北师大版数学九上同步讲义第2章 一元二次方程全章复习攻略与检测卷（2份，原卷版+解析版）

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第2章 一元二次方程全章复习攻略与检测卷【目录】倍速学习五种方法【1个概念】 一元二次方程定义【1个解法】 一元二次方程的解法【2个关系】1.一元二次方程的根的判别式2.一元二次方程的根与系数的关系【1个应用】 一元二次方程应用【3种思想】 1.整理思想2.转化思想3.分类讨论思想【检测卷】 【倍速学习五种方法】【1个概念】 一元二次方程定义【例1】下列选项中，是关于x的一元二次方程的是(　　)A．x2＋eq \f(1,x2)＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0【例2】关于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．【例3】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x2－2＝5x；(2)9x2＝16；(3)2x(3x＋1)＝17；(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.【1个解法】 一元二次方程的解法【例4】运用开平方法解下列方程：(1)4x2＝9；(2)(x＋3)2－2＝0.【例5】用配方法解方程：x2－4x＋1＝0.【例6】用公式法解下列方程：(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；(3)5x2－4x＋12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.【例7】用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.【例8】用因式分解法解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.解：(1)原方程可变形为：x2－6x＋9＝0，则(x－3)2＝0，∴x－3＝0，因此原方程的解为：x1＝x2＝3.(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴原方程的解为x1＝eq \f(16,7)，x2＝eq \f(4,3).【2个关系】1.一元二次方程的根的判别式【例9】不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋eq \f(1,4)＝0；(3)x2－x＋1＝0.【例10】已知：关于x的方程2x2＋kx－1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系【例11】已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的值为(　　)A．－1 B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．1【例12】已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是(　　)A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0【例13】已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．【例14】关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(　　)A．－1或5 B．1 C．5 D．－1【例15】已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．【1个应用】 一元二次方程应用【例16】有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？【例17】若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状．【例18】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【例19】月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73.求每个支干长出多少小分支？【例20】某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？【例21】某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)【例22】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？【例23】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．【例24】现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．【例25】如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为______________．【例26】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．【3种思想】 1.整理思想【例27】（2023春•玄武区期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为 　 　．【例28】．（2023春•沭阳县月考）已知m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2+4m+2021的值为 　　．【例29】．（2023春•兴化市月考）已知m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则2m2+4m的值是 　　．2.转化思想【例30】（2023•沭阳县模拟）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2021﹣2a﹣4b的值为 　　．【例31】（2022秋•丹徒区期末）已知a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，则6a2﹣3a+3的值等于 　 　．【例32】．（2023•鼓楼区二模）解方程：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6）．3.分类讨论思想【例33】．（2022秋•阜宁县期中）如图，在矩形ABCD中，DC＝14cm，AD＝6cm，点P从点A出发沿AB以4cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．（1）运动几秒时，PQ能将矩形ABCD的面积分成2：5两部分？（2）运动几秒时，P，Q两点之间的距离是10cm？ 【检测卷】一、单选题1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）方程的两个根为（　　）A． B． C． D． 2．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于的方程有实数根，则的取值范围是 （ ）A．且 B．且 C． D．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（   ）A． B． C． D．4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）方程 的两个根为（　　）A． B．C． D． 5．（2023秋·全国·九年级专题练习）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（    ）A． B．C．（ D．6．（2022秋·湖南怀化·九年级校考期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．87．（2023·山东临沂·统考一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（    ）A．5 B． C．4 D．8．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（    ）A．2016 B．2018 C．2020 D．20229．（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）随着春天的到来，到植物园赏花的游客越来越多，2023年3月份的游客人数是元月份的3倍．设2、3月份游客人数的平均增长率为x（    ）A． B．C． D．10．（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列方程中，有一个根为的方程是（　　）A． B． C． D．二、填空题11．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ，12．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）一个三角形的两边长为3和5，第三边长为方程的根，则这个三角形的周长为 ．13．（2023秋·江苏·九年级专题练习）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 ．14．（2023秋·江苏·九年级专题练习）请你写出一个关于的一元二次方程，使得方程的两根互为相反数，你所写的方程是 ．15．（2023秋·江苏·九年级专题练习）实数x和y满足，则 ．16．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：且，，那么的值等于 ．17．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知三个连续奇数的平方和是371，设第二个奇数为，则依题意可得到的方程是 ．18．（2023·河北衡水·统考二模）六张完全相同的小矩形纸片C与A，B两张矩形纸片恰好能拼成一个相邻边长为m，50的大矩形，部分数据如图所示．（1）若，则矩形A的水平边长为 ；（2）请用含m，n的代数式表示矩形A的周长： ；（3）若矩形A，B的面积相等，则 ．三、解答题19．（2023秋·江苏·九年级专题练习）解关于的方程（合适的方法）：(1)；(2)．20．（2023秋·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料：问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得．化简，得，故所求方程为这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；(2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．21．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若是上述方程的两个实数根，且满足，请求出k的值及相应的实数根．22．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃一边的长为x米，面积为y平方米．  (1)求y与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，的长是多少？23．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．(1)几秒后，的长度为；(2)几秒后，的面积为；(3)的面积能否为？请说明理由．24．（2022秋·四川广安·九年级校考期中）温州某百货商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出160件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少20件，设这种商品的销售单价为x元．(1)若该商场当天销售这种商品所获得的利润为元，求x的值．(2)当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？25．（2022秋·四川成都·九年级校考期中）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．(1)求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？26．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读下面的例题：分解因式：．解：令得到一个关于的一元二次方程，，．解得，；．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：(1)已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 　 　；(2)将代数式分解因式．