北师大版数学九上同步讲义第1章 特殊平行四边形全章复习攻略与检测卷（2份，原卷版+解析版）

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第1章 特殊平行四边形全章复习攻略与检测卷【目录】【1个性质】 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半【3个图形】 【3种思想】 1.数形结合思想2.转化思想3.分类讨论思想4.猜想归纳思想【检测卷】 【题型分类突破】【1个性质】 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半1．（2022秋•顺德区期末）如图1，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线．（1）求证：BD＝AC；（2）如图2，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一个点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F．当P在BC上移动时，求PE+PF的值．【分析】（1）过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E，连接CE，再证明△ADE≌△CDB，可得四边形ABCE是矩形，然后根据矩形的性质得出答案；（2）连接DP，根据勾股定理求出AC，进而得出BD，CD，并求出S△ABC，可知S△BCD，然后根据三角形面积相等得出答案．【解答】（1）证明：如图，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E，连接CE，∴∠DAE＝∠BCD，∵∠ADE＝∠BDC，AD＝CD，∴△ADE≌△CDB（AAS），∴DE＝BD，∴四边形ABCE是平行四边形，∴，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCE是矩形，∴AC＝BE，∴；（2）解：如图，连接DP，作BG⊥AC，于点G，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，根据勾股定理得：，∴．可知，即，∴，则，即，解得：．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，求三角形的面积等，构造矩形是证明直角三角形斜边的性质的关键．2．（2022秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．（1）求证：∠AEC＝∠C；（2）求证：BD＝2AC；（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得出AE＝BE，再由等边对等角及三角形外角的性质即可证明；（2）根据（1）中结论及直角三角形斜边上的中线的性质即可证明；（3）根据直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形．又∵点E是BD的中点，∴，又∵，∴AE＝BE，∴∠B＝∠BAE．又∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∴∠AEC＝∠B+∠B＝2∠B．又∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C．（2）证明：由（1）可得AE＝AC，又∵，∴，∴BD＝2AC．（3）解：在Rt△ABD中，∵AD＝5，BD＝2AE＝2×6.5＝13，∴AB＝，∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝12+6.5+6.5＝25．【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理解三角形及等腰三角形的性质与判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．3．（2023春•黄陂区期中）如图所示，一根长2.5米的木棍AB，斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角O与木棍B端的距离为1.5米，设木棍的中点为P．此时木棍A端沿墙下滑，B端沿地面向右滑行．（1）木棍在滑动的过程中，线段OP的长度发生改变吗？说明理由；若不变，求OP的长；（2）如果木棍的底端B向外滑出0.9米，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少距离？【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质得出即可；（2）根据勾股定理求出OA，求出OC，即可得到结论．【解答】解：（1）不变．理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变；OP＝AB＝1.25米；（2）在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BO＝1.5m，∴OD＝2.4，则由勾股定理得：CO＝＝0.7m，OA＝＝2m，∴AC＝1.3m，答：那么木棍的顶端A沿墙下滑1.3m．【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上中线性质的应用，能根据勾股定理求出各个边的长是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【3个图形】 一．菱形的判定与性质4．（2023•乌鲁木齐模拟）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）证明四边形BEDF是菱形．【分析】（1）由“SAS”可证：△ADE≌△CBF；（2）由菱形的性质可得BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，可求EO＝FO，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD，BC∥AD，∴∠BAE＝∠DCF，在ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）如图，连接BD，交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵BD⊥EF，∴平行四边形BEDF是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．5．（2023•龙凤区模拟）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AE＝13，AD＝24，试求四边形AEDF的面积．【分析】（1）先证四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，再证∠ADF＝∠FAD，则FA＝FD，即可得出结论；（2）连接EF交AD于点O，由菱形的性质得OA＝OD＝AD＝12，OE＝OF，EF⊥AD，再由勾股定理得OE＝5，则EF＝2OE＝10，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD，∴FA＝FD，∴平行四边形AEDF是菱形；（2）解：如图，连接EF交AD于点O，由（1）可知，四边形AEDF是菱形，∴OA＝OD＝AD＝12，OE＝OF，EF⊥AD，∴∠AOE＝90°，∴OE＝＝＝5，∴EF＝2OE＝10，∴S菱形AEDF＝AD•EF＝×24×10＝120．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．6．（2023春•建湖县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BD的垂直平分线交AD、BC分别于点E、F，连接BE、DF．（1）求证：四边形BFDE为菱形；（2）若BC＝8，CD＝4，求四边形BFDE的周长．【分析】（1）证明△OBF≌△ODE（ASA），得出OE＝OF，再由OB＝OD，则四边形BFDE为平行四边形，进而得出结论；（2）设BF＝x，在Rt△CDF中由勾股定理得出方程，求出BF＝5，即可求解．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分线BD，∴∠BOF＝∠DOE＝90°，OB＝OD，BF＝DF，∵AD∥BC，∴∠OBF＝∠ODE，在△BOF与△DOE中，，∴△OBF≌△ODE（ASA），∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四边形BFDE为平行四边形，∵EF⊥BD，∴平行四边形BFDE为菱形；（2）解：设BF＝x，则CF＝8﹣x，DF＝BF＝x，在Rt△CDF中，CF2+CD2＝DF2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，即：BF＝5，∴菱形BFDE的周长为4×5＝20．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明△OBF≌△ODE（ASA）是解题的关键．7．（2023•定远县二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，点E在AD边上，连接BE、BD，若EB＝BC，BD平分∠EBC．（1）如图1，求证：四边形EBCD是菱形；（2）如图2，连接CE交BD于点O，连接AO，若EC＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于的线段．【分析】（1）根据平行线性质得到∠ADB＝∠DBC，根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠DBC，得到EB＝ED，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据菱形的性质得到BE＝BC＝ED，BD⊥CE，BO＝DO，∠CBO＝∠EBO，根据等边三角形的性质得到∠BCE＝∠CBE＝60°，根据三角函数的定义得到OB＝OD＝OC；根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，∵EB＝BC，∴ED＝BC，∵ED∥BC，∴四边形EBCD是平行四边形，∵EB＝BC，∴平行四边形EBCD是菱形；（2）解：如图2，∵平行四边形EBCD是菱形，∴BE＝BC＝ED，BD⊥CE，BO＝DO，∠CBO＝∠EBO，∵EC＝BC，∴EC＝BC＝BE，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE＝∠CBE＝60°，∴tan∠BCO＝＝，∴OB＝OD＝OC；∵∠BAD＝90°，∴OA＝OB＝OD＝OC；∵∠CBO＝∠EBO＝∠CBE＝30°，∵EB＝ED，∴∠EBO＝∠EDO＝30°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠EDO＝30°，∴∠AOB＝∠OAD＝∠EDO＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴AB＝OB＝OC；∴图2中长度等于OC的线段的线段是OA、OB、OD、AB．【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．8．（2023•鹿城区校级二模）已知在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，取AD中点Q，过Q作EF⊥AD，且E，F关于AD成轴对称（EF＞BC），连结AE，AF，ED，FD，分别交AB，AC于点G，H．（1）求证：四边形AEDF为菱形．（2）记△ABC的面积为S1，菱形AEDF的面积为S2，且，当AB＝13时，求BG的长．【分析】（1）由垂直平分线的性质可得AF＝DF，AE＝ED，由轴对称的性质可得AE＝AF，DE＝DF，进而可得AE＝AF＝DF＝DE，即可证明四边形AEDF为菱形；（2）根据可得，依次证明△ANQ∽△ABD，△ENG∽△BDG，根据相似三角形对应边成比例即可求解．【解答】（1）证明：∵Q为AD中点，EF⊥AD，∴EF为AD的中垂线，∴AF＝DF，AE＝ED，∵E，F关于AD成轴对称，∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE＝AF＝DF＝DE，∴四边形AEDF为菱形；（2）解：如图，EQ与AB的交点记为N，∵，，，∴，∵NQ∥BD，∴∠ANQ＝∠ABD，∠AQN＝∠ADB，∴△ANQ∽△ABD，∵且Q为AD的中点，∴，设BD＝3x，则EQ＝5x，NQ＝1.5x，EN＝3.5x，∵EN∥BD，∴△ENG∽△BDG，∴，∴．【点评】本题考查垂直平分线的性质、轴对称的性质、菱形的判定、相似三角形的判定与性质等，掌握菱形的判定方法，牢记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．二．矩形的判定与性质9．（2023•德兴市一模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，点D为斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN．（1）当点D为BC的中点时，线段MN与BC有何位置关系？并说明理由．（2）当点D在什么情况下时，线段MN的长最小？这个最小值是多少？【分析】（1）先证明△ABC∽△MBD，得到，再由线段中点的定义得到，则可得到点M为AB的中点，同理可证点N为AC的中点，则MN为△ABC的中位线，由此即可证明MN∥BC；（2）如图所示，连接AD，证明四边形AMDN是矩形，得到MN＝AD．则当AD⊥BC时，AD最小，即此时MN最小．利用勾股定理求出，再用等面积法求出AD的最小值为即可得到答案．【解答】解：（1）MN∥BC，理由如下：∵DM⊥AB，∠A＝90°，∴DM∥AC，∴△ABC∽△MBD，∴，∵点D为BC的中点，即，∴，∴点M为AB的中点，同理可证点N为AC的中点，∴MN为△ABC的中位线，∴MN∥BC；（2）当AD⊥BC时，线段MN的长最小，理由如下：如图所示，连接AD，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠AMD＝∠AND＝90°．又∵∠BAC＝90°，∴四边形AMDN是矩形．∴MN＝AD．∵点D在BC上，∴当AD⊥BC时，AD最小，即此时MN最小．∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴，∵当AD⊥BC时，△ABC的面积＝BC•AD＝AB•AC，∴AD的最小值为＝．∴线段MN的最小值为，∴当AD⊥BC时，线段MN的长最小，最小为．【点评】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．10．（2023•东昌府区二模）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，AB＝BC，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，连接OE．​（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）设AC＝12，BD＝16，求OE的长．【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再证平行四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，则∠COD＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论；（2）由勾股定理求出CD＝10，再由矩形的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝16，∴，，在Rt△COD中，由勾股定理得：CD＝＝＝10，由（1）知，四边形OCED是矩形，∴OE＝CD＝10．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．11．（2023•南明区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 O，DE∥AC，DE＝OC．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB＝8，∠ABC＝60°，求四边形ACDE的面积．【分析】（1）先证四边形AODE为平行四边形，再由ABCD是菱形的性质得∠AOD＝90°，即可得出结论；（2）根据菱形的性质求出AD，OA，由勾股定理得出OD的长，再根据梯形的面积公式即可解决问题．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠OAD，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∵DE＝OC，∴DE＝OA，在△EAD和△ODA中，，∴△EAD≌△ODA（ASA），∴AE＝OD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝8，OA＝OC，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝8，∴OA＝AC＝4，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，由（1）得：四边形AODE是矩形，∴四边形ACDE的面积＝（DE+AC）×AE×＝（4+8）×4×＝24．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．12．（2023春•青秀区期中）如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，若AB＝5，AD＝3，取CQ的中点M，连接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的长．【分析】（1）证出∠A＝90°即可；（2）由（1）结论得出∠D＝90°，由M为QC中点，推出∠MDC＝∠MCD，∠DMQ＝2∠MCD，同理得出∠PMQ＝2∠PCM，由∠DMP＝90°，推出∠DCP＝45°，又因DC∥AB，推出∠CPB＝∠DCP＝45°，因为∠B＝90°，则∠PCB＝45°，推出PB＝BC＝3．则AP＝2，同理推出AQ＝AP＝2．【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ，∠BPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∠A＝∠CPQ＝90°∴平行四边形ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∠D＝90°，∵M为QC中点，∴，∴∠MDC＝∠MCD∴∠DMQ＝∠MCD+∠MDC＝2∠MCD，同理，∠PMQ＝2∠PCM，∠DMP＝∠DMQ+∠PMQ＝2（∠MCD+∠PCM）＝2∠DCP，∵∠DMP＝90°，∴∠DCP＝45°，∵DC∥AB，∴∠CPB＝∠DCP＝45°，∵∠B＝90°，∴∠PCB＝90°﹣45°＝45°，∴∠CPB＝∠PCB，∴PB＝BC＝3．∴AP＝AB﹣PB＝2，∵∠QPC＝90°，∴∠OPA＝180°﹣45°＝45°，∴∠AQP＝90°﹣45°＝45°，∴AQ＝AP＝2．【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．13．（2023•双阳区一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形．（2）若四边形ABCD为菱形，H为AB中点，连接OH，若DF＝3，AE＝4，则OH长为 　　．【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再证∠AEC＝90°，即可得出结论；（2）由菱形的性质得OB＝OD＝5，OA＝OC，由勾股定理和三角形的中位线定理即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC，AO＝CO，∵四边形AECF是矩形，∴AF＝CE，∴BE＝DF＝3，∵∠AEB＝90°，∴＝5，∴BC＝AB＝5，∵H为AB中点，∴AH＝BH，∴OH＝BC＝．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键．14．（2023•西山区模拟）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B，E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．（1）若BF⊥EF，求证：四边形BFEC是矩形；（2）若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当四边形BFEC是菱形时，求菱形BFEC的面积．【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠BAF＝∠EDC，再证明△AFB≌△DCE得到FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，接着证明FB∥CE，从而可判断四边形BFEC是平行四边形；（2）连接BE，交CF于点G，如图，根据菱形的性质得到BE⊥CF，CG＝FG，BG＝EG，再利用勾股定理计算出AC＝5，利用面积法计算出BG＝，接着利用勾股定理计算出CG，然后根据菱形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵点A、F、C、D在同一条直线上，AB∥DE，∴∠BAF＝∠EDC，在△AFB和△DCE中，，∴△AFB≌△DCE（SAS），∴FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，∴∠BFC＝∠ECF，∴FB∥CE，又∵FB＝CE，∴四边形BFEC是平行四边形，∵BF⊥EF，∴∠BFE＝90°，∴四边形BFEC是矩形；（2）解：连接BE，交CF于点G，如图，∵四边形BCEF是菱形，∴BE⊥CF，CG＝FG，BG＝EG，在Rt△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∵AC•BG＝AB•BC，∴BG＝＝，∴BE＝2BG＝，在Rt△BGC中，∵BC＝3，BG＝，∴CG＝＝，∴CF＝2CG＝，∴菱形BFEC的面积＝＝＝．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质．三．正方形的判定与性质15．（2023春•玄武区期中）如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．【分析】根据正方形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是正方形．【点评】本题考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键．【3种思想】 1.数形结合思想16．（2023春•潍坊期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFG＝37°点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将纸片两端分别沿EF，GH折叠至如图所示的位置，若EF∥GH，则∠KHD的度数为（　　）A．37° B．74° C．96° D．106°【分析】先根据EF∥GH，得出∠HGC＝∠EFG＝37°，再由矩形的性质得出∠GHD＝143°，然后由折叠的性质得出∠KHG＝∠DHG＝143°，所以∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG．【解答】解：∵EF∥GH，∴∠HGC＝∠EFG＝37°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠GHD+∠HGC＝180°，∴∠GHD＝143°，根据折叠的性质可得：∠KHG＝∠DHG＝143°，∴∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG＝360°﹣143°﹣143°＝74°．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，由性质得出角度的关系即可解答．17．（2023•东方二模）如图，将边长为4cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积是3cm2，则它移动的距离AA′等于（　　）A．1cm B．2cm C．3cm D．1cm或3cm【分析】设移动了xcm，则有AA′＝xcm，A′D＝（4﹣x）m从而可求重叠部分面积的函数解析式，再进行求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠DAC＝45°，∠D＝90°，AD＝CD，设移动了xcm，则有AA′＝xcm，A′D＝（4﹣x）m，＝＝﹣x2+4x，∴﹣x2+4x＝3，解得：x1＝1，x2＝3，∴移动的距离AA′是1cm或3cm．故选：D．【点评】本题考查了用二次函数解决平移产生的面积问题，根据题意列出函数关系式是解题的关键．2.转化思想18．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（　　）A． B． C． D．【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．【解答】解：∵四边形为矩形，∴OB＝OD＝OA＝OC，在△EBO与△FDO中，∵，∴△EBO≌△FDO（ASA），∴阴影部分的面积＝S△AEO+S△EBO＝S△AOB，∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，∴S△AOB＝S△OBC＝S矩形ABCD．故选：B．【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．19．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是　1　．【分析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于△BOC面积．【解答】解：由题意可知△DEO≌△BFO，∴S△DEO＝S△BFO，阴影面积＝三角形BOC面积＝×2×1＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，不是很难，会把两个阴影面积转化到一个图形中去．20．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是　2　．【分析】根据题意作图，连接O1B，O1C，可得△O1BF≌△O1CG，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．【解答】解：连接O1B、O1C，如图：∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，∴∠BO1F＝∠CO1G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，在△O1BF和△O1CG中∴△O1BF≌△O1CG（ASA），∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是 S正方形，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是 S正方形，∴S阴影部分＝S正方形＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，把阴影部分进行合理转移是解决本题的难点，难度适中．3.分类讨论思想21．（2023春•大连期中）数学课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动．（1）操作判断小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下：步骤①：如图1，对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；步骤②：连接AF，BF．可以判定△ABF的形状是：　等腰三角形　．（直接写出结论）小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：如图2，先类似小明的步骤①，得到折痕EF后把纸片展平；在BC上选一点P，沿AP折叠AB，使点B恰好落在折痕EF上的一点M处，连接AM．小华得出的结论是：∠BAP＝∠PAM＝∠MAD＝30°．请你帮助小华说明理由．（2）迁移探究小明受小华的启发，继续利用正方形纸片进行探究，过程如下：如图3，第一步与步骤①一样；然后连接AF，将AD沿AF折叠，使点D落在正方形内的一点M处，连接FM并延长交BC于点P，连接AP，可以得到：∠PAF＝　45　°（直接写出结论）；同时，若正方形的边长是4，可以求出BP的长，请你完成求解过程．（3）拓展应用如图4，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P为BC上的一点（不与B点重合，可以与C点重合），将△ABP沿着AP折叠，点B的对应点为M落在矩形的内部，连结MA，MD，当△MAD为等腰三角形时，可求得BP的长为 　9﹣3或16﹣2　．（直接写出结论）​【分析】（1）由折叠可知，EF是AB的垂直平分线，可得△ABF是等腰三角形；AE＝BE＝，AB＝AM，∠由锐角三角函数可求∠AEM＝30°，即可得证；（2）先由“HL”可证△ABP≌△AMP，可得∠BAP＝∠MAP，进而求出∠PAF＝∠PAM+∠FAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝45°；利用勾股定理构造方程可求BP的长；（3）由折叠的性质和勾股定理可分类进行求解．【解答】解：（1）由折叠可知，EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴△ABF是等腰三角形；故答案为：等腰三角形．由折叠可知：AE＝BE＝，AB＝AM，∠AEM＝90°，Rt△AEM中，sin∠AME＝，∴∠AEM＝30°，∴∠BAM＝60°，∴∠BAP＝∠PAM＝∠BAM＝30°，∴∠BAP＝∠PAM＝∠MAD＝30°．（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠可知：AD＝AM，DF＝MF＝CD＝2，∠D＝∠AMF＝90°，∠DAF＝∠MAF，∴AB＝AM，又∵AP＝AP，∴△ABP≌△AMP（HL），∴∠BAP＝∠MAP，BP＝MP，∴∠PAF＝∠PAM+∠FAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝45°，设BP＝x，则PC＝4﹣x，PF＝PM+MF＝2+x，∴22+（4﹣x）2＝（x+2）2，解得：，即BP的长为．故答案为：45；（3）如图①，若AM＝AD＝8，由折叠可知：AM＝AB＝6，6≠8，∴此种情况不存在；如图②，若AM＝DM，∵AM＝DM，∴M在AD的垂直平分线上，过点M作EF⊥AD于点E，EM的延长线交BC于点F，则有EF⊥BC，∴AE＝AD＝4，∴EM＝，∴MF＝EF﹣ME＝6﹣，设BP的长为x，在Rt△PMF中，，解得：，即BP的长为9﹣3；如图③，若AD＝DM，由AM2﹣AE2＝DM2﹣（AD﹣AE）2得：62﹣AE2＝82﹣（8﹣AE）2，解得：AE＝，∴ME＝＝，设BP的长为y，在Rt△PMF中，，解得：，即BP的长为：16﹣2．故答案为：9﹣3或16﹣2．【点评】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．22．（2023•深圳模拟）过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ＝α，连接BQ．（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α＝90°．无论点P在何处，总有BQ＝DP，请证明这个结论．（2）【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，连接PQ．当PQ⊥BQ，AB＝时，求AP的长；（3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射线AQ上截取AR，使得AR＝AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．【分析】（1）利用正方形性质和旋转变换证明△ADP≌△ABQ（SAS），即可证得结论；（2）如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BP，先证明△ADP≌△ABQ（SAS），可得BQ＝DP，∠APD＝∠AQB，再证明：△APQ是等边三角形，△APH是等腰直角三角形，△BPQ是等腰直角三角形，利用解直角三角形即可求得答案；（3）分三种情况讨论：①当∠BRP＝90°时，②当∠PBR＝90°时，③当∠BPR＝90°时，分别求出AP的长．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠DAP+∠BAM＝90°，∵∠PAQ＝90°，∴∠BAQ+∠BAM＝90°，∴∠DAP＝∠BAQ，∵将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，∴AP＝AQ，∴△ADP≌△ABQ（SAS），∴BQ＝DP．（2）解：如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，由旋转得：AP＝AQ，∵∠DAB＝α＝60°，即∠DAB＝∠PAQ＝60°，∴△ADP≌△ABQ（SAS），∴BQ＝DP，∠APD＝∠AQB，∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴∠AQP＝60°，∵PQ⊥BQ，∴∠BQP＝90°，∴∠AQB＝∠AQP+∠BQP＝60°+90°＝150°，∴∠APD＝∠AQB＝150°，∴∠DPM＝180°﹣∠APD＝180°﹣150°＝30°，∵∠MAD＝15°，∴∠ADP＝∠DPM﹣∠MAD＝30°﹣15°＝15°，∴∠ADP＝∠MAD，∴AP＝DP，∴AQ＝BQ＝PQ＝AP，∴∠ABQ＝∠BAQ＝∠MAD＝15°，∴∠PAH＝∠PAQ﹣∠BAQ＝60°﹣15°＝45°，∵PH⊥AB，∴∠AHP＝∠BHP＝90°，∴△APH是等腰直角三角形，∴AH＝PH＝AP，∵BQ＝PQ，∠PQB＝90°，∴△BPQ是等腰直角三角形，∴∠PBQ＝45°，∴∠PBH＝∠PBQ﹣∠ABQ＝45°﹣15°＝30°，∴BH＝＝＝AP，∴AB＝AH+BH＝AP+AP＝AP，∵AB＝+，∴AP＝+，∴AP＝2；（3）解：①当∠BRP＝90°时，如图3，连接DP，PQ，过点B作BE⊥AQ于点E，设AM交CD于点F，过点F作FG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAM+∠DAP＝90°，∠ADC＝90°，∵∠BAM+∠BAR＝90°，∴∠DAP＝∠BAR，∵AD＝6，AB＝8，∴＝＝，∵AR＝AP，∴＝，∴＝，∴△ADP∽△ABR，∴＝＝＝，即BR＝DP，∵AM平分∠DAC，FD⊥AD，FG⊥AC，∴FD＝FG，在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，∴tan∠ACD＝＝＝，∵＝tan∠ACD＝，∴＝，∵DF+CF＝CD＝8，∴DF＝3，CF＝5，在Rt△ADF中，AF＝＝＝3，∵∠DAP＝∠BAR，∠ADF＝∠AEB＝90°，∴△ADF∽△AEB，∴＝＝，即＝＝，∴AE＝，BE＝，∵∠BRP＝90°，∴∠ARP+∠BRE＝90°，∵∠ARP+∠APR＝90°，∴∠BRE＝∠APR，∴tan∠BRE＝tan∠APR，∴＝＝，∴ER＝BE＝×＝，∵AR+ER＝AE，∴AP+＝，∴AP＝；②当∠PBR＝90°时，如图4，过点P作PG⊥AD于点G，PH⊥AB于点H，则sin∠DAF＝＝＝，cos∠DAF＝＝＝，∴PG＝AP，AG＝AP，∵∠GAH＝∠AGP＝∠AHP＝90°，∴四边形AGPH是矩形，∴AH＝PG＝AP，PH＝AG＝AP，∴BH＝AB﹣AH＝8﹣AP，∴BP2＝PH2+BH2＝（AP）2+（8﹣AP）2＝AP2﹣AP+64，在Rt△DPG中，DP2＝DG2+PG2＝（6﹣AP）2+（AP）2＝AP2﹣AP+36，∵BR＝DP，∴BR2＝DP2＝AP2﹣AP+64，在Rt△APR中，PR2＝AP2+AR2＝AP2+（AP）2＝AP2，在Rt△PBR中，PR2＝BP2+BR2，∴AP2＝AP2﹣AP+64+AP2﹣AP+64，解得：AP＝；③当∠BPR＝90°时，由②知：BR2＝AP2﹣AP+64，PR2＝AP2，BP2＝AP2﹣AP+64，∵PR2+BP2＝BR2，∴AP2+AP2﹣AP+64＝AP2﹣AP+64，解得：AP＝0或AP＝﹣，均不符合题意；综上所述，AP的长为或．【点评】本题考查了正方形和菱形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用前面所学的知识解答后面的题目，运用分类讨论思想和数形结合思想，具有很强的综合性，是中考常考题型．4.猜想归纳思想23．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（　　）A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015 D．（）2014【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】方法一：解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，∴D1E1＝C1D1sin30°＝，则B2C2＝（）1，同理可得：B3C3＝＝（）2，故正方形AnBn∁nDn的边长是：（）n﹣1．则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：（）2014．故选：D．方法二：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，∴D1E1＝B2E2＝，∵B1C1∥B2C2∥B3C3…∴∠E2B2C2＝60°，∴B2C2＝，同理：B3C3＝×＝…∴a1＝1，q＝，∴正方形A2015B2015C2015D2015的边长＝1×．故选：D．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．二．填空题24．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以对角线的一半为边依次作平行四边形，则S＝　6　，S＝　　．【分析】先证明四边形OBB1C是菱形，由菱形的面积＝两条对角线长积的一半，即可得出平行四边形OBB1C的面积；由矩形的面积公式得出平行四边形A1B1C1C的面积，由菱形的面积公式得出平行四边形OB1B2C的面积即可．【解答】解：∵四边形ABCD矩形，∴OB＝OC，BC＝AD＝4，矩形ABCD的面积＝3×4＝12；∵四边形OBB1C是平行四边形，OB＝OC，∴四边形OBB1C是菱形，∴BA1＝CA1＝BC＝2，∴OA1是△ABC的中位线，∴OA1＝AB＝，∴O1B＝2OA1＝3，∴平行四边形四边形OBB1C的面积＝×3×4＝6；故答案为：6；根据题意得：四边形A1B1C1C是矩形，∴平行四边形A1B1C1C＝A1C×A1B1＝2×＝3；同理：平行四边形OB1B2C的面积＝×2×＝；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理以及平行四边形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，由矩形的面积公式和菱形的面积公式得出结果是解决问题的关键．25．正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y＝﹣x+2上，则点A3的坐标为　（，0）　．【分析】设正方形OA1B1C1的边长为t，则B1（t，t），根据t一次函数图象上点的坐标特征得到t＝﹣t+2，解得t＝1，得到B1（1，1），然后利用同样的方法可求得B2（，），B3（，），则A3（，0）．【解答】解：设正方形OA1B1C1的边长为t，则B1（t，t），所以t＝﹣t+2，解得t＝1，得到B1（1，1）；设正方形A1A2B2C2的边长为a，则B2（1+a，a），a＝﹣（1+a）+2，解得a＝，得到B2（，）；设正方形A2A3B3C3的边长为b，则B3（+b，b），b＝﹣（+b）+2，解得b＝，得到B3（，），所以A3（，0）．故答案为（，0）．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．26．如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2＝B1B2＝C1C2＝D1D2＝A1B1，…．依次规律继续下去，则正方形AnBn∁nDn的面积为　　．【分析】首先在Rt△A1BB1中，由勾股定理可求得正方形A1B1C1D1的面积＝，然后再在Rt△A2B1B2中，由勾股定理求得正方形A2B2C2D2的面积＝，然后找出其中的规律根据发现的规律即可得出结论．【解答】解：在Rt△A1BB1中，由勾股定理可知；＝＝，即正方形A1B1C1D1的面积＝；在Rt△A2B1B2中，由勾股定理可知：＝＝；即正方形A2B2C2D2的面积＝…∴正方形AnBn∁nDn的面积＝．故答案为：．【点评】本题主要考查的是正方形的性质和勾股定理的应用，通过计算发现其中的规律是解题的关键． 【检测卷】一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长等于（　　）A．14 B．20 C．24 D．28【分析】由菱形的性质可得AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，由勾股定理可求AB的长，即可求解．【解答】解：设AC与BD交点为O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∴AB＝＝＝5，∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20，故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求出AB的长是本题的关键．2．（3分）下列命题是真命题的是（　　）A．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断，即可确定正确的选项．【解答】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题；B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，是假命题；C、一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是假命题；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；故选：D．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．3．（3分）下列四种说法：①矩形的两条对角线相等且互相垂直；②菱形的对角线相等且互相平分；③有两边相等的平行四边形是菱形；④有一组邻边相等的菱形是正方形．其中正确的有（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据矩形的性质、菱形的性质以及菱形的判定方法、正方形的判定方法逐项分析即可．【解答】解：①矩形的两条对角线相等且互相平分，但不垂直，故该选项原说法不正确；②菱形的对角线垂直且互相平分，但不一定相等，故该选项原说法不正确；③有两邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项原说法不正确；④有一组邻边垂直的菱形是正方形，故该选项原说法不正确；所以其中正确的有0个，故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及菱形的判定方法、正方形的判定方法，解题的关键是熟练掌握各种特殊四边形的判方法定和性质．4．（3分）如图，点E在矩形ABCD的对角线AC上，正方形EFGH的顶点F，G都在边AB上．若AB＝5，BC＝4，则tan∠AHE的值是（　　）A． B． C． D．【分析】先设正方形EFGH边长为a，根据相似三角形的性质求出AF（用a表示），则AG可用a表示，最后根据tan∠AHE＝tan∠HAG可求解．【解答】解：设正方形EFGH边长为a，∵EF∥BC，∴，即，解得AF＝．∴AG＝．∵EH∥AB，∴∠AHE＝∠HAG．∴tan∠AHE＝tan∠HAG＝．故选：C．【点评】本题主要考查了矩形、正方形的性质，以及相似三角形的判定和性质、解直角三角形，解题的关键是转化角进行求解．5．（3分）已知菱形的面积为24，其中一条对角线长为8，则另一条对角线长为（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据菱形的面积计算公式S＝ab（a、b为对角线的长度），已知一条对角线的长度和菱形的面积即可计算另一条对角线的长度．【解答】解：菱形的面积计算公式S＝ab（a、b为对角线的长度），已知S＝24，a＝8，则b＝24×2÷8＝6．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，涉及菱形的面积计算公式，菱形对角线互相垂直的性质，本题中正确利用面积计算公式求另一条对角线长是解题的关键．6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，自点A作AE⊥BD于点E，且BE：ED＝1：3，过点O作OF⊥AD于点F，若OF＝3cm，则BD的长为（　　）cm．A．6 B．9 C．12 D．15【分析】根据矩形的性质得出AC＝BD，BD＝2BO＝2OD，AC＝2AO，∠BAD＝90°，求出AO＝BO，根据等边三角形的判定得出△ABO是等边三角形，求出∠BAO＝60°，∠DAO＝30°，即可求出AO，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，BD＝2BO＝2OD，AC＝2AO，∠BAD＝90°，∴AO＝BO，∵BE：ED＝1：3，∴BE＝EO，∵AE⊥BD，∴AB＝AO，即AO＝OB＝AB，∴△ABO是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∴∠DAO＝90°﹣60°＝30°，∵OF⊥AD于点F，OF＝3cm，∴∠AFO＝90°，AO＝2OF＝6cm，∴AC＝2AO＝12cm，∴BD＝12cm，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形性质，矩形的性质的应用，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：矩形的对角线互相平分且相等．7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断▱ABCD是菱形的为（　　）A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝∠BOC D．∠BAD＝∠ABC【分析】在平行四边形基础上，菱形的判定方法有：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此逐个选项分析即可．【解答】解：选项A，由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，故A不符合题意；选项B，由▱ABCD中AO＝BO可推得AC＝BD，可以证明▱ABCD为矩形，但不能判定▱ABCD为菱形，故B不符合题意；选项C，当∠AOB＝∠BOC时，由于∠AOB+∠BOC＝180°，故∠AOB＝∠BOC＝90°，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C符合题意；选项D，由平行四边形的性质可知，∠BAD+∠ABC＝180°，故当∠BAD＝∠ABC时，∠BAD＝∠ABC＝90°，从而可判定▱ABCD为矩形，故D不符合题意．综上，只有选项C可以判定▱ABCD是菱形．故选：C．【点评】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法、矩形的判定方法及平行四边形的性质等知识点是解题的关键．8．（3分）下列命题中，假命题是（　　）A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【分析】对各个命题逐一判断后找到错误的即可确定假命题．【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；B、正方形的对角线互相垂直平分，是真命题；C、矩形的对角线相等，是真命题；D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；故选：A．【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．9．（3分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD⊥CE于点O，点F是OB的中点，若OB＝8，OC＝6，则EF的长是（　　）A．7 B．5 C．4 D．3【分析】先利用重心的性质得到OE＝OC＝3，然后利用勾股定理计算EF的长．【解答】解：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，∴点O为△ABC的重心，∴OE＝OC＝3，∵点F是OB的中点，∴OF＝OB＝4，∵BD⊥CE，∴∠EOF＝90°，∴EF＝＝5．故选：B．【点评】本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．10．（3分）如图，用宽度都是2的矩形纸带叠放成一个锐角为60°的四边形，则此四边形的面积S为（　　）A．4 B． C． D．【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB＝BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；根据宽度是2与∠DAB＝60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积＝底×高计算即可．【解答】解：纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是2cm，∴S四边形ABCD＝AB×2＝BC×2，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形；如图：过A作DE⊥AB，垂足为E，∵∠DAB＝60°，∴∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝2AE，在△ADE中，AD2＝DE2+AE2，即AD2＝AD2+22，∴AD＝，∴S四边形ABCD＝AB•DE＝×2＝．故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　AC＝BD．答案不唯一．　．（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的条件是AC＝BD，理由是：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC＝BD．答案不唯一．【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．12．（3分）矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，如果△ABC的周长比△AOB的周长大10cm，则边AD的长是　10cm　．【分析】由矩形的性质可知对角线互相平分且相等，所以△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，即为BC的长，又因为AD＝BC，问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝DO＝BO，AD＝BC，∵△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AO+OC+BC，△AOB的周长＝AB+AO+BO，又∵△ABC的周长比△AOB的周长长10cm，∴AB+AC+BC＝AB+AO+OC+BC﹣（AB+AO+BO）＝BC＝10（cm），∵AD＝BC，∴AD的长是10cm，故答案为：10cm．【点评】本题考查了矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②对角线：矩形的对角线相等且互相平分，题目的难度不大，是中考常见题型．13．（3分）如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件：　∠A＝90°（答案不唯一）　，使四边形DFAE是矩形．【分析】先根据三角形中位线定理证出四边形AEDF是平行四边形，进而利用矩形的判定解答即可．【解答】解：添加条件：∠A＝90°；理由如下：∵E、D、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，AE＝AB，AF＝AC，∴DE∥AC，DE＝AC，∴DE＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形AEDF是矩形，故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识；证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．14．（3分）已知：如图所示，E是正方形ABCD边BC延长线一点，若EC＝AC，AE交CD于F，则∠AFC＝　112.5　度．【分析】根据正方形的性质可先求得∠E的度数，则∠AFC的度数不难求得．【解答】解：∵EC＝AC，∠ACD＝45°∴∠E＝22.5°∴∠AFC＝90°+22.5＝112.5°，故答案为：112.5°．【点评】本题考查正方形的性质以及三角形的内角和定理．15．（3分）若四边形ABCD为菱形，要使四边形ABCD为正方形，则可以添加一个条件为　∠ABC＝90°或对角线相等等　．【分析】根据正方形的判定方法即可解决问题．【解答】解：∵有一个角是90°的菱形的正方形，对角线相等的菱形是正方形，∴∠ABC＝90°或对角线相等时，菱形ABCD是正方形，故答案为：∠ABC＝90°或对角线相等．【点评】本题考查菱形的性质、正方形的判定方法等知识，记住正方形的判定方法是解题的关键．16．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，AC、BD相交于点O，若CE∥BD，BE∥AC，连接OE，则OE的长是　13　．【分析】由证四边形OBEC是平行四边形，再由菱形的性质得OC＝OA＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝5，AC⊥BD，则∠BOC＝90°，然后由勾股定理得BC＝13，证平行四边形OBEC是矩形，即可得出结论．【解答】解：∵CE∥BD，BE∥AC，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝OA＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝5，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝13，∵四边形OBEC是平行四边形，∴平行四边形OBEC是矩形，∴OE＝BC＝13，故答案为：13．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．17．（3分）已知菱形ABCD的两条对角线长分别为4和5，则其面积为　10　．【分析】由菱形ABCD的两条对角线长分别为4和5，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得其面积．【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线长分别为4和5，∴其面积为：×4×5＝10．故答案为：10．【点评】此题考查了菱形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．18．（3分）已知∠AOB＝30°，点D在OA上，OD＝，点E在OB上，DE＝2，则OE的长是　2或4　．【分析】过D作DF⊥OB于F，依据∠AOB＝30°，OD＝2，可得EF＝1，分两种情况进行讨论，即可得到OE的长．【解答】解：如图所示，过D作DF⊥OB于F，∵∠AOB＝30°，OD＝2，∴DF＝OD＝，OF＝3，又∵DE＝2，∴Rt△DEF中，EF＝1，当点E在点F左侧时，OE＝OF﹣EF＝3﹣1＝2；当点E'在点F右侧时，OE'＝OF+E'F＝3+1＝4；综上所述，OE的长为2或4，故答案为：2或4．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，画出图形并分情况讨论是解决问题的关键．三．解答题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于点G，EF⊥BC于点F，求证：四边形DFGE是菱形．【分析】由已知条件得出DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，由平行线分线段成比例定理得出OG＝OD，OE＝OF，证出四边形DFGE是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出结论．【解答】证明：如图所示：∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∵DG⊥AC，EF⊥BC，∴DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，∵AE＝ED＝DB，∴OG＝OD，OE＝OF，∴四边形DFGE是平行四边形，又∵DG⊥EF，∴四边形DFGE是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、平行线分线段成比例定理；熟练掌握菱形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．20．如图，AE∥BF，点D、C分别是AE和BF上的点，连接AC、BD交于点O，此时OA＝OC．若AC＝6，BD＝8，AB＝5，AM⊥BC于M，解决下列问题：（1）求证：OB＝OD；（2）求证：四边形ABCD是菱形；（3）求AM的长．【分析】（1）证△AOD≌△COB（AAS），即可得出结论；（2）先证四边形ABCD为平行四边形，再由勾股定理的逆定理证△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°，则AC⊥BD，即可得出结论；（3）由菱形的面积得BC•AM＝AC•BD，即可求解．【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADO＝∠CBO，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS），∴OB＝OD；（2）证明：∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵OB＝OD＝BD＝4，OA＝OC＝AC＝3，AB＝5，∴OB2+OA2＝AB2，∴△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝AB＝5，∴BC•AM＝AC•BD，即5AM＝×6×8，∴AM＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明△AOD≌△COD是解题的关键．21．如图：在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF分别与AD、BC交于点E、F，EF⊥AC，连接AF、CE．（1）求证：OE＝OF；（2）请判断四边形AECF是什么特殊四边形，请证明你的结论；（3）若∠EAF＝60°，AE＝6，求四边形AECF的面积．【分析】（1）由在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，易证得△OAE≌△OCF，即可得AE＝CF，继而证得四边形AECF是平行四边形，则可得OE＝OF；（2）由四边形AECF是平行四边形与EF⊥AC，即可证得四边形AECF是菱形；（3）由∠EAF＝60°，AE＝6，根据菱形的性质，即可求得AC与EF的长，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，在△OAE和△OFC中，，∴△OAE≌△OCF（AAS），∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF；（2）四边形AECF是菱形．证明：∵四边形AECF是平行四边形，EF⊥AC，∴▱AECF是菱形．（3）解：∵四边形AECF是菱形，∠EAF＝60°，∴∠EAO＝∠EAF＝30°，∴OE＝AE＝×6＝3，∴OA＝＝3，∴AC＝2OA＝6，EF＝2OE＝6，∴S四边形AECF＝AC•EF＝×6×6＝18．【点评】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．22．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，∠EDO＝15°．（1）试比较线段AO与AE的大小．并证明你的结论；（2）连接OE，求∠AOE的大小．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC知∠CDE＝∠CED＝45°，得出△ADE是等腰直角三角形，AD＝AE，再证出△OAD是等边三角形，得出AD＝AO＝DO，即可得出结论；（2）由等边三角形的性质得出∠DAO＝60°，得出∠OAE＝30°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】解：（1）AO＝AE；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AO＝DO，∵DE平分∠ADC∴∠CDE＝∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝AE，又∵∠EDO＝15°，∴∠ADO＝60°；∴△OAD是等边三角形；∴AD＝AO＝DO，∴AO＝AE；（2）∵△OAD是等边三角形，∴∠DAO＝60°，∴∠OAE＝90°﹣∠DAO＝30°，∵AO＝AE，∴∠AOE＝（180°﹣30°）÷2＝75°．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．23．如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F．求证：EF⊥AP．【分析】延长FP交AB交于G，延长AP交EF于点H，易证△PAG≌△EFP，可求得∠FPH+∠PFH＝90°，可证得结论..【解答】证明：如图，延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝∠ABC＝90°，又∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形PECF为矩形，同理四边形BCFG也为矩形，∴PE＝FC＝GB，又∵BD平分∠ABC，∴∠GBD＝45°，∴PG＝BG＝PE，又∵AB＝BC＝CD，∴AG＝EC＝PF，在△PAG和△EFP中，，∴△PAG≌△EFP（SAS），∴∠APG＝∠FEP＝∠FPH，∵∠FEP+∠PFH＝90°，∴∠FPH+∠PFH＝90°，∴AP⊥EF．【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，构造三角形全等找到角之间的关系是解题的关键．24．如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，且BD＝1，AC＝．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证：四边形BEFD是矩形；（3）四边形BEFD的周长为 　2+2　．【分析】（1）直接由菱形的面积公式求解即可；（2）先证四边形BEFD是平行四边形，再由三角形中位线定理得OC∥BE，则BE⊥BD，得∠DBE＝90°，即可得出结论；（3）由三角形中位线定理得出BE的长，再由矩形的性质得EF＝BD＝1，BE＝DF＝，即可求解．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝1，AC＝，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝××1＝；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，∵CE＝CD，CF＝BC，∴四边形BEFD是平行四边形，OC是△BDE的中位线，∴OC∥BE，∴BE⊥BD，∴∠DBE＝90°，∴平行四边形BEFD是矩形；（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝OA＝AC，由（2）可知，OC是△BDE的中位线，∴BE＝2OC＝AC＝，∵四边形BEFD是矩形，∴EF＝BD＝1，BE＝DF＝，∴四边形BEFD的周长＝2（BD+BE）＝2+2，故答案为：2+2．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．