北师大版（2024）七年级上册（2024）第五章 一元一次方程习题

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26762" 【类型一 新定义型运算与一元一次方程的综合问题】 PAGEREF _Tc26762 \h 1
\l "_Tc19994" 【类型二 绝对值方程与一元一次方程的综合问题】 PAGEREF _Tc19994 \h 5
\l "_Tc14659" 【类型三 图形规律探究与一元一次方程的综合问题】 PAGEREF _Tc14659 \h 8
\l "_Tc24494" 【类型四 数轴上的动点与一元一次方程的综合问题】 PAGEREF _Tc24494 \h 11
【类型一 新定义型运算与一元一次方程的综合问题】
例题：（2023春·江苏淮安·七年级统考开学考试）定义一种新的运算“”： 例如： ．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据代值求解即可；
（2）根据新定义得到方程，解方程即可；
【详解】（1）解：．
（2）解：
解得：．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、新定义下的有理数运算，正确计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）定义一种新运算“”：，如
(1)求的值；
(2)若，求x的值；
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据所给的新定义进行代值计算即可；
（2）根据所给的新定义可得方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，正确理解所给的新定义是解题的关键．
2．（2023春·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）定义一种新运算“※”，其规则为．
例如：．再如：．
(1)计算值为______．
(2)若，求的值．
【答案】(1)31
(2)
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值．
【详解】（1）根据题中的新定义得：
（2）利用题中的新定义化简得：，
解得：
【点睛】此题考查定义新运算，一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
3．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）对于任意的有理数a、b，定义一种新的运算，规定：，，等式右边是通常的加法、减法运算，如，时，，．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）按照题目规定的新运算法则求解即可；
（2）按照题目规定的新运算法则可得关于x的方程，解方程即得答案．
【详解】（1）由题意，得：
．
（2）由题意，得，
整理，得，
解得．
【点睛】本题以新运算为载体，主要考查了有理数的运算和一元一次方程的解法，正确理解新运算法则是解题的关键．
4．（2023春·河南新乡·七年级统考期末）对有理数，定义两个新运算：，.例如：，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若的值和的值相等，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）根据新定义列式计算即可；
（2）根据新定义列式计算即可；
（3）根据新定义列得方程，解方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：由题意可得，
整理得：，
解得：．
【点睛】本题考查定义新运算，有理数的运算及解一元一次方程，（3）中结合题意列得方程是解题的关键．
5．（2023春·吉林长春·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．
例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”．
(1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m ．
(2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值．
(3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)
【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“友好方程”的定义列出关于m的方程解答即可；
（2）利用“友好方程”的定义得出两个“友好方程”的解为，，由两个“友好方程”的解的差为3列出关于k的方程解答即可；
（3）求得方程的解，利用“友好方程”的定义得到方程的解，将关于y的一元一次方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解；
【详解】（1）解：∵方程的解为，
方程的解为，
而方程与是“友好方程”，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵“友好方程”的一个解为，则另一个解为，
依题意得或，
解得或，
故k的值为或；
（3）解：方程的解为，
∵关于x的一元一次方程和是“友好方程”，
∴关于x的方程的解为，
∵关于y的一元一次方程变形得，
∴，
∴，
∴关于y的一元一次方程的解为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
【类型二 绝对值方程与一元一次方程的综合问题】
例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）先看例题，再解答后面的问题．
【例】解方程：．
解法一：当时，原方程化为，解得；
当时，原方程化为，解得，
所以原方程的解为或．
解法二：移项，得．
合并同类项，得．
由绝对值的意义知，
所以原方程的解为或．
问题：用两种方法解方程．
【答案】或
【分析】方法一：首先根据得，于是原方程可化为，由此可解出，再根据得，是原方程可化为，由此可解出，综上所述可得原方程得解；
方法二：首先移项、合并同类项得，再将的系数化为得，然后利用绝对值的意义可得出的值，进而得原方程得解．
【详解】解：解法一：当时，原方程化为，解得；
当时，原方程化为，
解得，
∴原方程的解为或．
解法二：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
由绝对值的意义知，
∴原方程的解为或．
【点睛】本题考查绝对值的意义，熟练掌握一元一次方程的解法，理解绝对值的意义和进行分类讨论思想的应用是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·七年级专题练习）解下列绝对值方程：
(1) (2)
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）先去绝对值，再解一元一次方程；
（2）先去绝对值，再解一元一次方程．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即：或，
解得：或；
（2）解：∵，
∴，
当时：，解得：；
当时：，解得：；
综上：或．
【点睛】本题考查解绝对值方程．熟练掌握绝对值的意义，以及解一元一次方程的步骤，是解题的关键．
2．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得或，所以或．
根据以上材料解决下列问题：
(1)解方程：；
(2)解方程：．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可；
（2）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：根据绝对值的意义得或，
解得或；
（2）解：由绝对值的意义得或，
解得或．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，
解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，，
，，或．
解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：
①当时，原方程可化为，解得，符合；
②当时，原方程可化为，解得，符合．
原方程的解为或．
解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．
问题：结合上面阅读材料，解下列方程：
(1)解方程：
(2)解方程：
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）类比解法一即可求解；
（2）类比解法二，分，，三种情况进行讨论，脱去绝对值，解方程，舍去不合题意的方程的解，问题得解．
【详解】（1）解：移项得，
合并得，
两边同时除以得，
所以，
所以或；
（2）解：当时，原方程可化为，解得，符合；
当时,原方程可化为，解得，符合；
当时，原方程可化为，解得，不符合．
所以原方程的解为或．
【点睛】本题考查了绝对值方程、一元一次方程的解法，理解题意，能根据题意脱去绝对值是解题关键，注意第（2）问要根据题意分三类进行讨论．
【类型三 图形规律探究与一元一次方程的综合问题】
例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放：
(1)第5个图案有 张黑色小正方形纸片；
(2)第n个图案有 张黑色小正方形纸片；
(3)第几个图案中白色纸片和黑色纸片共有81张？
【答案】(1)16
(2)
(3)20
【分析】（1）观察图形，发现：黑色纸片在4的基础上，依次多3个；
（2）根据（1）中的规律，用字母表示即可；
（3）根据（2）的规律，得出，解之得出n的值即可作出判断．
【详解】（1）∵第1个图形中黑色纸片的数量，
第2个图形中黑色纸片的数量，
第3个图形中黑色纸片的数量，
……，
∴第5个图片中黑色纸片的数量为，
故答案为：16；
（2）由（1）知，第n个图案中黑色纸片的数量为，
故答案为：；
（3）设第n个图案中共有81张纸片，
由，
解得：，
即第20个图案中共有81张纸片．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有张黑色纸片．
【变式训练】
1．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题：
(1)图案④中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；
(2)图案中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；（用含的式子表示）
(3)图案中的白色五边形可能为2023个吗？若可能，请求出的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)4，13
(2)，
(3)可能，
【分析】（1）观察可知，除第一个以外，每增加一个黑色五边形，相应的白色五边形增加三个，即可解答．
（2）根据观察分析出白色五边形的块数与图形序号之间的关系，并由此猜想数列的通项公式，解答问题．
（3）根据通项公式解答出的值即可判断．
【详解】（1）∵第1个图形中黑色五边形的个数为1，白色五边形的个数为4；
第2个图形中墨色五边形的个数为2，白色五边形的个数为，
第3个图形中墨色五边形的个数为3，白色五边形的个数为；
∴第4个图形中界色五边形的个数为4，白色五边形的个数为．
（2）由（1）可得：第个图形中黑色五边形的个数为，白色五边形的个数为．
（3）可能，理由如下：由题意得，解得，故图案中的白色五边形可能为2023个．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）用同样规格的黑，白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为米的小路．
(1)铺第6个图形用黑色正方形瓷砖 块，用白色正方形瓷砖 块；
(2)按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖 块，用白色正方形瓷砖 块（用含n的代数式表示）；
(3)在（2）的基础上，若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长为米×宽米），若按照此方式铺满一段总面积为平方米的小路时，n是多少？
【答案】(1)25，14
(2)，
(3)16
【分析】（1）根据图形算出前几个图形中含有的瓷砖数，找到规律，再代入求解；
（2）由（1）的规律填空；
（3）根据瓷砖数乘一块瓷砖的面积等于总面积列方程求解．
【详解】（1）解：第1个图形中有个黑色正方形瓷砖，有个白色瓷砖；
第2个图形中有个黑色正方形瓷砖，有个白色瓷砖；
第3个图形中有个黑色正方形瓷砖，有个白色瓷砖；
，
第个图形中有个黑色正方形瓷砖，有个白色瓷砖；
第6个图形中有25个黑色正方形瓷砖，有14个白色瓷砖；
故答案为：25，14；
（2）由（1）知：第个图形中有个黑色正方形瓷砖，有个白色瓷砖，
故答案为：，；
（3）第个图形中有个黑色正方形瓷砖，有个白色瓷砖，
故第个图形中有个正方形瓷砖；
，
解得：．
【点睛】本题考查了图形的变换类，找到变化规律是解题的关键．
3．（2023春·安徽·九年级专题练习）苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，德国化学家凯库勒发现了苯分子的环状结构．将若干个苯环以直线形式相连可以得到如下类型的芳香族化合物（结构简式中六边形每个顶点处代表个原子，通常省略原子）．
已知：个苯的结构式是，结构简式为，分子式是；
个苯环相连结构式是，结构简式为，分子式是；
个苯环相连结构式是，结构简式为的分子式是；
根据以上规律，回答下列问题：
(1)个苯环相连的分子式是______；
(2)个苯环相连的分子式是______；
(3)试通过计算说明分子式为是否属于上述类型的芳香族化合物．
【答案】(1)
(2)
(3)分子式为属于芳香族化合物
【分析】（1）根据题意，找出个苯，个苯环，个苯环中原子，原子的数量关系即可求解；
（2）根据（1）中原子，原子的数量关系即可确定个苯环的分子式；
（3）根据（2）中的分子式即可求解．
【详解】（1）解：个苯的结构式中有一个六边形（个原子，个原子），
个苯环的结构式中有一个六边形（个原子，个原子）加上一个五边形（个原子，个原子），
个苯环的结构式中有一个六边形（个原子，个原子）加上一个五边形（个原子，个原子），再加上一个五边形（个原子，个原子），
∴原子的个数是， 原子的个数是，
∴个苯环结构中原子的个数是， 原子的个数是，
∴个苯环相连的分子式是，
故答案为：．
（2）解：由（1）可知，原子的个数是， 原子的个数是，
∴个苯环相连的分子式是，
故答案为：．
（3）解：分子式为，
∴，解得，；，解得，；即当时，苯环分子式为，
∴分子式为属于芳香族化合物．
【点睛】本题主要考查数字、图形的规律探究，理解表示的含义，掌握有理数的规律运算是解题的关键．
【类型四 数轴上的动点与一元一次方程的综合问题】
例题：（2023秋·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考阶段练习）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．

(1)若，则__________；
(2)若，求x的值；
(3)若点P从点A出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度向右运动，两点同时出发，经过__________s，P、Q两点之间的距离为4．
【答案】(1)1
(2)或5
(3)1或5
【分析】（1）结合数轴，进行求解即可；
（2）分点P在点A左侧，点P在点A、B中间，点P在点B右侧，三种情况，列出方程进行求解即可．
（3）设后P、Q两点之间的距离为4，分两种情况，当点P在点Q左侧时，当点P在点Q右侧时，分别列出方程，求出结果即可．
【详解】（1）解：由点在数轴上的位置，可知，当时，P在点A、B中间，
∴，，
∴，
解得：；
故答案为：1；
（2）解：∵
若点P在点A左侧，，，
则，
解得：；
若点P在点A、B中间：
，，
则，不符合题意；
若点P在点B右侧，，，
则，
解得：；
综上的值为或5．
（3）解：设后P、Q两点之间的距离为4，
当点P在点Q左侧时，，
解得：；
当点P在点Q右侧时，，
解得：；
综上分析可知，经过或，P、Q两点之间的距离为4．
故答案为：1或5．
【点睛】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）已知数轴上有三点，分别代表，，，两只电子蚂蚁甲、乙分别从两点同时相向而行，甲的速度为个单位，乙的速度为个单位．

(1)甲、乙多少秒后相遇？
(2)甲、乙出发多少秒后，甲、乙相距个单位？
(3)当甲到达点时，乙调头原速返回，当甲、乙在数轴上再次相遇时，相遇点表示的数是多少？（直接写出答案）
【答案】(1)甲、乙秒后相遇
(2)甲，乙出发后或秒后，甲、乙相距个单位
(3)相遇点表示的数是
【分析】（1）根据相遇问题，设秒后甲与乙相遇，由此列式求解即可；
（2）根据相遇问题，分类讨论，第一种情况：相遇前相距个单位；第二种情况：相遇后相距个单位；根据数量关系列式求解即可；
（3）根据甲从的时间，可知乙所处的位置，再根据追击问题，设经过后再次相遇，由数量关系列式即可求解．
【详解】（1）解：∵表示的为，表示的是的，
∴，
设秒后甲与乙相遇，
∴，解得，
∴甲、乙秒后相遇．
（2）解：设秒后甲、乙相距个单位，
第一种情况：相遇前相距个单位，
∴，解得，；
第二种情况：相遇后相距个单位，
∴，解得，；
∴甲，乙出发后或秒后，甲、乙相距个单位．
（3）解：∵表示的为，表示的是的，
∴，且甲的速度为个单位，乙的速度为个单位
∴甲从的时间为，
∴乙走的路程为，则此时乙对应的数值是，
∴甲在乙的右边，即甲在的位置，乙在位置，则甲乙相距个单位长度，
设经过后再次相遇，
∴，解得，，即甲乙用了时再次相遇，
∴乙走的路程为，
∴相遇点对应的数值是，
∴相遇点表示的数是．
【点睛】本题主要考查数轴上动点问题，运用一元一次方程解决实际问题，掌握数轴上有理数的关系，两点之间距离的计算方法，一元一次方程解实际问题的方法是解题的关键．
2．（2023秋·江西上饶·七年级统考阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

(1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含的式子表示）；
(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【答案】(1)；
(2)①当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可解答；
（2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解；
②根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解．
【详解】（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴，
则，
∵点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为；
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P运动t秒的长度为，
∴P所表示的数为：；
故答案为：，；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得，解得，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②当P不超过Q时，则，解得；
当P超过Q时，则，解得；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
3．（2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市第七中学校考阶段练习）阅读理解：若、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的2倍，我们称点是的妙点．若点到的距离是点到的距离的2倍，我们称点是的妙点．
(1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2．表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点______的妙点，点______的妙点．（请在横线上填是或不是）

(2)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4．则的妙点所表示的数是______．

(3)如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过______秒时，、和中恰有一个点为其余两点的妙点．

【答案】(1)不是，是
(2)2或10
(3)
【分析】（1）根据秒点的定义解答即可；
（2）分秒点在点M和点N中间时和秒点在店N的右边时两种情况求解即可；
（3）分三种情况根据妙点的定义列方程求解即可．
【详解】（1）∵点到点的距离是1，到点的距离是2，
∴，
∴点不是的妙点，点是的妙点．
故答案为：不是，是；
（2）设秒点表示的数为x，
当妙点在M和N之间时，由题意得
，
∴；
当妙点在N点右侧时，由题意得
，
∴．
故答案为：2和10；
（3）①若P为的妙点，则，
解得；
②若P为的妙点，则，
解得；
③若A为的秒点或B为的秒点时，此时P为的中点，则，
解得；
∴当t为时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，以及一元一次方程的应用，熟练根据妙点的定义列出方程求解是解题的关键．