北师大版（2024）七年级上册（2024）第五章 一元一次方程课后作业题

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1.掌握一元一次方程的定义；
2.掌握一元一次方程的解的概念；
3.掌握等式的性质及其应用.
知识点01 方程的有关概念
1.定义：含有未知数的等式叫做方程.
【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．
2.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
知识点02 一元一次方程的概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数．
知识点03 等式的性质
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
题型01 判断各式是否是方程
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断选择即可．
【详解】A. ，不是等式，不是方程，不符合题意；
B. 是方程，符合题意；
C. 不是等式，不符合题意；
D. 不含有未知数，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河南周口·七年级校考期中）下列各式是方程的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，逐一判断即可．
【详解】解：不是等式，故A选项不符合题意；
不含有未知数，故B选项不符合题意；
不是等式，故C选项不符合题意；
是方程，故D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了方程的定义，熟知该定义是解题的关键．
2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）下列各式中，属于方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答．
【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意；
B、不是等式，故不是方程，不符合题意；
C、不是等式，故不是方程，不符合题意；
D、是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程．
题型02 列方程
例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）若的4倍与7的和等于20，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意中的数量关系解答即可．
【详解】解：的4倍与7的和等于20，则可列方程为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了列方程，明确题意中的数量关系是关键．
【变式训练】
1．（2023春·上海·六年级专题练习）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列出方程来 ．
【答案】
【分析】根据x的3倍与5的和比x的多2表示减去等于2，即可求解．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
2．（2023秋·湖北随州·七年级统考期末）临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为 ．
【答案】0.8x-10=0.6x+50
【分析】设该商品的原售价为x元，然后根据成本不变列出方程即可．
【详解】解：设该商品的原售价为x元，
根据题意得：0.8x-10=0.6x+50，
故答案为：0.8x-10=0.6x+50．
【点睛】此题考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
题型03 判断是否是一元一次方程
例题：（2023春·湖北武汉·九年级校考自主招生）下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程定义“只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程”解答即可．
【详解】解：A、，是一元一次方程，故此选项符合题意；
B、，未知数最高次数是2，故不是一元一次方程，故此选项不合题意；
C、，不是整式方程，不是一元一次方程，故此选项不合题意；
D、，化简整理后不是方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程定义，熟知一元一次方程定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义逐一判断即可．
【详解】A．是一元一次方程，故本选项符合题意；
B．不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．不是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】考查了一元一次方程的定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．
2．（2023春·河南鹤壁·七年级统考期中）在方程，，，，中，一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】解：方程含有两个未知数，故不是一元一次方程；
方程是一元一次方程；
方程是一元一次方程；
方程未知数的次数是2次，故不是一元一次方程；
方程分母中含有未知数，不是整式方程，故不是一元一次方程；
所以一元一次方程的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，从而完成求解．
题型04 根据一元一次方程求参数的值
例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）若是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】1
【分析】只含有一个未知数元，并且未知数的指数是次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且．据此解答即可．
【详解】解：因为是关于的一元一次方程，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义．解题的关键是明确一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是，一次项系数不是．
【变式训练】
1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）若是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义即可求解．
【详解】解：是关于的一元一次方程，
∴的次数为，且的系数不能为零，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元一次方程概念的理解，掌握其概念是解题的关键．
2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）若是关于x的一元一次方程，则k的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（，是常数且）
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
题型05 已知一元一次方程的解求参数的值
例题：（2023春·福建厦门·七年级校考阶段练习）方程的解是，则 ．
【答案】3
【分析】把代入方程解答即可．
【详解】解：把代入方程，
可得：，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是把代入方程得出关于的方程解答．
【变式训练】
1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）关于x的方程的解是，则a的值为 ．
【答案】
【分析】将代入，即可求出a的值．
【详解】解：把代入得： ，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是掌握使方程等号两边相等的未知数的值，是方程是解．
2．（2023春·吉林长春·七年级校联考期中）若是方程的解，则的值为 ．
【答案】
【分析】由是方程的解，可得，再把化为，再代入求值即可．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，一元一次方程的解的含义，熟练的利用整体法求解代数式的值是解本题的关键．
题型06 等式的性质
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列运用等式变形错误的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】D
【分析】直接利用等式的基本性质分别分析得出答案．
【详解】解：A、若，则，正确，不合题意；
B、若，得，正确，不合题意；
C、若，则，正确，不合题意；
D、若，则，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·山东东营·六年级校考期末）设是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据等式的性质一一判断即可．
【详解】解：∵，
∴或，故A不符合题意；
∵，
∴，故B符合题意；
∵，，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
2．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）下列结论错误的个数为（ ）
（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或整式等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或整式等式仍成立，即可解决．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故（1）正确，不符合题意；
∵，，
∴，故（2）错误，符合题意；
∵，
∴，故（3）正确，不符合题意；
∵，
∴，故（4）错误，符合题意；错误的共2个，
故选C
【点睛】本题考查的是等式的基本性质的应用，熟记等式的基本性质是解本题的关键．
一、单选题
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐项判断即得答案．
【详解】解：A、如果，当时，可得，故本选项变形错误；
B、如果，那么，故本选项变形错误；
C、如果，当时，可得，故本选项变形错误；
D、如果，那么，故本选项变形正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边都加上（或减去）同一个数或式，所得结果仍是等式，等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式，熟练掌握等式的性质是关键．
2．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）在方程，，，中一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】中有两个未知数，不是一元一次方程；
中分母中有字母，不是一元一次方程；
是一元一次方程；
中未知数的最高次数为2，不是一元一次方程；
故一元一次方程的个数为个，
故选A．
【点睛】本题考查的是一元一次方程，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．
3．（2023春·河南开封·七年级统考期中）关于的方程的解是，则的值为( )，
A．4B．C．5D．
【答案】A
【分析】将代入求解即可．
【详解】解：将代入得：，
解得：
故选：A．
【点睛】本题考查了方程的解，熟知方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．
4．（2023春·河南新乡·七年级校联考阶段练习）根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件x与5的和的3倍即为，x的少2即为，然后列出等量关系即可
【详解】解：由题意可得：，
故选：C
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．
5．（2023秋·全国·七年级专题练习）“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．据此解答即可．
【详解】解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．
答：“？”处应放〇的个数是3个．
故选：C．
【点睛】找出各图形之间的数量关系，是解题关键．
6．（2023秋·七年级课时练习）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：且，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值，一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
二、填空题
7．（2023春·河南周口·七年级统考阶段练习）已知，则 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】根据等式的基本性质进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是理解并掌握等式的基本性质，等式两边同时乘以一个数或整式，等式仍然成立．
8．（2023春·湖南郴州·七年级校考期末）已知方程，用含x的代数式表示y的形式为 ．
【答案】
【分析】运用等式的性质，将含字母y的项放左边，其它项移到右边，将y的系数化为1．
【详解】解：
∴
故答案为：
【点睛】本题考查等式变形，掌握等式的性质是解题的关键．
9．（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号）
【答案】 ①③④⑤ ③④⑤ ③④⑤
【分析】根据等式的特点：用等号连接的式子，方程的特点：①含有未知数，②是等式进行判断即可．
【详解】解：由题意可得，含有未知数的等式是方程，
①是等式；
②是多项式，既不是等式也不是方程；
③既是等式也是方程；
④既是等式也是方程；
⑤既是等式也是方程，
故答案为：①③④⑤；③④⑤；③④⑤．
【点睛】本题考查等式和方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键．
10．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用一元一次方程的定义求解即可．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴且，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟记一元一次方程的定义及一次项系数不能为．
11．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考开学考试）若是关于x的方程的解，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】把代入得，则，即可解答．
【详解】解：把代入得：，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
12．（2023秋·七年级课时练习）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ．
【答案】
【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答．
【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米，
由题意可得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键．
三、解答题
13．（2023秋·全国·七年级课堂例题）检验下列各题括号内的值是否为相应方程的解．
(1)；
(2)；
【答案】(1)不是方程的解，是方程的解
(2)不是方程的解，是方程的解
【分析】（1）分别把和代入方程两边，判断两边是否相等，即可解答；
（2）分别把和代入方程两边，判断两边是否相等，即可解答．
【详解】（1）解：把代入方程，左边，右边，左边≠右边，
所以不是方程的解．
把代入方程，左边，右边，左边＝右边，
所以是方程的解．
（2）解：把代入方程，左边，右边，左边≠右边，
所以不是方程的解；
把代入方程，左边，右边，左边＝右边，
所以是方程的解．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
14．（2023秋·全国·七年级课堂例题）完成下列解方程的过程．
解：根据________________，两边________________，
得________________．
于是________________．
根据________________，两边________________，
得________________．
【答案】等式的性质1， 同时减去3，，1，等式的性质2，乘以（或除以），
【分析】根据等式的性质解方程
【详解】解：根据等式性质1，两边同时减去3，
得．
于是．
根据等式的性质2，两边乘以（或除以），
得．
【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．
15．（2023秋·七年级课时练习）利用等式的性质解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）等式的两边同时加5即可得出结论；
（2）先把等式的两边同时加4， 再把两边同时除以2即可得出结论；
（3）先把等式的两边同时加，再把两边同时除以3即可得出结论；
（4）先把等式的两边同时加2，再把两边同时乘以，即可得出结论．
【详解】（1）解：两边同时加5，得．
（2）解：两边同时加4，得，两边同时除以2，得．
（3）解：两边同时加，得，两边同时除以3，得．
（4）解：两边同时加2，得，两边同时乘，得．
【点睛】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式的2个基本性质是解答此题的关键，等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式两边依然相等；等式两边同时乘或除同一个数或整式，等式两边依然相等．
16．（2023秋·全国·七年级课堂例题）在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵．
(1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数；
(2)根据题意列出含未知数的方程；
(3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵．
【答案】(1)甲班植树的棵数为棵、棵
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据多、一半的含义列出式子即可；
（2）直接列出等式即可；
（3）利用代入法进行检验即可．
【详解】（1）根据甲班植树的棵数比乙班多，
得甲班植树的棵数为棵；根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵，
得甲班植树的棵数为棵．
（2）．
（3）把分别代入（2）中方程的左边和右边，
得左边，
右边．
因为左边右边，
所以是方程的解，
即乙班植树的棵数是25棵．
由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵
【点睛】本题考查了列方程解实际问题的能力，考查了学生应用数学解决实际问题的能力．
17．（2023秋·七年级课时练习）若是关于的方程的解，求的值．
【答案】
【分析】将代入方程得到代入代求式子即可；
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴ ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，代数式求值，掌握方程的解的概念是解题的关键．
18．（2023秋·安徽芜湖·七年级校考期末）若是关于的一元一次方程.
(1)求的值；
(2)先化简，再求的值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是次的整式方程；由此解答即可；
（2）根据整式的加减运算法则将原式化简，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，整式的加减－化简求值，熟练掌握相关定义以及运算法则是解本题的关键．
19．（2023春·河南洛阳·七年级校考阶段练习）已知是关于的方程的解，
(1)求的值；
(2)在（1）的条件下，已知线段，点C是直线AB上一点，且，求线段AC的长．
【答案】(1)；
(2)线段AC的长为2cm或6cm．
【分析】（1）将代入方程，即可求出的值．
（2）将（1）所得的值代入，即可得到、和的关系，需要注意A、B、C三点之间的位置关系，此题得解．
【详解】（1）解：将代入方程得：
，
解得：．
（2）解：由（1）可知，
∴，
情况一、当在中间时，
∵，，
∴，
∴cm．
情况二、当在的延长线上时，
∴，
∴cm，
综上所述，线段AC的长为2cm或6cm．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解、线段之间的等量关系，需要注意第二问A、B、C三点之间的位置关系．