式为y＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x﹣2，
∴点B坐标为(﹣4，0)．
∵OA＝1，OC＝2，
∴．
又∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠ACO＝∠CBO．
∴∠ACO＋∠BCO＝∠OBC＋∠BCO＝90°，
∴AC⊥BC．
∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，
延长AC至D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．
又∵∠ACO＝∠DCE，
∴△ACO≌△DCE(AAS)．
∴DE＝AO＝1，则点D横坐标为﹣1，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣eq \f(3,2)．
故点D不在抛物线的对称轴上．
(3)设过点B、C的直线表达式为y＝px＋q，
∵C(0，﹣2)，B(﹣4，0)，
∴，解得：．
∴过点B、C的直线解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x﹣2．
过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为(1，﹣eq \f(5,2))，
过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2．
设点P坐标为(m，eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m﹣2)，则点N坐标为(m，﹣eq \f(1,2)m﹣2)，
∴PN＝﹣eq \f(1,2)m﹣2﹣(eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m﹣2)＝﹣eq \f(1,2)m2﹣2m，
∵PN∥AM，
∴△AQM∽△PQN．
∴．
若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积(同高不等底)，
则△BPQ与△BAQ的面积比为，即．
∴＝＝．
∵﹣eq \f(1,5)＜0，
∴当m＝﹣2时，的最大值为，此时点P坐标为(﹣2，﹣3)．